【正文】 ? ? ??? ?1 1 1 2 2 2= n n nX X X? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?同理可得0 1 1 1 2 2 2=k k k kn n nX X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ?1k?上式兩端同除以 ，有0 21 1 2 21111 = kkk nnnk X X X X??? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 2 1 21000nnkik? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??因?yàn)?，即 ，也就是說：當(dāng) 充分大時， ，所以有10( ) 1 1 1kkkX X X? ? ???0111kkk X X???可見，經(jīng)過 次迭代后， 與第一振型的精確解 僅差常數(shù)項(xiàng) ，而每次迭代后所作的歸一化處理又可以消除常數(shù)項(xiàng)的影響，故多次迭代后1( ) 1kXX?112=0= = 0i???振型迭代法不僅可以求解體系的基頻和一階振型，也能用來確定高階頻率和相應(yīng)的振型。但是要做到這一點(diǎn)，必須對假定的迭代向量做適當(dāng)?shù)奶幚?，即為了確定第二振型，必須在假定的迭代向量中消除第一振型的影響；在確定第三振型時，則消除第一和第二振型的影響，以此類推。按照這一規(guī)律，如果迭代前，令 ，迭代的最終結(jié)果將收斂于第二振型；令，將收斂于第三振型，以此類推。所以用迭代法求體系第階頻率或振型的 具體方法如下：? ? TiiX X M將振型向量 的線性組合兩邊左乘 ，并利用振型的正交性，有0 11= + +T T T Ti i i i i n i nX M X X M X X M X X M X? ? ?? ??? ? ???= Ti i iX M X?故有0=Tii TiiX M XX M X?01rj j jjrXX ???? ?為了在假設(shè)的振型中消除前面的階振型分量，可取初始迭代向量為 ，將 代入，則有00 0 011==Trrjj j j rTjj jjX MXX X X X S XX MX???????1=Trjrj Tj jjXMS E XX MX??? ?式中， 為清型矩陣。.1 .1.1rrrS? ? ??在實(shí)際迭代過程中，為了避免振型中可能含有的前 階振型分量,要求每次都要用清型后的矩陣來前乘。也就是說，用矩陣迭代法求體系的第一頻率時可按式（4 1 3 ）（4 1 6 ）的過程進(jìn)行；而高階頻率時，則用 代替式（4 13） 中的 ，然后進(jìn)行矩陣迭代即可。. 9 . 8例4 求例4 的第二振型與頻率。解：11, , ,X M K ??由于已知 ， ，故有? ?112550 0 0 0. 6870= 0. 6870 462 0 2540 0 4620 0 560 TX MX? ? ? ???????????? ? ? ?= 4 0 3 7 .6 0? ?110. 68 70 25 50 0 0= 46 2 0. 68 70 46 2 00 0 25 40 0 00 0 0 56 0TX X M? ? ? ??? ?????? ??? ? ? ?3 03 5 51 1 84 7= 57 6 74 0 29 9 10 51 9 03 3 60 0???? ???311 03 5 51 1 84 71 57 6 74 0 29 9 10 / 40 37 .601 51 9 03 3 60 0S? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 .7 0 1 9 0 .4 0 8 9 0 .0 9 5 30 .4 1 0 5 0 .4 3 6 8 0 .1 3 1 20 .4 3 3 9 0 .5 9 5 2 0 .8 6 1 3??????? ? ?????511 133 716 308 133 562 463 10 133 562 900S?? ?????? ? ???0. 70 19 0. 40 89 0. 09 530. 41 05 0. 43 68 0. 13 120. 43 39 0. 59 52 0. 86 13??????? ? ?????3 28 4 91 2 73 1 95 4 68 3 08 1 10 90 7 36 8 78 0???????? ? ? ?????? ?021= ??設(shè)二階振型的初始近似值為 ，再按例 的矩陣迭代法進(jìn)行迭代，其中 取 。? ? ? ? 22 0 . 9 8 0 . 4 9 1 . 0 0 , 2 7 . 2 0 /TX r a d s?? ? ? ?結(jié)果有 子空間迭代法子空間迭代法也稱平行迭代法。R it z實(shí)質(zhì)就是對一組試驗(yàn)向量反復(fù)的使用 法和矩陣迭代法。矩陣迭代法每次只能求出矩陣的一個特征值和特征向量。子空間迭代法一次可求矩陣的前幾個最大的特征值及特征向量。121212()nppX X Xp p nn p Y Y Y R itzX X X??????????原理： 矩陣X 的原n 個線性無關(guān)的特征向量（振型） ， ， ，構(gòu)成一個n 維向量空間，先任取 個線性無關(guān)的向量形成的 維子空間 ， ， ， ，然后，反復(fù)使用 法和矩陣迭代法，使p 個試驗(yàn)向量的低階振型分量不斷的相對放大，最總都向低階特征向量 ， ， ， 所形成的子空間靠攏。1 2 1piipY Y Y XY???注意： 如果只對 維子空間向量進(jìn)行迭代而不進(jìn)行正交化處理，則， ， ， 最終都收斂于一階振型 ，所以，迭代過程中必須對其做質(zhì)量矩陣M 的正交化處理，使 逼近X 。12 pp p n pX X X n p?? ? ? ??0子空間迭代具體過程：若要求X 的前 個特征值及其相應(yīng)的特征向量（ ），先取 個線性無關(guān)的向量 ， ， ， 構(gòu)成 的初始矩陣，并令此初始矩陣 為012== pX X X? ??? ? ? ???0 ， ， ，1= KM? ?