【正文】 1( ) ( ) ( ) 02 2 1 2l l m lm y k l y l? ? ?? ? ? ? ? ?22 2 2( ) ( ) 02 2 1 2 gl l m lm y k l y l y? ? ?? ? ? ? ? ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 57 則 1122[ ] [ ] 0ggkyy yMKk l y?????? ?????? ??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ????22222[ ] 023023llllMmll?????????????????????223[ ] 00llK k l lll????????????? 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 58 （ 2） 求固有頻率和振型 2 2 21 2 3( 3 3 ) , 3 , ( 3 3 )k k km m m? ? ?? ? ? ? ?2[ ] [ ]KM???求得 2 2 22 2 2 22 2 2 211322211002311023k m k l m l k l m lk l m l k l m lk l m l k l m l? ? ???????? ? ? ?????? ? ? ????????? 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 59 ?1代入 ( 1 )133{}2332Xll?????????? ????????????2[ ] [ ] { } 0K M X???????求得 同理 ( 2 )0{ } 11X????? ??????( 3 )133{}2332Xll?????????? ???????????? 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 60 （ 3） 求標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣 ( 1 ) ( 1 )1 { } [ ] { } ,TM X M X m??22 2 / 3 ,M m l? 3Mm?( 1 ) ( 1 )111 1 3 3{ } { }2332NXXlMml??????????? ?????? ?????? 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 61 1 0 11 3 3 3 1 3 3[]2 2 23 3 3 1 3 32 2 2NQl l lml l l??????????????????同理 ( 2 ) ( 2 )201 1 3 1{ } { }2312NXXlMml?????????? ??????????( 3 )11 3 3{}2332NXlml?????????? ???????????? 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 62 （ 4） 對激勵標(biāo)準(zhǔn)化 { } [ ] { }TNNP Q P? 31232312gkym?????????? ??????????????3 3 3 31221 3 1 3 100223 3 3 3122ggllkyllmk l yll???????? ???? ??? ?? ???? ????????????? 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 63 （ 5） 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng) 2{ } { } { }N N NZ Z P???21 1 1( 3 1 ) ( 3 1 )sin22gNNky kdZ Z tmm??? ?? ? ?利用單自由度系統(tǒng)正弦激勵下的響應(yīng)得 1 222111( 3 1 ) sin sin2 1 1Nk d t m d tZm??????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 64 同理 2 2222223 sin sin2 1 6 1Nk d t m d tZm?????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?3 222333( 3 1 ) sin sin2 1 1Nk d t m d tZm????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 65 （ 6） 廣義坐標(biāo)下的響應(yīng) { } [ ] { }NNx Q Z?作業(yè)： T633 112231 0 1 0 .2 8 91 3 3 3 1 3 3 1s in2 2 2 63 3 3 1 3 3 0 .2 8 92 2 2mdym d tl l lmmdl l l?? ? ??????? ???? ??????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?????????????????這里 211ii??????? ????展開代入數(shù)據(jù)即可 … 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 66 有黏滯阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 有黏滯阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 n自由度系統(tǒng)的振動微分方程為 [ ] { } [ ] { } [ ] { } { ( ) }M x C x K x F t? ? ? 其中的質(zhì)量矩陣 [M]、 剛度矩陣 [K]和阻尼矩陣 [C]通常為實對稱矩陣 。 阻尼矩陣通過上節(jié)的坐標(biāo)變換一般不能化為對角陣 ， 即方程不能解耦 。 因此多自由度有阻尼振動系統(tǒng)的求解非常困難 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 67 如果阻尼矩陣 [C]是質(zhì)量矩陣 [M]和剛度矩陣 [K]的線性組合 ， 則稱之為 比例阻尼 。 [ ] [ ] [ ]C M K???? 其中 ?和 ?為常數(shù) 。 則對阻尼矩陣進(jìn)行正則變換后得 2[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]TN N iQ C Q E? ? ??? 有黏滯阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 68 這樣 ， 對振動方程進(jìn)行正則變換后得到 （ i＝ 1， 2， … ， n） 由于方程已經(jīng)解耦 ， 則可直接利用單自由度的理論求解正則坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 22( ) ( )N i i N i i N i N iZ Z Z P t? ? ? ?? ? ? ?() 2i2 01 ( ) sin[ 1 ( ) ]1iit tNi Ni iiiZ e P t d? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ?? ?（ i＝ 1， 2， … ， n） 有黏滯阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 69 其中 廣義坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 22iii? ? ?????()1{ } [ ] { } { }niN N N Niix Q Z X Z??? ? 有黏滯阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 70 固有頻率相等或為零的情況 固有頻率相等或為零的情況 振動系統(tǒng)的廣義特征值問題為： 2( [ ] [ ] ) { } [ ] { } { 0 }K M X H X?? ? ?固有頻率相等的情況 (P163165) 這里 [H]＝ [K]?2[M]為 特征矩陣 。 由于結(jié)構(gòu)的對稱性或其它原因 ， 可能具有重特征值 ， 也就是有相同的固有頻率 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 71 固有頻率相等或為零的情況 設(shè)固有頻率有 r個重根 ， 則特征方程的秩變?yōu)?n－ r， 原方程只有 n－ r個方程獨立 。 劃去 r個不獨立方程 ， 并把其余 n－ r個獨立方程寫為 {}[ [ ] [ ] ] { 0 }{}aabbXHHX??????? [Ha]為劃去 r個不獨立方程并調(diào)整列位置后的剩余 n－ r個獨立方程組成的 (n－ r) (n－ r)階方陣 ， [Hb] 為 (n－ r) r階矩陣 ， {Xa}為 n－ r階列陣 ， {Xb}為 r階列陣 。 由此得到 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 72 固有頻率相等或為零的情況 1{ } [ ] [ ] { }a a b bX H H X???一般取 (){ } { 0 0 1 0 0 }iTbX ?其中只有第 i個元素為 1， 其余均為零 。 記 {}{}{}abXXX??? ???? 將其正規(guī)化 ， 即得到第 i 階重特征值的振型 。 正規(guī)化的方法