【文章內(nèi)容簡介】 得 1211222323xxxx??????則方程為 121122203203xxm x kxxm x k??????45 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 頻率方程為 即 22222222111 6 2 4 1 601 6 1 6k L k Lm g L m Lk L k Lm g L m L??? ? ??? ? ?22 1 1 1 1 1 222 1 2 2 2 2[ ] [ ] 0k m kKMk k m????? ? ??展開得 24233 5 2 3 01 6 8g k g g kL m L m L?? ???? ? ? ??????? ??+46 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 頻率方程為 0[]0mMm???????2133[]1233kkKkk????? ????????222330233kkmkkm?????解得 12 ,3kkmm????47 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 35】 質(zhì)量為 m2的物塊從高 h處自由落下 ， 然后與彈簧質(zhì)量系統(tǒng)一起做自由振動 ， 已知 m1＝ m2＝ m， k1＝ k2＝ k，h＝ 100 mg/k， 求系統(tǒng)的振動響應 。 解 :（ 1） 用牛頓定律建立方程 1 1 1 1 2 1 22 2 2 1 2()()m x k x k x xm x k x x? ? ? ???120[]0mMm???????1 2 222[]k k kKkk????? ?????48 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 （ 2） 頻率方程為 222 0k m kk k m???? ???解得 120 . 6 1 8 , 1 . 6 1 8kkmm????（ 3） 求振型 。 利用 }0{}]){[]([ 2 ?? XMK ?則 (1)2112 (1)1 220Xk m kk k m X???????? ????????? ???? ??( 1 )21 ( 1 )11 .6 1 8XuX??同理 ( 2 )22 ( 2 )10 . 6 1 8XuX? ? ?49 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 （ 4） 求響應 初始條件 01 01 0,xx??代入得 1 ( 1 ) ( 1 )1 1 2 111211{ } c o s s inxx C t C tuux???? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ???( 2 ) ( 2 )1 2 2 22211c o s s inC t C tuu??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?02 0,x ? 02 2x g h?( 1 ) ( 2 )11( 1 ) ( 2 )1 1 2 100CCu C u C????( 1 ) ( 2 )1 2 2 2( 1 ) ( 2 )1 1 2 2 2 202CCu C u C g h????????50 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 解得 響應為 ( 1 ) ( 2 )11 0,CC??( 1 ) ( 2 )221 0 .2 3 3 , 3 .9 0 8m g m gCCkk? ? ?11121{ } 1 0 . 2 3 3 s inx mgxtukx??? ??????? ? ? ??? ????2213 .9 0 8 s inmg tuk???? ????51 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 在二階振動微分方程中 ， 如果質(zhì)量矩陣 [M]和剛度矩陣 [K]的各個元素都不為零 ， 則在兩個方程中都同時包含坐標 x1和 x2和它們的導數(shù)項 ， 這種情形稱為坐標耦合 。 把 [M]為對角陣 ， [K]不是對角陣的情形稱為靜力耦合或彈性耦合 （ 剛性耦合 ） ， 把 [K]為對角陣 ，[M]不是對角陣的情形稱為動力耦合或慣性耦合 。 廣義坐標與坐標耦合 52 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 方程是否耦合與廣義坐標的選取有關 。 前面分析的標準 mkc系統(tǒng)就是靜力耦合 。 對于下面的振動系統(tǒng) ， 設桿的質(zhì)量為 m，繞質(zhì)心的轉動慣量為 JC。 53 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 若取質(zhì)心位移 x和轉角 ?為廣義坐標 ，則自由振動方程是靜力耦合的 1 2 1 2221 2 1 20 () 00 () 0Cxm k k k a k b xJ k a k b k a k b ??? ? ????? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ????? ??54 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 若坐標 x不取在質(zhì)心 ,而是選在滿足 k1a1＝ k2b2的 O點位置 ， 利用平面運動微分方程可得到 12221 1 2 10 00 0Oxm m e kk xm e J k a k b ??????? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ????? ?? 其中 e為 O點距質(zhì)心的距離 ， 這時運動方程是動力耦合的 。 O C e a1 b1 21()k x b??)( 11 ?axk ?55 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 2 [ ( ) ]k x a b ??? 同樣 ， 若將坐標 x取在最左端 A， 利用平面運動微分方程得到運動方程為 這里的 a和 b如原圖所標的位置 。 方程既是靜力耦合又是動力耦合 。 1 2 2222() 0( ) ( ) 0Axm m a k k k a b xm a J k a b k a b ??????