【正文】 步驟為： （ 1） 1階重特征值振型： ( 1 ) ( 1 ){ ) { }XX?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 73 固有頻率相等或為零的情況 （ 2） 2階重特征值振型： ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )1{ } { } { }X c X X??( 1 ) ( 2 )1 ( 1 ) ( 1 ){ } [ ] { }{ } [ ] { }TTX M XcX M X??（ 3） i 階重特征值振型： ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )12{ } { } { } { }iiX c X c X X? ? ? ?( ) ( )( ) ( ){ } [ ] { }{ } [ ] { }j T ij j T jX M XcX M X??(j＝ 1,2,… i－ 1) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 74 固有頻率相等或為零的情況 【 例 】 設(shè)系統(tǒng)的運動方程為 求系統(tǒng)自由振動的解 。 解：利用前面的方法可求得固有頻率為 1122334400 0 0 5 0 00 0 0 5 0 0 00 0 0 0 0 4 0 00 0 0 0 0 0 6 0xxm k kxxm k kxxmkmkxx?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?12 2km???? 346 km????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 75 則有兩個重根 ， 第 2固有頻率的特征值問題為 由前兩個方程顯然可看出一個振型 （ 設(shè)為第一振型 ） 為 5 4 0 05 4 0 0{}0 0 4 4 00 0 0 6 40000{ } { 0 }0 0 0 00 0 0 2k k kk k kXkkkkkkkkXk?????????? ????????????????????( 1 ){ } { 1 1 0 0 } TX ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 76 固有頻率相等或為零的情況 為求第 2振型 ， 去掉第 3個方程后 列位置 1 2 3 4 00[]0 0 0 2kkHk???? ????00[]0 2 0 0kkHk????? ???? 調(diào)整 [H]中列的位置使 [Ha]－ 1存在 。 設(shè) 原列位置 1 4 2 3 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 77 固有頻率相等或為零的情況 則 0[]02akHk???????1 0{ } [ ] [ ] { }0a a b bX H H X? ??? ? ? ????則 0[]00bkH???? ????1 1 / 0[]0 1 / 2akHk? ???????設(shè) 0{}1bX ??? ????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 78 固有頻率相等或為零的情況 則 所以 { } { 0 0 0 1 }a TbXXX????????行位置 1 4 2 3 ( 2 ){ } { 0 0 1 0 } TX ?( 2 ) ( 1 ) ( 2 )1{ } { } { }X c X X??( 1 ) ( 2 )1 ( 1 ) ( 1 ){ } [ ] { } 0{ } [ ] { }TTX M XcX M X???所以 ( 2 ){ } { 0 0 1 0 } TX ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 79 固有頻率相等或為零的情況 對第 4固有頻率 ， 特征值問題為 0000[ ] { } { } { 0 }0 0 2 00 0 0 0kkkkH X Xk???????????? ???( 3 ){ } { 1 1 0 0 } TX ??為求第 4振型 ， 去掉第 4個方程并調(diào)整列位置 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 80 列位置 1 2 3 4 1 3 2 4 0 0 0 0[]0 0 2 0 0 2 0 0k k k kHkk? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?則 0[]02akHk???? ?????0[]00bkH???? ????1 1 / 0[]0 1 / 2akHk? ?????? ???設(shè) 0{}1bX ??? ????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 81 固有頻率相等或為零的情況 1 0{ } [ ] [ ] { }0a a b bX H H X? ??? ? ? ????則 所以 { } { 0 0 0 1 }a TbXXX????????行位置 1 3 2 4 ( 4 ) ( 4 ){ } { } { 0 0 0 1 } TXX ??( 4 ) ( 3 ) ( 4 )1{ } { } { }X c X X??( 3 ) ( 4 )1 ( 3 ) ( 3 ){ } [ ] { } 0{ } [ ] { }TTX M XcX M X???這是由于 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 82 固有頻率相等或為零的情況 所以 響應(yīng)為 1 0 1 01 0 1 0[]0 1 0 00 0 0 1Q??????????????1112 2 2333444sin( 2 / )1 0 1 0sin( 2 / )1 0 1 00 1 0 0 sin( 6 / )0 0 0 1sin( 6 / )X k m txx X k m tx X k m txX k m t?????? ??? ?????? ?????????? ? ? ??? ?? ? ? ???? ? ? ????? ???第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 83 固有頻率相等或為零的情況 有時振動方程會出現(xiàn)零特征值的情況 ， 即固有頻率為零 ， 表明系統(tǒng)的運動是一種剛體運動 ， 不發(fā)生彈性變形 ， 這種運動稱為 剛體模態(tài) 或 零固有頻率模態(tài) 。 這時系統(tǒng)的響應(yīng)可以表示成 At+B的形式 （ 直線運動 ） 。 對于剛體模態(tài) ， 整個系統(tǒng)如同一個剛體一樣整體運動 ， 有 x1＝ x2＝ … ＝ xn， 因而其特征向量的所有元素都為 1。 固有頻率為零的情況 (P179183) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 84 固有頻率相等或為零的情況 有一個或幾個固有頻率等于零的系統(tǒng)稱為 半正定系統(tǒng) 。 可以證明 ， 當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是正定矩陣時 ， 不會有零固有頻率 ， 而當(dāng)剛度矩陣為半正定矩陣時 ， 系統(tǒng)為半正定系統(tǒng) 。 出現(xiàn)這種情況的物理條件是系統(tǒng)有剛體位移或自由 自由邊界 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 85 固有頻率相等或為零的情況 【 T536】 水平面上一物塊 m1以速度 v與物塊 m2發(fā)生完全彈性碰撞 ， 已知 m1＝m2＝ m3， 求碰撞后系統(tǒng)的響應(yīng) 。 解：碰撞后 m2的速度為 v， 然后 m2和 m3組成的系統(tǒng)開始作自由振動 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 86 固有頻率相等或為零的情況 顯然 解得 0[ ] ,0mMm??????? []kkKkk???? ?????2222 2 2[ ] [ ]()0k m kKMk k mk m k?????????? ??????? ? ? ?1220, km?????1對應(yīng)剛體運動 ， 設(shè)為 At+B 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 87 固有頻率相等或為零的情況 則 2( 2 ) ( 2 )222{ } { } 0kkk m kXXkkk k m??? ? ? ??? ?????? ?????? ????( 2 ) 1{}1X ??? ??????2對應(yīng)的振型 ?2引起的響應(yīng)為 221( c o s s in )1C t D t???? ??????總響應(yīng)為 221{ } ( c o s s in )1x A t B C t D t????? ? ? ??????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 88 固有頻率相等或為零的情況 代入初始條件 0 1 0 2 0 1 0 20 , , 0x x x v x? ? ? ?得 000BCBCBC?? ?? ? ???? ?22 2,0 22A D v vvADAD?? ??? ?? ? ???? ?所以系統(tǒng)的響應(yīng)為 122 21sin122x vvttx???? ????? ? ? ?????? 作業(yè)： 62