【正文】 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 86 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 顯然 解得 0[ ] ,0mMm??????? []kkKkk???? ?????2222 2 2[ ] [ ]()0k m kKMk k mk m k?????????? ??????? ? ? ?1220, km?????1對(duì)應(yīng)剛體運(yùn)動(dòng) ， 設(shè)為 At+B 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 87 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 則 2( 2 ) ( 2 )222{ } { } 0kkk m kXXkkk k m??? ? ? ??? ?????? ?????? ????( 2 ) 1{}1X ??? ??????2對(duì)應(yīng)的振型 ?2引起的響應(yīng)為 221( c o s s in )1C t D t???? ??????總響應(yīng)為 221{ } ( c o s s in )1x A t B C t D t????? ? ? ??????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 88 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 代入初始條件 0 1 0 2 0 1 0 20 , , 0x x x v x? ? ? ?得 000BCBCBC?? ?? ? ???? ?22 2,0 22A D v vvADAD?? ??? ?? ? ???? ?所以系統(tǒng)的響應(yīng)為 122 21sin122x vvttx???? ????? ? ? ?????? 作業(yè)： 62 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 85 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 【 T536】 水平面上一物塊 m1以速度 v與物塊 m2發(fā)生完全彈性碰撞 ， 已知 m1＝m2＝ m3， 求碰撞后系統(tǒng)的響應(yīng) 。 可以證明 ， 當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是正定矩陣時(shí) ， 不會(huì)有零固有頻率 ， 而當(dāng)剛度矩陣為半正定矩陣時(shí) ， 系統(tǒng)為半正定系統(tǒng) 。 對(duì)于剛體模態(tài) ， 整個(gè)系統(tǒng)如同一個(gè)剛體一樣整體運(yùn)動(dòng) ， 有 x1＝ x2＝ … ＝ xn， 因而其特征向量的所有元素都為 1。 設(shè) 原列位置 1 4 2 3 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 77 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 則 0[]02akHk???????1 0{ } [ ] [ ] { }0a a b bX H H X? ??? ? ? ????則 0[]00bkH???? ????1 1 / 0[]0 1 / 2akHk? ???????設(shè) 0{}1bX ??? ????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 78 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 則 所以 { } { 0 0 0 1 }a TbXXX????????行位置 1 4 2 3 ( 2 ){ } { 0 0 1 0 } TX ?( 2 ) ( 1 ) ( 2 )1{ } { } { }X c X X??( 1 ) ( 2 )1 ( 1 ) ( 1 ){ } [ ] { } 0{ } [ ] { }TTX M XcX M X???所以 ( 2 ){ } { 0 0 1 0 } TX ?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 79 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 對(duì)第 4固有頻率 ， 特征值問題為 0000[ ] { } { } { 0 }0 0 2 00 0 0 0kkkkH X Xk???????????? ???( 3 ){ } { 1 1 0 0 } TX ??為求第 4振型 ， 去掉第 4個(gè)方程并調(diào)整列位置 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 80 列位置 1 2 3 4 1 3 2 4 0 0 0 0[]0 0 2 0 0 2 0 0k k k kHkk? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?則 0[]02akHk???? ?????0[]00bkH???? ????1 1 / 0[]0 1 / 2akHk? ?????? ???設(shè) 0{}1bX ??? ????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 81 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 1 0{ } [ ] [ ] { }0a a b bX H H X? ??? ? ? ????則 所以 { } { 0 0 0 1 }a TbXXX????????行位置 1 3 2 4 ( 4 ) ( 4 ){ } { } { 0 0 0 1 } TXX ??( 4 ) ( 3 ) ( 4 )1{ } { } { }X c X X??( 3 ) ( 4 )1 ( 3 ) ( 3 ){ } [ ] { } 0{ } [ ] { }TTX M XcX M X???這是由于 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 82 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 所以 響應(yīng)為 1 0 1 01 0 1 0[]0 1 0 00 0 0 1Q??????????????1112 2 2333444sin( 2 / )1 0 1 0sin( 2 / )1 0 1 00 1 0 0 sin( 6 / )0 0 0 1sin( 6 / )X k m txx X k m tx X k m txX k m t?????? ??? ?????? ?????????? ? ? ??? ?? ? ? ???? ? ? ????? ???第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 83 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 有時(shí)振動(dòng)方程會(huì)出現(xiàn)零特征值的情況 ， 即固有頻率為零 ， 表明系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是一種剛體運(yùn)動(dòng) ， 不發(fā)生彈性變形 ， 這種運(yùn)動(dòng)稱為 剛體模態(tài) 或 零固有頻率模態(tài) 。 正規(guī)化的方法步驟為： （ 1） 1階重特征值振型： ( 1 ) ( 1 ){ ) { }XX?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 73 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r （ 2） 2階重特征值振型： ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )1{ } { } { }X c X X??( 1 ) ( 2 )1 ( 1 ) ( 1 ){ } [ ] { }{ } [ ] { }TTX M XcX M X??（ 3） i 階重特征值振型： ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )12{ } { } { } { }iiX c X c X X? ? ? ?( ) ( )( ) ( ){ } [ ] { }{ } [ ] { }j T ij j T jX M XcX M X??(j＝ 1,2,… i－ 1) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 74 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 【 例 】 設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為 求系統(tǒng)自由振動(dòng)的解 。 由此得到 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 72 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 1{ } [ ] [ ] { }a a b bX H H X???一般取 (){ } { 0 0 1 0 0 }iTbX ?其中只有第 i個(gè)元素為 1， 其余均為零 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 71 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 設(shè)固有頻率有 r個(gè)重根 ， 則特征方程的秩變?yōu)?n－ r， 原方程只有 n－ r個(gè)方程獨(dú)立 。 則對(duì)阻尼矩陣進(jìn)行正則變換后得 2[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]TN N iQ C Q E? ? ??? 有黏滯阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 68 這樣 ， 對(duì)振動(dòng)方程進(jìn)行正則變換后得到 （ i＝ 1， 2， … ， n） 由于方程已經(jīng)解耦 ， 則可直接利用單自由度的理論求解正則坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 22( ) ( )N i i N i i N i N iZ Z Z P t? ? ? ?? ? ? ?() 2i2 01 ( ) sin[ 1 ( ) ]1iit tNi Ni iiiZ e P t d? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ?? ?（ i＝ 1， 2， … ， n） 有黏滯阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 69 其中 廣義坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 22iii? ? ?????()1{ } [ ] { } { }niN N N Niix Q Z X Z??? ? 有黏滯阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 70 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 振動(dòng)系統(tǒng)的廣義特征值問題為： 2( [ ] [ ] ) { } [ ] { } { 0 }K M X H X?? ? ?固有頻率相等的情況 (P163165) 這里 [H]＝ [K]?2[M]為 特征矩陣 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 67