【正文】 如果阻尼矩陣 [C]是質(zhì)量矩陣 [M]和剛度矩陣 [K]的線(xiàn)性組合 ， 則稱(chēng)之為 比例阻尼 。 阻尼矩陣通過(guò)上節(jié)的坐標(biāo)變換一般不能化為對(duì)角陣 ， 即方程不能解耦 。 選 B點(diǎn)的鉛垂位移 y和兩桿繞 B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo) ，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 。 （ 7） 計(jì)算廣義坐標(biāo)響應(yīng) 。 （ 5） 對(duì)激勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)化 。 （ 3） 確定 標(biāo)準(zhǔn) 振型矩陣 。 則標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的總響應(yīng)為 無(wú)阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 00 c o s s inNiN i N i i iiZZ Z t t?????i01 ( ) sin[ ( ) ]tNiiP t d? ? ? ?????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 52 無(wú)阻尼系統(tǒng)響應(yīng)分析步驟 : （ 1） 建立 振動(dòng) 方程 ， 確定質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣 [K]。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 49 對(duì)方程進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)變換 {x}=[QN]{ZN}并左乘 [QN]T,利用其正交關(guān)系可得到： 2{ } [ ] { } [ ] { } { }TN i N N NZ Z Q P P?? ? ?（ i＝ 1， 2， … n） 或?qū)憺? n自由度無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為 [ ] { } [ ] { } { ( ) }M x K x P t??2N i i N i N iZ Z P??? 無(wú)阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 50 00 c o s s inNiN i N i i iiZZ Z t t?????再考慮前面給出的初始條件的響應(yīng) 上述方程已經(jīng)解耦 ， 可以利用單自由度的概念和方法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng) 。 即：利用振型矩陣 ， 把描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)變換到模態(tài)坐標(biāo) (主坐標(biāo)或正則坐標(biāo) )， 把運(yùn)動(dòng)方程變換成 n個(gè)獨(dú)立的方程 ， 求得系統(tǒng)在每個(gè)模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng) ， 然后再得到系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)下的響應(yīng) 。 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 41 【 T626】 m1＝ m2＝ m3＝ m， k1＝k2＝ k3＝ k,設(shè)初始位移為 1， 初始速度為 0， 用標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)變換方法求初始激勵(lì)下的自由振動(dòng)響應(yīng) 。 （ 5） 計(jì)算 標(biāo)準(zhǔn) （ 正則 ） 坐標(biāo)初始激勵(lì)響應(yīng) 。 （ 3） 確定 標(biāo)準(zhǔn) （ 正則 ） 振型矩陣 。 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 40 無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)分析步驟 : （ 1） 建立 振動(dòng) 方程 ， 確定質(zhì)量矩陣 [M]和剛度矩陣 [K]。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 37 2. 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) （ 正則坐標(biāo) ） 下的方程 對(duì)振動(dòng)方程用正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換 { } [ ] { }NNx Q Z?代入方程后左乘 [QN]T得到 2 0N i i N iZZ???（ i＝ 1， 2， … n） 這組廣義坐標(biāo) {ZN}稱(chēng)為 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) (正則坐標(biāo) )。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 34 對(duì)振動(dòng)方程用振型矩陣進(jìn)行變換 用主坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程 { } [ ] { }x Q Z?代入方程后左乘 [Q]T得 [ ] { } [ ] { } { 0 }ppM Z K Z??或 0i i i iM Z K Z??2 0i i iZZ???（ i＝ 1， 2， … n） 主坐標(biāo) 這樣原方程就變成了 n個(gè)獨(dú)立的 (解耦的 )固有頻率為 ?i的簡(jiǎn)諧振動(dòng) ， 這組廣義坐標(biāo) {Z}稱(chēng)為 主坐標(biāo) 。 由此可得到： 2 iiiKM? ?當(dāng) i＝ j 時(shí)： ( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX M X M?( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX K X K? 主 振型的正交性 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 31 主坐標(biāo) 變換矩陣即 振型矩陣 ， 就是各階振型組成的方陣 變換矩陣 ( 1 ) ( 2 ) ( )[ ] [ { } { } { } ]nQ X X X? 