【正文】 . 5 . 4 N e w m a r k ??4 法11[ , ]( )( )iiiit t tu t t????????平均常加速度法的基本假定是：在時(shí)段內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的加速度 取時(shí)段開始于時(shí)段末的加速度平均值。最后指出，平均常加速度法是加速度法中的一種，對于具有各種自振周期的結(jié)構(gòu)和取用各種時(shí)間步長時(shí)，此法都是穩(wěn)定的。 雖 然 中 心 差 分 法 是 有 條 件 穩(wěn) 定 的 ，但 由 于 其 為 顯 式 積 分 ， 具 有 計(jì) 算 效 率 高 的 優(yōu) 點(diǎn) ， 在 很 多 情 況下 得 到 廣 泛 應(yīng) 用 。 上 式 即 為 單 自 由 度 體 系 的 中 心 差 分 法 計(jì) 算 公 式 。穩(wěn)定性，當(dāng)計(jì)算總步長增大時(shí)，數(shù)值解評價(jià)逐步積分的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn) 是否遠(yuǎn)離精確值。目前最常用最有效的數(shù)值方法就是時(shí)域內(nèi)的逐步積分法，或稱直接積分法、時(shí)程分析法，該方法是通過直接求解振動(dòng)方程來確定結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的方法。若（ ）Z = 0 有非零解，則有3 . 4 1 6 9 5 . 9 8 9 7 + 1 . 0 5 2 1 =0??42121 2 12 1 22= 0 .1 9 8 = 1 .5 5 4 90 .0 6 0 6 。12 pp p n pX X X n p?? ? ? ??0子空間迭代具體過程：若要求X 的前 個(gè)特征值及其相應(yīng)的特征向量（ ），先取 個(gè)線性無關(guān)的向量 ， ， ， 構(gòu)成 的初始矩陣，并令此初始矩陣 為012== pX X X? ??? ? ? ???0 ， ， ，1= KM? ?用矩陣 左乘上式，有（ ） 1 =??? 0 （ ） 1?對 進(jìn)行正交化處理，使其各列向量迭代后分別趨于不同階的振型，而不是都趨于第一振型，為此，令1= Z?? 1 （ ） 12= pZ Z Z Z Z?? ? ????式中， 為待定系數(shù)矩陣，可表示為 ， ，, ，利用廣義質(zhì)量和廣義剛度矩陣1 1 1 11 1 1 1()()TTMmKk?????? ??? ??（ ） pp?將原問題簡化為 階的特征值問題，因此有11KM? 2（ ）Z = 0 （ ） ? ? ? ? ? ?1 1 112, pp n pZ Z Z p???由于 ，因此，可求的 階自振頻率和對應(yīng)的待定系數(shù)向量的第一次近似值 ， ， 由此可求的體系 階振型的第一次近似值為1= Z?? 1? ? ? ? ? ?22 2 212,pR itzZ Z Zp?? ????1同理，再用 左乘 后得到 ，再利用 法求得待定系數(shù)向量的第二次近似值 ， ， 重復(fù)上述迭代過程，計(jì)算結(jié)果將收斂于體系的前 階振型和頻率。矩陣迭代法每次只能求出矩陣的一個(gè)特征值和特征向量。. 9 . 8例4 求例4 的第二振型與頻率。按照這一規(guī)律，如果迭代前，令 ，迭代的最終結(jié)果將收斂于第二振型；令，將收斂于第三振型，以此類推。? ? ? ?0 17 53 14TX ?第二次迭代時(shí)，令 ，再代入式（ ），有1 5 246 13 3 46 71 6 10 30 8 17 85 546 13 3 74 56 2 16 46 3 10 53 1. 21 56 1046 13 3 74 56 2 23 90 0 00 1. 28 37X ??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1( 2 )1( 3 )11( 2 ) ( 3 )0. 6898 470 0. 6870 462 TTXXXX???歸一化后，有 ，重復(fù)以上過程，進(jìn)行第三次迭代，有 ，結(jié)果已十分接近（ ）。? ?? ?XX在此必須指出：由于振型列向量所表達(dá)的物理含義是質(zhì)點(diǎn)之間的相對位移， 不是絕對值而是相對值，所以，在進(jìn)行每次迭代之前，都應(yīng)將振型 做歸一化處理，這樣才能便于迭代前后兩個(gè)振型之間的比較，并更有效的求出真值。