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???1kx56 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 從前面的分析可知 ， 只要廣義坐標形式選擇合適 ， 就可以得到?jīng)]有坐標耦合的運動微分方程 ，這時的廣義坐標稱為主坐標 。 主坐標下的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣除主對角線元素外 ， 其余元素均為零 ， 各個運動方程的坐標之間不存在耦合 。 主坐標 57 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 其中 [u]是前面得到的振型矩陣 ? ?1211uuu???????令 ? ? ? ?? ?x u P? 將 {x}代入原振動方程 ， 化簡后就可得到解耦的運動方程 （ 下章證明 ） 2{ } { } { 0 }iiPP???58 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 顯然上述解耦的方程的解可以用單自由度振動的方法獨立求得 將其代入 {x}=[u]{P}即可得到用原始坐標 {x}表示的一般解 。 主坐標的概念在強迫振動中具有重要意義 。 si n( )i i i iP C t????59 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 利用主坐標解耦的方法求解系統(tǒng)響應的基本步驟為： （ 1） 求出原振動方程的固有頻率和振幅比 ， 得到振型矩陣 [u]； （ 2） 求出主坐標下的響應； si n( )i i i iP C t????（ 3） 利用式 {x}=[u]{P}得出原廣義坐標下的響應； （ 4） 利用初始條件確定常系數(shù) 。 60 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 例 37】 標準 mkc系統(tǒng)中 ，設 m1＝ m, m2＝ 2m, k1＝ k2＝ k, k3＝ 2k, c=0, 求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型 。 利用坐標變換方法求系統(tǒng)對初始激勵的響應 。 設初始條件為 0 1 0 2 0 1 0 21 , 0x x x x??＝ ＝61 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 解 : （ 1） 求固有頻率和振幅比 ,得到振型矩陣 [u] 21 ,km? ＝ 22 5 ,2km? ＝1211,2uu ??＝11[] 112u??????????0[]02mMm??? ????2[]3kkKkk???? ?????62 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 si n( )i i i iP C t????（ 3） 利用式 {x}=[u]{P}得出 （ 2） 主坐標下的響應 （ 4） 確定常系數(shù) 。 將初始條件代入得 1 1 1 1 2 2 2si n( ) si n( )x C t C t? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 1 2 2 21s in ( ) s in ( )2x C t C t? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 21 si n si nCC ????1 1 2 211 s in s in2CC????63 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 聯(lián)立解得 1 1 1 2 2 20 c os c osCC? ? ? ???1 1 1 2 2 210 c o s c o s2CC? ? ? ???1 2 11 , 0 , / 2CC ??? ? ?所以 1 2 1s in ( ) c o s2kx x t tm??? ? ? ?64 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 兩自由度振動微分方程為 復數(shù)解法 兩自由度系統(tǒng)的強迫振動 [ ] { } [ ] { } [ ] { } { ( ) }M x C x K x F t? ? ?設干擾力為諧和函數(shù) ， 并表示為復數(shù)形式 ? ?1122(){ ( ) }()i t i tF t FF t e F eF t F??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?令方程的解為 ? ?1122(){ ( ) }()i t i tx t Xx t e X ex t X??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?65 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 其中 X1和 X2為復振幅 。 將上式代入方程得 [ ( ) ] { } { }Z X F? ?其中 1 1 1 22 1 2 2( ) ( )[ ( ) ]( ) ( )zzZzz????????????2()ij ij ij ijz m i c k? ? ?? ? ? ?(i, j=1, 2) ? ? 2[ ( ) ] [ ]Z K M????2()ij ij ijz k m????若為無阻尼系統(tǒng) ， 則 66 振動理論及應用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 振幅為 2 2 1 1 2 21 21 1 2 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( )z F z FXz z z??? ? ????1 2 1 1 1 22 21 1 2 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( )z F z FXz z z??? ? ????? 若干擾力為正弦函數(shù)或余弦函數(shù) ， 則前面分析中相關的 ei? t 變?yōu)?sin? t 或 cos? t 即可 。 1{ } [ ( ) ] { }X Z F? ??即 67