【正文】 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 1 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2 多自由度系統(tǒng)指的是可以用有限個(gè)自由度描述的振動(dòng)系統(tǒng) 。 一般來說 ， 一個(gè) n自由度的振動(dòng)系統(tǒng) ， 其廣義位移可以用 n個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來描述 ， 其運(yùn)動(dòng)規(guī)律通?？捎?n個(gè)二階常微分方程來確定 。 多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的很多概念和研究方法在兩自由度系統(tǒng)中已經(jīng)討論 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 3 建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的方法 ，包括一般的動(dòng)力學(xué)方法 、 影響系數(shù)法 （ 剛度影響系數(shù)和柔度影響系數(shù) ） 、 拉格朗日方程和能量方法等 。 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 4 【 T610】 求系統(tǒng)的微振動(dòng)微分方程 。 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 5 解法 1：用動(dòng)力學(xué)方法 。 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 1 1 1 1 2 1()m x k x k x r?? ? ? ?22 2 1 3 31 ( ) ( )2 m r k x r r k x r r? ? ?? ? ? ?3 3 3 3()m x k x r?? ? ?解法 2：計(jì)算動(dòng)勢(shì)能 。 2 2 2 21 1 3 3 21 1 1 12 2 2 2T m x m x m r ?? ? ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 6 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 1223001[ ] 0 0200mM m rm?????????????1 2 222 2 3 3330[ ] ( )0k k k rK k r k k r k rk r k??????? ? ? ??? ???2 2 21 1 2 1 3 31 1 1( ) ( )2 2 2V k x k x r k x r??? ? ? ? ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 7 對(duì)于有分支結(jié)構(gòu)的 mkc振動(dòng)系統(tǒng) ， 可以用直觀目測(cè)方法直接形成振動(dòng)系統(tǒng)的 [M]、 [K] 、 [C]: 1. [M]為各個(gè)質(zhì)量形成的對(duì)角陣 。 2. [K]或 [C]中的主對(duì)角線元素 kii或 cii為連接在質(zhì)量 mi上所有彈簧剛度或阻尼系數(shù)的代數(shù)和 。 3. [K]或 [C]中的非對(duì)角線元素 kij或 cij為連接在質(zhì)量 mi 和 mj之間所有彈簧剛度或阻尼系數(shù)的串并聯(lián)等效剛度或阻尼 ， 且為負(fù)值 。 4. [M]、 [K] 、 [C]均為對(duì)稱陣 。 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 8 例：用直觀目測(cè)方法直接形成標(biāo)準(zhǔn) mkc自由振動(dòng)系統(tǒng)的 [M]、[K]。 作業(yè)： T69， 611 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 m1 m2 m3 m4 m5 k1 k2 k3 k4 k5 k8 k9 k10 k6 k7 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 9 無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為 主 振型 方程式 特征值和特征向量 [ ] { } [ ] { } { 0 }M x K x?? 利用兩自由度系統(tǒng)的分析結(jié)果 ， 假設(shè)方程解的形式為 ? ?{ } s i n ( )x X t????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 10 代入振動(dòng)方程得到廣義特征值問題： [K]?2[M]稱為 特征矩陣 。 要使 上 式有解 ，必須使其系數(shù)行列式為零 ： 2( [ ] [ ] ) { } { 0 }K M X???2[ ] [ ] 0KM??? 上式稱為 頻率方程 或 特征方程 。 由此可求出 n個(gè)特征根 （ 固有頻率 ） ?2。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 11 將每個(gè)特征根 ?i（ 固有頻率 ） 代入廣義特征值問題 ([K]－ ?2[M]){X}={0}, 可得到相應(yīng)的非零向量 {X(i)}, 稱為 特征矢量 ,或稱 特征向量 、固有振型 、 固有向量 、 模態(tài)向量 等 。 顯然 : 和兩自由度一樣 ， 由上式只能求出振幅的比值 ， 而不能確定各振幅大小 。 固有頻率和特征向量只決定于系統(tǒng)本身的物理特性 ， 而與外部激勵(lì)和初始條件無關(guān) ，它們都是系統(tǒng)的固有屬性 。 