用矩陣 左乘上式，有（ ） 1 =??? 0 （ ） 1?對 進(jìn)行正交化處理，使其各列向量迭代后分別趨于不同階的振型，而不是都趨于第一振型，為此，令1= Z?? 1 （ ） 12= pZ Z Z Z Z?? ? ????式中， 為待定系數(shù)矩陣，可表示為 ， ，, ，利用廣義質(zhì)量和廣義剛度矩陣1 1 1 11 1 1 1()()TTMmKk?????? ??? ??（ ） pp?將原問題簡化為 階的特征值問題，因此有11KM? 2（ ）Z = 0 （ ） ? ? ? ? ? ?1 1 112, pp n pZ Z Z p???由于 ，因此，可求的 階自振頻率和對應(yīng)的待定系數(shù)向量的第一次近似值 ， ， 由此可求的體系 階振型的第一次近似值為1= Z?? 1? ? ? ? ? ?22 2 212,pR itzZ Z Zp?? ????1同理，再用 左乘 后得到 ，再利用 法求得待定系數(shù)向量的第二次近似值 ， ， 重復(fù)上述迭代過程，計(jì)算結(jié)果將收斂于體系的前 階振型和頻率。1 2 34 . 1 0 1 , 1 ,m m m k? ? ? ?例 已知 樓層側(cè)移剛度均為 利用子空間迭代法求前兩階振型。12 1 0 1 0 0 1 1 11 2 1 0 1 0 = 1 2 20 1 1 0 0 1 1 2 3K M K M? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?解： ， ，則取前兩階振型的初始近似值為01 5 5 5 1= = = = 1 5 5T? ? ????? ???????? ????00 ，利用1 5 1= 0 7 0 3???????????歸一化后，有 ，求解廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣1 1 1 1 1 . 8 3 3 6 0 . 6 5 0 1()0 . 6 5 0 1 1 . 5 5 5 6TMm ?? ????????1 1 1 1 0 . 3 6 5 0 . 1 3 3()0 . 1 3 3 2 . 1 1 1TKk ?? ????????11. 4 4 . 2 8 4 2 +0 . 7 5 2 8 = 0KM ???242若（ ）Z = 0 有非零解，則有2 4 3 6121 2 12 1 2= 0 .1 9 7 = 1 .5 5 50 .0 0 0 2 。= 0 .3 5 1ZZZZ??????22解得：，對于 ，有：對于 ，有：1 51 Z???? ?????故有110 .4 4 9 8 0 .8 4 2 1= = 0 .7 9 9 9 0 .3 8 5 91 .0 0 .6 8 4 3Z???????? ???1因此，第一近似的一、二階振型為,0 .4 4 9 8 1 .0= = 0 .7 9 9 9 0 .4 5 8 31 .0 0 .8 1 2 6??????????1歸一化后 有220 .4 4 5 5 10 .8 0 2 0 .4 5 1 31 .0 0 0 .8 0 7 2?????????? ? ??????11再對 左乘算子 得作廣義質(zhì)量振型和廣義剛度矩陣的第二近似為2 2 22 2 21 .8 4 1 7 0 . 0 0 0 2()0 . 0 0 0 2 1 .8 5 5 30 .3 6 4 7 0 .0 0 0 7()0 .0 0 0 7 2 .8 8 4 9TTMmKk???????? ???????? ????22R i t z K M? 2再次歸結(jié)為 特征值問題。若（ ）Z = 0 有非零解，則有3 . 4 1 6 9 5 . 9 8 9 7 + 1 . 0 5 2 1 =0??42121 2 12 1 22= 0 .1 9 8 = 1 .5 5 4 90 .0 6 0 6 。= 0 . 0 0 0 21 .0 0 0 . 0 0 0 20 .0 6 0 6 1 .0 0ZZZZZ???????????????22解得，對于 ，有：對于 ，有：故有220 .3 8 4 9 1 .0= = 0 .7 7 4 6 5 0 .4 5 1 4 61 .0 4 8 9 2 0 .8 0 7Z???????? ???2因此，第二次近似的一、二階振型為12,0 .3 6 6 9 1 .0= = 0 .7 3 8 5 0 .4 5 1 41 .0 0 .8 0 6 9= 0 .1 9 8 = 1 .5 5 4 9??????????? ???222歸一化后 有由第二輪迭代得到的 ， 與真實(shí)解差別已經(jīng)很小了。4 . 5 動力反應(yīng)數(shù)值分析方法()PtD u h a m e l F o u rie rD u h a m e l F o u rie r對結(jié)構(gòu)體系，當(dāng)外載 為解析函數(shù)時，采用時域分析方法中的 積分法或頻域分析法中的 變換方法等，一般都可以得到體系動力反應(yīng)的解。但這兩種方法均是基于疊加原理，要求結(jié)構(gòu)體系是線彈性的，而且當(dāng)載荷沒有解析表示式（如地震荷載）或解析式太復(fù)雜時，疊加原理將不再適用，也就是說， 積分、 變換或振型疊加法此時失效，因此只能采用數(shù)值分析方法。目前最常用最有效的數(shù)值方法就是時域內(nèi)的逐步積分法，或稱直接積分法、時程分析法，該方法是通過直接求解振動方程來確定結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的方法。N e w ma r kWi l s o n???????????????分段解析法中心差分法平均加速度法逐步積分法線性加速度法法法N e w m a rk W ilso n?????????????????顯式方法：在每一步內(nèi)計(jì)算新的反應(yīng)值僅僅依賴于前面步驟已經(jīng) 獲得的量。 中心差分法等 隱式方法：在每一步長給出新值的表達(dá)式中包含了與本步有關(guān)的 一個或多個值，所以，必須假定所需要的試