根據(jù)克萊姆法則，若方程有非0解，其行列式應(yīng)為0 ，即2 =0KM?? （ ） 2 nn?由于上式是關(guān)于 的 次代數(shù)方程，故可求出最初 個(gè)自振頻率的近似值。R i t z R a y l e i g h R i t z H a m i l t o n為了求出高階頻率的近似值，以及使最低頻率更接近于精確解，發(fā)展了 的能量法。m a x m a x=UW（ ） 4 . 1 2設(shè)如圖 所示的分布質(zhì)量體系中任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為( , ) ( ) s i n ( )y x t Y x t????（ ） ( , ) ( ) c o s ( )y x t Y x t? ? ???（ ） 振型 由此得體系振動(dòng)時(shí)的動(dòng)能為2 2 2 20011 ( ) ( , ) c o s ( ) ( ) ( )22llU m x y x t d x t m x Y x d x? ? ?? ? ???（ ） c o s ( ) = 1t?? ?當(dāng) 時(shí)，體系動(dòng)能最大，即22m a x 01= ( ) ( )2lU m x Y x d x? ? （ ） 僅考慮彎曲變形時(shí)，體系的應(yīng)變能為2222222001 ( , ) 1 ( )= ( ) si n ( ) ( )22ll y x t d y xW EI x dx t EI x dxx dx??? ? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ???（ ） 同理，有22m a x 201 ( )= ( )2l d y xW EI x dxdx???????（ ） （ ）、（ ） 代入 m a x m a x=UW（ ） 2220220()()=( ) ( )lld y xE I x d xdxm x Y x d x?????????（ ） ( ) ( 1 , 2 , , ). 1 . 9()im x n m i nmx? ? ? ?如果體系除了分布質(zhì)量 外，還有 個(gè)集中質(zhì)量（圖4 3 ），這時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能除了式（4 1 ）所表示了分布質(zhì)量的動(dòng)能外，還應(yīng)包括集中質(zhì)量的動(dòng)能，即220 111( ) ( , ) + ( , )22nliiiU m x y x t d x m y x t?? ??（ ） 那么，此時(shí)體系的最大動(dòng)能則為2 2 2 2m a x 0111 ( ) ( ) + ( )22nliiiU m x Y x d x m Y x???? ??（ ） .9這樣，式（4 5 ）將改為：? ? 22 02201( ) ( )=( ) ( ) ( )lnliiiE I x Y x d xm x Y x d x m Y x????????（ ） ()( ) ()R a y le igh R a y le ighm x gYx法僅用來計(jì)算基本頻率，因此，為了求第一頻率，建議：可以用作用于體系上的自重荷載 在振動(dòng)方向上產(chǎn)生的靜位移當(dāng)做第一陣型 注意：如果考慮水平振動(dòng)，則重力應(yīng)沿水平方向作用，這樣它的做功可表示為：01 ( ) ( )2lW m x g Y x d x? ? （ ） 4 . 9 8因此，對于既有分布質(zhì)量又有集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)體系，式（）改寫：02 12201( ) ( ) + ( )=( ) ( ) ( )nliiinliiim x gY x dx m g Y xm x Y x dx m Y x? ???????（ ） ()qx當(dāng)然，也可以取結(jié)構(gòu)在某一靜荷載 作用下所產(chǎn)生的彈性曲線作為振型曲線的近似表達(dá)式，這樣，上式又可改寫為：2 02201( ) ( )=( ) ( ) ( )lnliiiq x Y x d xm x Y x d x m Y x??????（ ） .6 E I m例4 試用能量法求等截面簡支梁（ 為常數(shù)，分布質(zhì)量為 ）的第一頻率。.8解：按式（4 7 ），有32 2 21111 1 1= + 2 2 . 