【正文】 驗值，然 后反復(fù)迭代才能求出下一步的初始值。 法、 法110( ) ,NNttEt??? ? ??????????? ? ? ????收斂性，即當積分步長 時，數(shù)值 解是否收斂于精確解。穩(wěn)定性，當計算總步長增大時，數(shù)值解評價逐步積分的優(yōu)劣標準 是否遠離精確值。計算精度，即截斷誤差與時間步長 的關(guān) 系，如果誤差 則稱為該方法具有N 階精度。下 面 以 單 自 由 度 體 系 為 例 ， 簡 單 介 紹 其 中 的 幾 種 方 法 。. 5 . 14 中 心 差 分 法t處 ， 單 質(zhì) 點 的 震在 時 刻 動 方 程 為( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t P t? ? ?（ ） 1i i ifbi i it t t tt u u?? ? ?如 果 采 用 等 時 間 步 長 （ = ） , 則 速 度 在 時 刻處 得 向 前 差 分 和 向 后 差 分 分 別 為11= , =fbi i i iiiu u u uuutt??????所 以 其 中 心 差 分 為1122fbi i i iiu u u uut???????同 理 ， 可 得 其 加 速 度 的 中 心 差 分 近 似 為1122i i iiu u uut??????（ ） （ ） （ ） . 1 . 1 . 1將 式 （ 4 2 4 ） 和 式 （ 4 2 5 ） 代 入 式 （ 4 2 2 ） 有1 1 1 122 +2i i i i iiiu u u u um c k u Ptt? ? ? ?? ? ? ????1 1 11i i i iit u u tu? ? ??如 果 已 知 時 刻 ， 以 前 的 位 移 ， ， 則 時 刻 的位 移 可 由 下 式 求 解 ：112 2 2222i i i im c m c mu P k u ut t t t t??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 . 1 . 1,itm c k P?而 時 刻 的 速 度 和 加 速 度 則 可 由 式 （ 4 2 4 ） 和 式 （ 4 2 5 ）求 得 。 上 式 即 為 單 自 由 度 體 系 的 中 心 差 分 法 計 算 公 式 。對 于 多 自 由 度 體 系 ， 只 需 將 參 數(shù) 和 改 寫 成 矩 陣 或向 量 的 形 式 即 可（ ） （ ） 00 ( 0 ) , ( 0 )u u u u??對 于 初 始 條 件 為 的 單 質(zhì) 點 振 動 方 程 ， 中 心差 分 法 的 具 體 迭 代 步 驟 為 ：0 0 0 01 ( ) ,u P c u k um? ? ?1 ） 計 算 基 本 數(shù) 據(jù) 和 初 始 條 件21 0 0 02tu u tu u??? ? ? ?12 ) . 1iitt ?根 據(jù) 及 以 前 時 刻 的 運 動 ， 利 用 式 （ 4 2 7 ） 計 算 時 刻 的1iu ?位 移 。3 ） 重 復(fù) 上 述 計 算 步 驟 可 得 體 系 在 整 個 時 間 段 的 動 力 反 應(yīng) 。11 ,t T T???以 上 的 計 算 公 式 具 有 2 階 精 度 ， 其 穩(wěn) 定 條 件 為為 體 系 的 最 小 自 振 周 期 。 雖 然 中 心 差 分 法 是 有 條 件 穩(wěn) 定 的 ，但 由 于 其 為 顯 式 積 分 ， 具 有 計 算 效 率 高 的 優(yōu) 點 ， 在 很 多 情 況下 得 到 廣 泛 應(yīng) 用 。. 5 . 24 平 均 常 加 速 度 法1( ) + ( + )4 . 1 5 ,i i i i itt u t t t t u t t????????考 慮 一 單 自 由 度 體 系 ， 假 定 在 內(nèi) 質(zhì) 點 加 速 度 為 常 數(shù) ， 它等 于 質(zhì) 點 在 時 刻 的 加 速 度 和 = 時 刻 的 加 速 度的 平 均 值 圖 （ a ） 即 有+1( ) + ( )( + ) =2iiiiu t u tu t t t?，（ ） 1.1ittt t t ??? ? ?故質(zhì)點的速度在 時段內(nèi)呈線性變化[ 圖4 5 （b ）] ，并且在 時刻的速度為1( ) ( )( ) = ( ) + ( ) = ( ) +2iii i i i iu t u tu t t u t u t t t t u t t??? ? ? ? ? ?，（ ） .1t?位移在 時段按拋物線變化[ 圖4 5 （c ）] ，并且在時段末的加速度為21( ) ( )( ) = ( ) + ( ) +4iii i iu t u tu t t u t u t t t??? ? ? ?（ ） .1 tt??對于式（4 2 2 ）的單質(zhì)點運動方程，在時刻 處，則有( ) ( ) ( ) ( )m u t t c u t k u t t P t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） .1 .2式（4 31 ）與式（4 2） 相減，可以得到增量形式表示的振動方程為( ) ( ) ( ) ( )m u t c u t k u t P t? ? ? ? ? ? ?（ ） 其中( ) = ( ) ( )( ) = ( ) ( )( ) = ( ) ( )( ) = ( ) ( )u t u t t u tu t u t t u tu t u t t u tP t P t t P t? ? ? ??? ? ? ??? ? ???? ? ??（ ） .1將速度按式（4 2 9 ）改寫成增量形式11( ) ( )= ( ) ( ) =2( ) ( )21( ) ( ) ( )2 2 2iii i iiii i iu t u tu u t t u t tu t u tu t t t u t t u t t???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 同理，位移增量形式為2211= ( ) ( ) + ( )24i i iu u t t u t t u t t? ? ? ? ?