【文章內容簡介】 lllaE I d xE I x Y x d xE I a llm a laxm x Y x d xm l x d xl???????????????????? ?21 0 . 9 5= EIlm?所以，( 2 ) ( ) ,q Y x取均布荷載 作用下的繞度曲線為振型曲線 則4 3 3( ) ( 3 )24qY x x l x lxEI? ? ?222502224 3 3 90( 1 2 1 2 )12024=31( 3 )2 4 2 4 6 3 0llqE I x lx d xq l E IEIqqm x l x lx d x m lE I E I???????? ?? ? ? ??? ????? ? ? ???4 .9 8由式（ ）得故有2 7= EIlm?( 3 ) 設形狀函數(shù)為正旋曲線，即( ) s i n xY x a l???? ????29 . 8 6 9 64 . 9 8 EIlm? ?代入式（ ），同理可得2= 9 .8 6 9 6 E I m l?由此可見，由于正弦曲線是第一主振型的精確解，因此由求得的頻率（ ）是第一頻率的精確解。另外，所選的前兩種曲線，因為大部分或全部滿足邊界條件，因此所得結果誤差較小，但均比精確值大，這時能量法的一個特點，因為假定的曲線并非真實的振型曲線，即相當于給結構增加了某些多余約束，從而增大了體系的剛度，因此所得的頻率將偏大。4 .4 .3 R itz 法用能量法求體系的第一頻率，精確度取決于假設振型的精確程度，并且只能求得振動基頻的上限（比真實值大）。R i t z R a y l e i g h R i t z H a m i l t o n為了求出高階頻率的近似值，以及使最低頻率更接近于精確解，發(fā)展了 的能量法。 法是建立在 變分原理基礎上的，是將變分問題轉換為求多個變量函數(shù)的極值問題。H a m il to nU W W?原理是分析動力學的一個變分原理，它提供了從一切可能發(fā)生的、滿足約束條件的運動中判斷真正的實際發(fā)生的運動的準則，對于實際發(fā)生的運動，彈性體系的動能 、勢能 和虛功 必須滿足2211( ) 0ttW U d t W d t?? ? ? ???（ ） 0W H a m ilto n???對于周期性的（積分上下限可取一個周期，即0 與2 ）、無阻尼結構體系自由振動問題，上式中虛功 為 ， 原理可表述為：在所有的可能運動狀態(tài)中，精確解使( ) =W U d t?? ??20駐值（ ） 4 . 92 . 9將式（ ）及式（4 4 ）代入上式，由于時間的積分范圍取一個周期，故有，? ? 22 2= ( ) ( ) ( )2EI Y x dx m x Y x dx???? ? ???1 駐值2（ ） ()Yx設 為假定的振型曲線，將它按振型分解1 1 2 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn n i iiY x a y x a y x a y x a y x?? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 1 1 2 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn n i iiY x a y x a y x a y x a y x?? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） ().1Y x n a式中， 是滿足位移邊界條件的 個獨立位移函數(shù)， 是待定參數(shù)。將上式代入（4 0 4 ），有? ? 21 1 2 2= ( ) ( ) ( )nnE I a y x a y x a y x d x?? ?? ??? ? ? ? ? ? ??12? ?221 1 2 20 ( ) ( ) ( ) ( )2lnnm x a y x a y x a y x dx? ? ? ? ? ? ??2, 1 , 1= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnj i i j j i i jj i j ia a E I y x y x d x a a m x y x y x d x????? ?? ?? ?????????12令00( ) ( ) , ( ) ( ) ( )llij i j ij i jk EI y x y x dx m m x y x y x dx?? ??????（ ） （ ） 得211= ( )nnij ij i jijk m a a???????120 , ( 1 , , ) ,iina?? ? ? ????應用駐值條件 有21( ) 0 , ( 1 , , )ni j i j jjk m a i n??? ? ? ? ? ??（ ） 寫成矩陣形式為? ? ? ?2K M a??( ) = 0 （ ） .1矩陣中的各項按式（4 0 6 ）取值。根據(jù)克萊姆法則，若方程有非0解，其行列式應為0 ，即2 =0KM?? （ ） 2 nn?由于上式是關于 的 次代數(shù)方程，故可求出最初 個自振頻率的近似值。4 . 7 . 1R it z例 利用 法求等截面懸臂梁的自振頻率（圖4 4 ）解：設近似振型為2212( ) 1 1x x xY x a al l l? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?.1 i j i jkm利用式（4 0 6 ）求得常數(shù) 與 如下：? ? ? ?3333425 3 0,243 0 1 0 5E I E I m l m lllKME I E I m l m lll?? ????? ???? ???? ?????????2233223342 5 30=024 30 105EI m l EI m lllEI m l EI m lll????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2 4 2 2 3 20 . 