單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)固有頻率(編輯修改稿)
2025-05-26 04:48 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 與彈簧未伸長(zhǎng)時(shí)的位置一致。 靜位移對(duì) 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的影響 彈簧和阻尼器垂直放置 如圖。 運(yùn)動(dòng)微分方程： )()()()( tFtkxtxctxm ??? ???彈簧末變形時(shí)質(zhì)塊的位置與靜平衡時(shí)質(zhì)塊的位置不同 彈簧靜變形量： δst=mg/k 取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為坐標(biāo)正方向， 運(yùn)動(dòng)微分方程為： )]()([)()()( ttxktxcmgtFtxm ts?????? ???δst=mg/k )()()()( tFtkxtxctxm ??? ???結(jié)論： 在線性系統(tǒng)的振動(dòng)分析中，可以忽略作用于系統(tǒng)上的恒力及其引起的靜態(tài)位移。 燕山大學(xué) Yanshan University 自由振動(dòng)： 當(dāng) F(t)=0時(shí)，系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動(dòng)。 無(wú)阻尼自由振動(dòng)： 當(dāng) F(t)＝ 0、 c ＝ 0時(shí)，系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動(dòng)。 )()()()( tFtkxtxctxm ??? ??? 單自由度線性系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程： ( ) ( ) 0m x t k x t??無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程： mkn ??設(shè)： 0)()( 2 ?? txtx n???運(yùn)動(dòng)微分方程的通解： 12( ) c o s s i nnnx t A t A t????? ?? ?( ) si n( ) c osnnx t A tx t A t????????式中， A A2—— 待定系數(shù)； A、 ——待定系數(shù) ； A、 φ——待定系數(shù) 。 ?由初始條件確定！ 燕山大學(xué) Yanshan University mkn ??? ?( ) s i n nx t A t????無(wú)阻尼自由振動(dòng)： x(t)振動(dòng)的角頻率為 ωn。 固有角頻率 無(wú)阻尼自由振動(dòng)的固有角頻率， rad/s。 固角頻率與振動(dòng)周期 固有頻率 fn：系統(tǒng)每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)， Hz或 1／ s。 振動(dòng)周期 T：系統(tǒng)振動(dòng)一次所需的時(shí)間， s。 mkf nn ???212 ??kmfTn ?21 ??燕山大學(xué) Yanshan University 振幅與初相角 ? ?? ?12( ) c o s s in( ) s in( ) c o snnnnx t A t A tx t A tx t A t??????? ??????????運(yùn)動(dòng)微分方程： 初始條件： 00( 0 )( 0 )xxxv??? ?????????nvAxA?020122 001 001 00nnnvAxxtgvvtgx??????????? ?????????????????燕山大學(xué) Yanshan University (1)無(wú)阻尼線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)為等幅簡(jiǎn)諧振動(dòng) 。 (2)無(wú)阻尼線性系統(tǒng)自由振動(dòng)的固有角頻率 、 固有頻率 、振動(dòng)周期僅由系統(tǒng)本身參數(shù)所確定 ， 與激勵(lì) 、 初始條件無(wú)關(guān) 。 (3)自由振動(dòng)的振幅和初相角由初始條件所確定 。 結(jié)論： mkn ??? ?( ) s i n nx t A t????12nkfm??2 mTk??22 001 001 00nnnvAxxtgvvtgx??????????? ?????????????????燕山大學(xué) Yanshan University 燕山大學(xué) Yanshan University 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 矢量 A與垂直軸 x的夾角為 ?nt?， A在 x軸上的投影就表示解 x(t)=Acos(?nt?) 。 當(dāng) ?nt?角隨時(shí)間增大時(shí) ，意味著 矢量 A以角速度 ?n按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng) ， 其投影呈諧波變化 。 燕山大學(xué) Yanshan University 無(wú)阻尼自由振動(dòng)固有頻率的求解方法 求無(wú)阻尼自由振動(dòng)固有頻率的方法： (1)運(yùn)動(dòng)微分方程方法 。 (2)靜變形方法 。 (3)能量法。 燕山大學(xué) Yanshan University ?? si n2 m g lml ????微幅振動(dòng)時(shí)， sin???，上式簡(jiǎn)化為： 0?? ?? lg??解：取 ?為廣義坐標(biāo)，運(yùn)動(dòng)微分方程為： 例 1 繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)長(zhǎng)桿，下端附有重錘 (直桿重量和錘的體積忽略不計(jì) )，組成單擺。桿長(zhǎng)為 l，擺
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