（ ） .1由式（4 32 ）得( ) = ( ) ( )c k Pu t u t u tm m m?? ? ? ? ?（ ） .1由式（4 3 3 ）求得加速度增量244( ) = ( ) ( ) 2 ( )iiku t u t u t u ttt? ? ???（ ） .1并回代入式（4 3 4 ），有2= 2u u ut???（ ） . 1 . 1 . 1將式（4 3 7 ）和式（4 3 8 ）代入式（4 3 2 ），得( ) ( )iiK u t P t? ? ?（ ） 式中224=K k c mt t??? ?（ ） 4( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )i i i i ikP t P t m u t u t c u tt??? ? ? ? ? ??????（ ） .1 .1式（4 40 ）和式（4 41 ）分別稱為等效剛度和等效增量荷載。001()( ) .1( ) .1 .1.1.1iiiiututu t u ut???? ? ?在用平均常加速度法進行迭代時，在初始位移和初始速度 已知的條件下，先用式（4 39） 求出，再用式（4 37） 和式（4 38） 得到 、 ，然后利用式（4 33） 可得下一時刻 的位移、速度，為了避免誤差積累，加速度宜按式（4 36）直接計算。對于多自由度體系，只需將以上各式中的相應(yīng)物理量改寫成矩陣或向量的形式即可。最后指出，平均常加速度法是加速度法中的一種，對于具有各種自振周期的結(jié)構(gòu)和取用各種時間步長時，此法都是穩(wěn)定的。.5 .3 4 線性加速度法4 . 1 6t? ????線性加速度法假定加速度在 內(nèi)按線性變化 如圖 （a ) 所示即有：1()( ) ( ) ( ) ( )ii i i i iutu t u t t t t t t t tt ??? ? ? ? ? ? ? ??（ ） 將上式積分一次，可得2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) +2iii i it t u tu t u t u t t tt??? ? ??（ ） [ 4 . 1 6 ]速度按二次拋物線圖 （b ）再積分一次，有23( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) + +26i i i ii i it t u t t t u tu t u t u t t tt? ? ?? ? ?（ ） 位移：三次曲線. 1 . 1 it t t? ? ?在式（4 4 3 ）和式（4 4 4 ）中，令 ，則有+1( ) = ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2i i i i i i itu t u t t u t u t u t u t t u t ?? ? ? ? ? ?（ ） 22( ) = ( ) + ( ) ( )26i i i ittu t u t t u t u t??? ? ? ?（ ） ( ) ( ) ( )i i iu t u t u t? ? ?為便于計算，將 ， 用 表示，故有266( ) = ( ) ( ) 3 ( )i i i iu t u t u t u ttt? ? ???（ ） 33( ) = ( ) ( ) ( )2i i i itu t u t u t u ttt?? ? ???（ ） .1 itt?現(xiàn)將式（4 3 2 ）中令 ，并將以上兩式代入，得26 6 3 3( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( )i i i i i iiitm u t u t u t c u t u t u tt t ttk u t P t?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ?（ ） .1將上式整理后，可得與式（4 3 9 ）相同的方程( ) ( )iiK u t P t? ? ? （ ） 式中236=K k c mt t??? ?（ ） 6( ) ( ) ( ) 3 ( ) 2 3 ( ) + ( )2i i i i i iktP t P t m u t u t c u t u tt?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?（ ） +1.1 ( ) .1.1.1 =iiiuti t t t???有式（4 50）求出位移增量 后，代入式（4 47）和式（4 48），便可求出速度增量和加速度增量，然后，便可按式（4 33）求出 時段末 的動力反應(yīng)值。重復(fù)上述迭代過程，便可求出整個時間范圍的全部振動反應(yīng)。 ???這里應(yīng)指出：線性加速度法是一種有條件的穩(wěn)定數(shù)值積分方法，穩(wěn)定性條件為時間步長 當所取得時間步長太大時，就可能出現(xiàn)不收斂的情況。. 5 . 4 N e w m a r k ??4 法11[ , ]( )( )iiiit t tu t t????????平均常加速度法的基本假定是：在時段內(nèi)，質(zhì)點的加速度 取時段開始于時段末的加速度平均值。( ) . 1u ? 線性加速度法假定： 按線性規(guī)律變化（如圖47 ）。1( ) ( )iiNe wm ark u t u t? ?? 法的特點是假定：加速度介于 和之間的某一常數(shù)，可表示為1( ) = ( ) + ( )iiu u t u t? ? ? ?（1 ）（ ） 1()( ) ( ) 0 1.01iiutu t u????? ????系數(shù) 可以理解為該時段內(nèi)加速度初始值 與終值對 的貢獻權(quán)重，故 同時，為了提高迭代精度，令取一個參數(shù) 將上式表示為1( ) = 2 ( ) + 2 ( )iiu u t u t? ? ? ?（1 ）（ ） it ?按式（4 5 3 ）可得 時刻的速度11( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( )i i i i iu t u t u t u t u t t u t t? ? ??? ? ? ?（1 ）（ ） it ?同理，按式（4 5 5 ），得 時刻的位移212211( ) = ( ) + ( ) +