7 9 4 9 7 2 1 2 0 0 0 ( ) 0m l E I m l E I l?? ??即方程的根為1 442 44= 5 ( 16 )= 1 ( 35 )EI EIm l m lEI EIm l m l??精確值為 ；精確值為故頻率方程為2?為了改善 的計算精度，可采用以下四個函數(shù)：1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y x a y x a y x a y x a y x? ? ? ?221 2 324( ) = 1 ( ) 1 ( ) 0 . 5 1 ( ) 0 . 7 5 0 . 2 5 1 x x x x x xy x y x y xl l l l l lx x x xyxl l l l? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2其 中 ， ， ，12 442 = 3 . 5 1 6 = 2 2 . 1 5 9E I E Im l m l??同理，求得結構的前階頻率分別為 ，可見，如要得到更精確的值更好在假設振型的級數(shù)中取更多一些項。4 .4 .4 矩陣迭代法Sto do la矩陣迭代法又稱 法或冪法，它是采用逐步逼近的計算方法來確定結構的頻率和振型，它適用于求出結構的前幾階振型和頻率。對 于 多 自 由 度 體 系 其 自 由 振 動 方 程 可 表 示 為2K X M X??（ ） 121 K??上式兩端同時左乘121 X K M X???（ ） 121== KM????令 ， ，上式為XX??? （ ） 0X現(xiàn)假定 是第一振型的第一次近似解，并進行了歸一化處理（即其中某一個質點，通常為第一個或第n個的振幅為1 ），代入上式左邊，并令10XX??（ ） 0X如果 是第一振型的真實解，則必有10XX??（ ） 如果不滿足上式，再令01=XX（ ） 重復此迭代過程，直到相鄰兩次的迭代結果相近。? ?? ?XX在此必須指出：由于振型列向量所表達的物理含義是質點之間的相對位移， 不是絕對值而是相對值，所以，在進行每次迭代之前，都應將振型 做歸一化處理，這樣才能便于迭代前后兩個振型之間的比較，并更有效的求出真值。5.8255 0 0 0 14. 46 9. 03 00 254 0 0 , 9. 03 17. 26 8. 23 10 /0 0 560 0 8. 23 8. 23MKM t K k N m??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?例4 某 三個自由度體系，其質量矩陣 和剛度矩陣 分別為試用矩陣迭代法解結構的一階頻率和振型。解：因為 1 50. 18 42 0. 1 84 2 0. 1 84 20. 1 84 2 0. 2 94 9 0. 2 94 9 10 /0. 1 84 2 0. 2 94 9 0. 4 16 4K k N m????????? 1 54 6 9 .6 1 3 3 4 6 7 .7 7 1 6 1 0 3 .1 3 0 8= 4 6 9 .6 1 3 3 7 4 9 .0 5 6 2 1 6 5 .1 4 6 3 1 04 6 9 .6 1 3 3 7 4 9 .0 5 6 2 2 3 3 .1 9 0 0KM??????????所以? ?0 1 1 1 , .1TX ?設 代入式（4 14），有1 5 2 133 716 308 1 405 133 562 463 10 1 838 10 133 562 900 1 519X ??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1( 1 )01( 1 )0 . 7 1 7 0 . 9 5 3 1 . 0 0 0 TXXX??振型歸一化，有 。因此此時，所以要進行第二次迭代。? ? ? ?0 17 53 14TX ?第二次迭代時，令 ，再代入式（ ），有1 5 246 13 3 46 71 6 10 30 8 17 85 546 13 3 74 56 2 16 46 3 10 53 1. 21 56 1046 13 3 74 56 2 23 90 0 00 1. 28 37X ??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1( 2 )1( 3 )11( 2 ) ( 3 )0. 6898 470 0. 6870 462 TTXXXX???歸一化后，有 ，重復以上過程，進行第三次迭代，有 ，結果已十分接近（ ）。所以一階振型的近似解為? ?1 0. 687 0 462 00 TX ??.1故按式（4 1 2 ），有50. 6870 133 716 308 0. 6870 462 = 133 562 463 10 462 133 562 900 ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?21注意到上式為3個 獨立的方程，可按其中任一式求解，如按第3個 方程，則有? ? 51 . 0 = 4 6 9 . 6 1 3 3 0 . 6 8 7 0 +7 4 9 . 0 5 6 2 0 . 9 4 6 2 + 2 3 3 . 1 9 0 1 1 0? ?? ? ? ? ?21故得1 = 9 /rad s?1( 2 ).1 X下面證明用迭代法求出的頻率和振型就是體系第一頻率及相應的振型由式（4 14）可 知：經(jīng)過兩次迭代后，振型向量 （下標表示迭代次數(shù)）為1 1 0 0( 2 ) ( 1 )==X X X X? ? ? ? 2（ ）=k同理，通過 次迭代后1 1 0 0() = kkkX X X? ? ??（ ）=0 iXX由于所假定的 可表示為體系真實振型向量 的線性組合0 1 1 2 2= nnX X X X? ? ?? ? ??? ?ii Xi?式中， 為常數(shù)， 為體系的第階振型。21( , )i i i iiX X i i? ? ? ???所以，根據(jù) 表示第階振型 有0 1 1 2 2= nnX X X X? ? ? ? ? ? ?