2 ( )( [ ] [ ] ) { } { 0 } , ( 1 , 2 )iiK M X i n?? ? ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 12 例 T610中：設(shè) m1＝ m3＝ 1， m2＝ 2， r＝ 1， k1＝ k2＝ k3＝ 1。 求固有頻率和振型 。 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 13 解：代入數(shù)值得 代入 |[K]?2[M]|=0得： 1 0 0[ ] 0 1 00 0 1M???????????2 1 0[ ] 1 2 10 1 1K?????? ? ??????6 4 25 6 1 0? ? ?? ? ? ? 理論求解很困難 ， 一般通過試算或利用工具軟件 ， 如 Excel、 MATLAB、 Mathematica等 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 14 利用 Excel計(jì)算固有頻率步驟： (1)定義變量 。 如在 A1格 “ 插入 ” “名稱 ” “定義 ” … w (2)輸入公式 。 如在 A2格輸入 =w^35*w^2+6*w1 (3)“工具 ” “單變量求解 ” … (只能求第一固有頻率 ) (4)高階特征值的求解要用 “ 工具 ” “規(guī)劃求解 ” … 固有頻率為： 2 2 21 2 30 .1 9 8 , 1 .5 5 5 , 3 .2 4 7? ? ?? ? ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 15 分別代入 ([K]?2[M]){X}=0得： ( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 0 . 4 4 50 . 8 0 2X????? ???????( 3 )1{ } 1 . 2 4 70 . 5 5 5X????????????作業(yè)： T613 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 16 由于固有振型 {X(i)} 只是振幅的比例關(guān)系 ，各階振型均有一個(gè)未確定的常數(shù)比例因子 。通常假設(shè)振型的某個(gè)元素為 1， 則其它元素就可以表示為此元素的倍數(shù) ， 這種方法或過程就是振型的基準(zhǔn)化 。 一般假設(shè)振型的第一個(gè)元素為 1。 振型的基準(zhǔn)化和標(biāo)準(zhǔn)化 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 17 2. 振型的標(biāo)準(zhǔn)化 另外一種確定振型各元素?cái)?shù)值的方法是 ， 以某個(gè)限制條件來確定振型中的常數(shù)因子 。 通常規(guī)定 {XN(i)}滿足條件 ( ) ( ){ } [ ] { } 1i T iNNX M X ? 滿足這個(gè)限制條件的振型 {XN(i)}稱為 標(biāo)準(zhǔn)化 （ 或正規(guī)化 、 歸一化 ） 的振型 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 18 對(duì)方程 ([K]－ ?2[M]){XN}={0}兩邊左乘 {XN(i)}T 可得到 ( ) ( ) 2{ } [ ] { }i T iN N iX K X ?? 注意： 這里的 {XN(i)}均為正規(guī)化后的振型 ， 而不是求解的原始主振型 {X(i)} 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 19 3. 標(biāo)準(zhǔn)化振型與主振型的關(guān)系 將主振型 {X(i)}進(jìn)行如下運(yùn)算： ( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX M X M? Mi稱為廣義質(zhì)量 （ 主質(zhì)量 、 模態(tài)質(zhì)量 ） 。設(shè) {X(i)}＝ ci {XN(i)}， 代入上式有： ( ) ( ) ( ) ( ) 2{ } [ ] { } { } [ ] { }i T i i T ii N i N i iX M X c X M c X c M? ? ?所以 ( ) ( ) ( )()( ) ( ){ } { } { }{}{ } [ ] { }i i iiN i T ii iX X XXc M X M X???第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 20 自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 求出特征方程的 n個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量后 ， 即得到振動(dòng)方程的 n個(gè)線性無關(guān)的特解 ， 系統(tǒng)按任意一個(gè)固有頻率作自由振動(dòng) ，稱之為 主振動(dòng) ， 則第 i 階主振動(dòng)為 ( ) ( ){ } { ) s in ( )ii iix X t????(i＝ 1,2,… n) 因而方程的通解應(yīng)是上述特解的線性組合 ()1{ } { } sin( )nii i iix c X t??????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 21 或?qū)憺? 其中常數(shù) ci、 ?i、 Ai、 Bi (i＝ 1,2,… ,n)由初始條件確定 。 例如給出 t＝ 0時(shí)的位移向量 {x0}和速度向量 {v0} ， 則得到含有 2n個(gè)方程的方程組 ()1{ } { } ( sin c os )nii i i iix X A t B t??????()01()01{ } { } si n{ } { } c osniiiinii i iix c Xv c X?????