主坐標(biāo) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 32 主坐標(biāo) 廣義質(zhì)量和廣義剛度的對(duì)角矩陣 廣義質(zhì)量 （ 主質(zhì)量 、 模態(tài)質(zhì)量 ） 矩陣[Mp]和廣義剛度 （ 主剛度 、 模態(tài)剛度 ） 矩陣 [Kp]:主對(duì)角線(xiàn)元素為相應(yīng)的主質(zhì)量和主剛度 ， 其它元素為零 。 解： 1 0 0[ ] 0 1 00 0 1Mm???????????2 1 0[ ] 1 2 10 1 1Kk?????? ? ??????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 23 前面的例題已經(jīng)求得： 2 2 21 2 30. 19 8 , 1. 55 5 , 3. 24 7k k km m m? ? ?? ? ?( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 0 . 4 4 50 . 8 0 2X????? ???????( 3 )1{ } 1 . 2 4 70 . 5 5 5X????????????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 24 則響應(yīng)為： 3()1{ } { } ( sin c os )i i i i iix X A t B t??????將振型代入并展開(kāi)： 1 1 1 1 1s i n c o sx A t B t????2 2 2 2s i n c o sA t B t????3 3 3 3s i n c o sA t B t????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 25 2 1 1 1 11 . 8 0 2 ( s i n c o s )x A t B t????2 2 2 20 . 4 4 5 ( s i n c o s )A t B t????3 3 3 31 . 2 4 7( s i n c o s )A t B t????3 1 1 1 12 . 2 4 7 ( s i n c o s )x A t B t????2 2 2 20 . 8 0 2 ( s i n c o s )A t B t????3 3 3 30 . 5 5 5 ( s i n c o s )A t B t????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 26 解出各系數(shù)即可 … 1 2 3 1B B B? ? ?1 2 31 . 8 0 2 0 . 4 4 5 1 . 2 4 7 1B B B? ? ?1 2 32 . 2 4 7 0 . 8 0 2 0 . 5 5 5 1B B B? ? ?1 1 2 2 3 3 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 31 . 8 0 2 0 . 4 4 5 1 . 2 4 7 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 32 . 2 4 7 0 . 8 0 2 0 . 5 5 5 0A A A? ? ?? ? ?代入初始條件得： 作業(yè)： T628 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 27 由廣義特征值問(wèn)題 ([K]－ ?2[M]){X}={0}知 主振型的正交性 主 振型的正交性 ( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }iiiK X M X??( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }jjjK X M X??兩邊分別左乘 {X(j)}T 和 {X(i)}T得到 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 28 與第一式相減得： ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T iiX K X X M X??由于 [K]和 [M]都是對(duì)稱(chēng)陣 ， 上面第二式可寫(xiě)為 ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }i T j i T jjX K X X M X??2 2 ( ) ( )0 ( ) { } [ ] { }j T iij X M X???? 主 振型的正交性 ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T ijX K X X M X??第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 29 顯然也有： ( ) ( ){ } [ ] { } 0j T iX K X ?（ i≠j） 結(jié)論：當(dāng)剛度矩陣 [K]和質(zhì)量矩陣 [M]都是對(duì)稱(chēng)陣時(shí) ， n個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)的固有振型之間關(guān)于 [K]和 [M]都是正交的 。設(shè) {X(i)}＝ ci {XN(i)}， 代入上式有： ( ) ( ) ( ) ( ) 2{ } [ ] { } { } [ ] { }i T i i T ii N i N i iX M X c X M c X c M? ? ?所以 ( ) ( ) ( )()( ) ( ){ } { } { }{}{ } [ ] { }i i iiN i T ii iX X XXc M X M X???第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 20 自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 求出特征方程的 n個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量后 ， 即得到振動(dòng)方程的 n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解 ， 系統(tǒng)按任意一個(gè)固有頻率作自由振動(dòng) ，稱(chēng)之為 主振動(dòng) ， 則第 i 階主振動(dòng)為 ( ) ( ){ } { ) s in ( )ii iix X t????(i＝ 1,2,… n) 因而方程的通解應(yīng)是上述特解的線(xiàn)性組合 ()1{ } { } sin( )nii i iix c X t??????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 21 或?qū)憺? 其中常數(shù) ci、 ?i、 Ai、 Bi (i＝ 1,2,… ,n)由初始條件確定 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)