自由度系統(tǒng)ppt課件(已修改)
2025-01-27 09:22 本頁面
【正文】 第二章 單自由度系統(tǒng) 主講：王林鴻教授、博士 機械與汽車工程學(xué)院 第二章主要內(nèi)容 ? 自由振動； ? 簡諧強迫振動； ? 周期振動； ? 非周期振動。 167。 ? 單自由度系統(tǒng)： ? 只有一個自由度； ? 可以用一個線性常微分方程描述； ? 可以把握振動系統(tǒng)的許多基本性質(zhì)； ? 是多自由度和連續(xù)體系統(tǒng)振動理論的基礎(chǔ)。 典型的單自由度系統(tǒng) : 彈簧 質(zhì)量系統(tǒng) 梁上固定一臺電動機，當電機沿鉛直方向振動時，可視為集中質(zhì)量。如不計梁的質(zhì)量，則相當于一根無重彈簧，系統(tǒng)簡化成彈簧 質(zhì)量系統(tǒng) 單自由度系統(tǒng)示例 167。 無阻尼自由振動 ? 自由振動： ? 在初始激勵或外加激勵消失后的振動形態(tài)； ? 振動時無外界激勵； ? 振動規(guī)律完全取決于系統(tǒng)本身的性質(zhì)（固有特性）。 列出圖 22所示系統(tǒng)的運動微分方程 振動工程研究所 建模步驟 ? 建立坐標系 ? 原點為靜平衡點 ? 坐標正向為標示外力方向 ? 分離體法 ? 設(shè)質(zhì)量在坐標正方向有一位移 ? 對質(zhì)點標明慣性力、彈性力、阻尼力 ? 力平衡 ? 牛頓第二定律 振動工程研究所 由繁入簡 方程分類 ? 單自由度系統(tǒng)振動方程 ? 自由振動 方程 —— 無外激勵 偏離靜平衡 初始條件 ? 無阻尼自由振動方程 略去阻尼突出自由振動的特點 )()()()( tftuktuctum ??? ???0)()()( ??? tuktuctum ???0)()( ?? tuktum ??振動工程研究所 無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動 0)()( ?? tkutum ??00 )0(,)0( uuuu ?? ??方程 初始條件 (定解條件 ) 注意 特點 二階常系數(shù)齊次方程 振動工程研究所 解的形式與試探解 微分方程解 =通解（ +特解） （ 1） 試探解的提出與代入 （ 2） 用初始條件定系數(shù) 數(shù)學(xué)理論 實際經(jīng)驗 運動微分方程 固有頻率 根據(jù)牛頓第二定律： 初始條件： 彈簧力： 質(zhì)量只受彈簧力，故： 左邊內(nèi)力、右邊外力 整理成振動微分方程的常見形式： 固有頻率 ? 固有：生來就有； ? 內(nèi)因：與外界無關(guān)，只與自身的質(zhì)量和剛度有關(guān)。 ? 至關(guān)重要 —— 敬而遠之。 運動微分方程的解 ?,a?, ,21 AAA運動微分方程為二階常系數(shù)線性常微分方程，它的通解為： 取決于初始條件 :,00 xx ?可見：單自由度無阻尼自由振動是簡諧振動。 周期為： 頻率為： 簡諧振動 機械能守恒 得到運動微分方程的又一種方法 由運動方程推導(dǎo)能量方程 簡 諧 運 動 能 量 圖 tx ?t?v221 kAE ?0??tAx ?c o s?tA ?? s i n??vv,xtoT4 T 2 T 4 3 T 能量 o T ttkAE ?22p c os21?tAmE ?? 222k s i n21?簡諧運動勢能曲線 簡諧運動能量守恒，振幅不變 kEpEx221 kAE ?EBCA?A?pExO能量守恒 簡諧運動微分方程 推導(dǎo) 常量??? 222121 kxmE v0)2121(dd 22 ?? kxmtv0dddd ??txkxtm vv0dd22?? xmktx 注意：上述 結(jié)論與坐標系的選擇無關(guān)，但選擇合適的坐標系有助于簡化問題的求解。 以下例說明。 例 考慮汽車的垂直振動，并只考慮懸架質(zhì)量，彈性元件為汽車的板簧。此時汽車垂直振動模型如圖 2— 3(a)所示，忽略阻尼。 圖 2— 3 彈簧原長位置 靜平衡位置 原點選取不恰當?shù)谋锥? 在振動分析中，通常只對系統(tǒng)的動力響應(yīng)感興趣，希望方程的解中只包括動力響應(yīng)。 將描述系統(tǒng)振動的坐標系的原點取在系統(tǒng)的靜平衡位置可以做到這一點。 由運動方程求能量方程 標準自由振動方程 原點選取恰當?shù)暮锰? 動態(tài)響應(yīng) 坐標原點 ==靜平衡位置 （必須的） 結(jié)論 : 對于線性振動系統(tǒng)，可將其受到的激勵分為與時間無關(guān)的靜載荷和與時間有關(guān)的動載荷，分別計算系統(tǒng)的靜力響應(yīng)和動力響應(yīng)，系統(tǒng)的總響應(yīng)為靜力響應(yīng)和動力響應(yīng)之和。 坐標原點選取 ? ?ssF x k???sm g k?? O0ls?x xmk坐標原點 ==靜平衡位置 （必須的） 例 、 一個輕質(zhì)彈簧豎直懸掛 ， 下端掛一質(zhì)量為 m的物體 。 今將物體向下拉一段距離后再放開 ， 證明物體將作簡諧振動 。 因此 , 此振動為簡諧振動。 m0l0xxxO以平衡位置 O為原點 彈簧原長 掛 m后伸長 某時刻 m位置 f伸 長 受彈力 平衡位置 解： 求平衡位置 mgkx ?0kmgx ?0)( 0 xxkmgF ???kxkxmg ??? 0kx??k 坐標原點 動載荷與靜載荷 ? 動載荷與靜載荷（是否與時間有關(guān)）。 ? 動力響應(yīng)與靜力響應(yīng)（振動學(xué)與靜力學(xué)）。 ? 總響應(yīng)為動力響應(yīng)與靜力響應(yīng)兩者之和。 ? 振動學(xué)只對動力響應(yīng)感興趣。 ? 靜力學(xué)關(guān)注的是總量，振動學(xué)關(guān)注的是增量；靜力學(xué)研究的是穩(wěn)定狀態(tài)，振動學(xué)研究的是變化。 1. 由系統(tǒng)運動微分方程求得； 2. 靜態(tài)位移法； 3. 能量法。 1．靜態(tài)位移法 用靜力學(xué)的方法確定動力學(xué)系統(tǒng)的固有頻率 妙！ 橫梁與彈簧串聯(lián)： 總變形量為分變形量之和 系統(tǒng)振動時動能、勢能要相互轉(zhuǎn)換。根據(jù)能量關(guān)系也能求系統(tǒng)的固有頻率。 對于單自由度系統(tǒng)，用能量法求固有頻率有兩種方法： 由能量守恒得運動方程 瑞利商
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