自由度系統(tǒng)ppt課件(已修改)
2025-01-27 09:22 本頁(yè)面
【正文】 第二章 單自由度系統(tǒng) 主講：王林鴻教授、博士 機(jī)械與汽車工程學(xué)院 第二章主要內(nèi)容 ? 自由振動(dòng)； ? 簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)； ? 周期振動(dòng)； ? 非周期振動(dòng)。 167。 ? 單自由度系統(tǒng)： ? 只有一個(gè)自由度； ? 可以用一個(gè)線性常微分方程描述； ? 可以把握振動(dòng)系統(tǒng)的許多基本性質(zhì)； ? 是多自由度和連續(xù)體系統(tǒng)振動(dòng)理論的基礎(chǔ)。 典型的單自由度系統(tǒng) : 彈簧 質(zhì)量系統(tǒng) 梁上固定一臺(tái)電動(dòng)機(jī)，當(dāng)電機(jī)沿鉛直方向振動(dòng)時(shí)，可視為集中質(zhì)量。如不計(jì)梁的質(zhì)量，則相當(dāng)于一根無(wú)重彈簧，系統(tǒng)簡(jiǎn)化成彈簧 質(zhì)量系統(tǒng) 單自由度系統(tǒng)示例 167。 無(wú)阻尼自由振動(dòng) ? 自由振動(dòng)： ? 在初始激勵(lì)或外加激勵(lì)消失后的振動(dòng)形態(tài)； ? 振動(dòng)時(shí)無(wú)外界激勵(lì)； ? 振動(dòng)規(guī)律完全取決于系統(tǒng)本身的性質(zhì)（固有特性）。 列出圖 22所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 振動(dòng)工程研究所 建模步驟 ? 建立坐標(biāo)系 ? 原點(diǎn)為靜平衡點(diǎn) ? 坐標(biāo)正向?yàn)闃?biāo)示外力方向 ? 分離體法 ? 設(shè)質(zhì)量在坐標(biāo)正方向有一位移 ? 對(duì)質(zhì)點(diǎn)標(biāo)明慣性力、彈性力、阻尼力 ? 力平衡 ? 牛頓第二定律 振動(dòng)工程研究所 由繁入簡(jiǎn) 方程分類 ? 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程 ? 自由振動(dòng) 方程 —— 無(wú)外激勵(lì) 偏離靜平衡 初始條件 ? 無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程 略去阻尼突出自由振動(dòng)的特點(diǎn) )()()()( tftuktuctum ??? ???0)()()( ??? tuktuctum ???0)()( ?? tuktum ??振動(dòng)工程研究所 無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 0)()( ?? tkutum ??00 )0(,)0( uuuu ?? ??方程 初始條件 (定解條件 ) 注意 特點(diǎn) 二階常系數(shù)齊次方程 振動(dòng)工程研究所 解的形式與試探解 微分方程解 =通解（ +特解） （ 1） 試探解的提出與代入 （ 2） 用初始條件定系數(shù) 數(shù)學(xué)理論 實(shí)際經(jīng)驗(yàn) 運(yùn)動(dòng)微分方程 固有頻率 根據(jù)牛頓第二定律： 初始條件： 彈簧力： 質(zhì)量只受彈簧力，故： 左邊內(nèi)力、右邊外力 整理成振動(dòng)微分方程的常見形式： 固有頻率 ? 固有：生來(lái)就有； ? 內(nèi)因：與外界無(wú)關(guān)，只與自身的質(zhì)量和剛度有關(guān)。 ? 至關(guān)重要 —— 敬而遠(yuǎn)之。 運(yùn)動(dòng)微分方程的解 ?,a?, ,21 AAA運(yùn)動(dòng)微分方程為二階常系數(shù)線性常微分方程，它的通解為： 取決于初始條件 :,00 xx ?可見：?jiǎn)巫杂啥葻o(wú)阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 周期為： 頻率為： 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 機(jī)械能守恒 得到運(yùn)動(dòng)微分方程的又一種方法 由運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)能量方程 簡(jiǎn) 諧 運(yùn) 動(dòng) 能 量 圖 tx ?t?v221 kAE ?0??tAx ?c o s?tA ?? s i n??vv,xtoT4 T 2 T 4 3 T 能量 o T ttkAE ?22p c os21?tAmE ?? 222k s i n21?簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)勢(shì)能曲線 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量守恒，振幅不變 kEpEx221 kAE ?EBCA?A?pExO能量守恒 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)微分方程 推導(dǎo) 常量??? 222121 kxmE v0)2121(dd 22 ?? kxmtv0dddd ??txkxtm vv0dd22?? xmktx 注意：上述 結(jié)論與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，但選擇合適的坐標(biāo)系有助于簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解。 以下例說(shuō)明。 例 考慮汽車的垂直振動(dòng)，并只考慮懸架質(zhì)量，彈性元件為汽車的板簧。此時(shí)汽車垂直振動(dòng)模型如圖 2— 3(a)所示，忽略阻尼。 圖 2— 3 彈簧原長(zhǎng)位置 靜平衡位置 原點(diǎn)選取不恰當(dāng)?shù)谋锥? 在振動(dòng)分析中，通常只對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)感興趣，希望方程的解中只包括動(dòng)力響應(yīng)。 將描述系統(tǒng)振動(dòng)的坐標(biāo)系的原點(diǎn)取在系統(tǒng)的靜平衡位置可以做到這一點(diǎn)。 由運(yùn)動(dòng)方程求能量方程 標(biāo)準(zhǔn)自由振動(dòng)方程 原點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)暮锰? 動(dòng)態(tài)響應(yīng) 坐標(biāo)原點(diǎn) ==靜平衡位置 （必須的） 結(jié)論 : 對(duì)于線性振動(dòng)系統(tǒng)，可將其受到的激勵(lì)分為與時(shí)間無(wú)關(guān)的靜載荷和與時(shí)間有關(guān)的動(dòng)載荷，分別計(jì)算系統(tǒng)的靜力響應(yīng)和動(dòng)力響應(yīng)，系統(tǒng)的總響應(yīng)為靜力響應(yīng)和動(dòng)力響應(yīng)之和。 坐標(biāo)原點(diǎn)選取 ? ?ssF x k???sm g k?? O0ls?x xmk坐標(biāo)原點(diǎn) ==靜平衡位置 （必須的） 例 、 一個(gè)輕質(zhì)彈簧豎直懸掛 ， 下端掛一質(zhì)量為 m的物體 。 今將物體向下拉一段距離后再放開 ， 證明物體將作簡(jiǎn)諧振動(dòng) 。 因此 , 此振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 m0l0xxxO以平衡位置 O為原點(diǎn) 彈簧原長(zhǎng) 掛 m后伸長(zhǎng) 某時(shí)刻 m位置 f伸 長(zhǎng) 受彈力 平衡位置 解： 求平衡位置 mgkx ?0kmgx ?0)( 0 xxkmgF ???kxkxmg ??? 0kx??k 坐標(biāo)原點(diǎn) 動(dòng)載荷與靜載荷 ? 動(dòng)載荷與靜載荷（是否與時(shí)間有關(guān)）。 ? 動(dòng)力響應(yīng)與靜力響應(yīng)（振動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)）。 ? 總響應(yīng)為動(dòng)力響應(yīng)與靜力響應(yīng)兩者之和。 ? 振動(dòng)學(xué)只對(duì)動(dòng)力響應(yīng)感興趣。 ? 靜力學(xué)關(guān)注的是總量，振動(dòng)學(xué)關(guān)注的是增量；靜力學(xué)研究的是穩(wěn)定狀態(tài)，振動(dòng)學(xué)研究的是變化。 1. 由系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程求得； 2. 靜態(tài)位移法； 3. 能量法。 1．靜態(tài)位移法 用靜力學(xué)的方法確定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的固有頻率 妙！ 橫梁與彈簧串聯(lián)： 總變形量為分變形量之和 系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)動(dòng)能、勢(shì)能要相互轉(zhuǎn)換。根據(jù)能量關(guān)系也能求系統(tǒng)的固有頻率。 對(duì)于單自由度系統(tǒng)，用能量法求固有頻率有兩種方法： 由能量守恒得運(yùn)動(dòng)方程 瑞利商
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