單自由度系統(tǒng)在一般激勵(lì)下的受迫振動(dòng)(編輯修改稿)
2024-07-11 23:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 pmptx dntds ine1)( ?? Mechanical and Structural Vibration 為了應(yīng)用方便 ， 單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)用 h(t)表示 。 得單 自由度無阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng) 或tpmpth nns i n1)( ? h tmp p tn n( ) s i n ( )? ? ?? ?1或tpmpth dntds i ne1)( ?? )(s i ne1)( )( ?? ? ??? ?? tpmpth dtnn有粘性阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖函數(shù)的響應(yīng) 稱為單自由度系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)函數(shù) Mechanical and Structural Vibration ?????????000,s i ne1)()1(tttpmpth dntd?????????????? ???tttpmpth dtnd0),(s i ne1)()2( )(h(t)有以下特性 不難發(fā)現(xiàn) h(t)的表達(dá)式包含系統(tǒng)的所有的動(dòng)特性參數(shù)，它實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)動(dòng)特性在時(shí)域的一種表現(xiàn)形式。 h(t)是單位脈沖沖量的響應(yīng)，其量綱為 [位移 /沖量 ]。 Mechanical and Structural Vibration 作用有一任意激振力 F(t) 欠阻尼情形物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程 將激振力看作是一系列元沖量的疊加 t ?? ?? d)(FF ??元沖量為 得到系統(tǒng)的響應(yīng) )(s i ned)(d )( ??? ? ?? ?? tpmpFx dtnd)(dddd 22tFkxtxct xm ???Mechanical and Structural Vibration 由線性系統(tǒng)的疊加原理 ， 系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)等于系統(tǒng)在 時(shí)間區(qū)間內(nèi)各個(gè)元沖量的總和 ， 即 0 ? ?? t?? ??? ??t dtndt tpmpFxtx0)(0 d)(s i ne)(d)( ??? ?t t? 1 得到系統(tǒng)的響應(yīng) )(s i ned)(d )( ??? ? ?? ?? tpmpFx dtnd Mechanical and Structural Vibration 上式的積分形式稱為卷積 。 因此 ， 線性系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)等于激勵(lì)與單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積 。 這個(gè)結(jié)論稱為博雷爾(Borel)定理 ， 也稱杜哈梅 (Duhamel)積分 。 ? ?? t nntpmpFtx 0 d)(s i n)()( ???? ?? t thFtx 0 d)()()( ??? t t? 1對(duì)無阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)，得到任意激振力的響應(yīng) 用單位脈沖函數(shù)響應(yīng)表示，得到單自由度系統(tǒng)對(duì)任意激振力響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration ? ????? ??? t dtnddddnt tpFmptppvnxtpxtx0)(000 d)(s i ne)(1)s i nc o s(e)( ??? ?t t? 1? ???? t nnnnn tpFmptppvtpxtx000 d)(s i n)(1s i nc o s)( ???t t? 1 系統(tǒng)有初始位移和初始速度，則系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)為 對(duì)于無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)為 t ＞ t1 即激振力停止作用后，物塊的運(yùn)動(dòng)稱為剩余運(yùn)動(dòng)。 )(dd)( 11 ttxtx 、以 為初始條件的運(yùn)動(dòng) 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 例 無阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)受到突加常力 F0的作用 ， 試求其響應(yīng) 。 F F0 ? ( )?x t Fk p tn( ) ( c o s )? ?0 1積分后得響應(yīng)為 代入 在突加的常力作用下，物塊的運(yùn)動(dòng)仍是簡諧運(yùn)動(dòng)，只是其振動(dòng)中心沿力 F0的方向移動(dòng)一距離 Fk0解：取開始加力的瞬時(shí)為 t = 0， 受階躍函數(shù)載荷的圖形如圖所示 。 設(shè)物塊處于平衡位置 ， 且 。 000 ?? vx也是彈簧產(chǎn)生的靜變形。 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 若階躍力從 t = a 開始作用 ， 則系統(tǒng)的響應(yīng)為 ??????????? ?0)](c o s1[)(s i n n0n0xatpkFdtpmpFx tan??at?t＜ a 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration F t F t t( ) ? ? ?0 10，解：在 階段，系統(tǒng)的響應(yīng)顯然與上例的相同，即 0 1? ?t t)c o s1( n0 tpkFx ?? 例 210 無阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，受到矩形脈沖 作用，試求其響應(yīng)。 當(dāng) t＞ t1時(shí) ， F ( t ) = 0， 得 ]c o s)([ c o sd)(s i n1]d)(s i n)(d)(s i n)([1n1n00 n0nn0 nn111tpttpkFtpFmptpFtpFmpxtttt???????????????????? 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 系統(tǒng)的響應(yīng)為 ?????????]c o s)([ c o s)c o s1()(n1n0n0tpttpkFtpkFtx 10 tt ??t＞ t1 實(shí)際上
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