1 3 1 05 . 1 6ni i iim????? ? ? ? ?? ?111 4. 90 , .9 , 1%ss? ??? ?解之，得 參數(shù)變化后的精確解為4 5 估算的誤差為 。設(shè)原多自由度體系的基頻為 ，各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的增量為 ，則按 公式質(zhì)量增加后體系的基頻 為221 1 1 111+ = + =n n n ni i i i i i i i i i i i ii i i im m m m m? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?（）（ ） 4 .8 4 k e rk e rk e rk e rD u m le yD u m le yD u m le yD u m le y由式（ ）可知， 公式是在左端略去高頻項(xiàng)得到的，因而他給出的基頻降低于實(shí)際值；另外，體系的高頻與基頻相差越大， 公式給出的結(jié)果也就越精確，反之，體系的高頻與基頻越接近， 公式的誤差也就越大，所以， 公式對于有密集頻譜的肋板、連續(xù)梁和板等結(jié)構(gòu)的計(jì)算精度較差。 0 ,0)TTYYPtPtt????? ? ??如圖4 ，已知結(jié)構(gòu)的兩個(gè)自振圓頻率分別為 、 ，結(jié)構(gòu)的第一主振型與第二主振型分別為 、試求結(jié)構(gòu)在突加載荷當(dāng)當(dāng) 作用下的位移和彎矩。21 2 30= 45 , 44 , 1KM ?? ? ???解：利用方程 求得結(jié)構(gòu)的三階頻率分別為：， ， （1 s ）R a y le ig h（1 ）假設(shè)為 阻尼1 2 1 2 2 122212 2 1 12221.6= = 3= = 02 3? ? ? ? ? ????? ? ? ????根據(jù)式（4 6） ，有2 （）2( ）.6故利用式（4 2 ），可得3 9 2 .8 0 2 2 5 .4 0 02 2 5 .4 0 9 2 7 .3 0 4 5 0 .8 0 /0 4 5 0 .8 0 1 2 6 5 .4 0C k N s m?????? ? ? ????4 . 6 4 )再利用式（ 得體系的第三振型阻尼比為31 0 . 9 3= +0 . 0 0 2 3 * 4 6 . 6 6 1 = 0 . 0 6 3 62 4 6 . 6 6 1???????. 2 %可見，由第一陣型和第二振型阻尼比求的第三振型與實(shí)測值之間有較大差異（27 ）.C a u g h e y（2 ）假設(shè)為 阻尼.7利用式（4 0 ）可得方程組：. 0 = . 5 . 4 + . 4 + . 4. 0 = . 5 3 0 . 1 4 4 + 3 0 . 1 4 4 + 3 0 . 1 4 4. 0 = . 5 4 6 . 6 6 1 + 4 6 . 6 6 1 + 4 6 . 6 6 1? ? ?? ? ?? ? ????? ????30 1 230 1 230 1 20 5 0 （ 1 3 4 5 1 3 4 5 1 3 4 5 ）0 5 0 （）0 5 07= 0. 84 7 = 0. 00 28 4 = 4. 96 10 .6? ? ? ?0 1 2解的 ， ， ，然后根據(jù)式（4 7） ，有1:38 6. 49 7 19 8. 80 1 35 .2 3619 8. 80 1 80 7. 95 2 29 2. 37 1 /35 .2 36 29 2. 37 1 10 54 .0 14C M M KM KC k N s m? ? ??? ? ???????? ? ? ???????012代入已知條件，得4 . 3 . 3 振型疊加法.5R a y l e i g h利用 阻尼假設(shè)將方程（4 4 ）轉(zhuǎn)化為()M u M K u K u P t??? ? ? ?（） （ ） 1niiiu X q X q??? ?（ ） ()M u M K u K u P t??? ? ? ?（） （ ） ()M X q M K X q K X q P t??? ? ? ?（） （ ） ()M X q M K X q K X q P t??? ? ? ?（） （ ） ? ?TjX兩端左乘()j j j j j j j jM q M K q K q F t??? ? ? ?（）