【正文】 111 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 1. 標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣 即由標(biāo)準(zhǔn)振型構(gòu)成的方陣： ( ) ( )1{ } { }iiNiXXM?標(biāo)準(zhǔn)振型 （ 正則振型 ） 為 ( 1 ) ( 2 ) ( )[ ] [ { }{ } { }]nN N N NQ X X X?標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) 112 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 則有如下關(guān)系： [ ] [ ] [ ] [ ]TNNQ M Q E?1[ ] [ ] [ ]TNNQ Q M? ?2[ ] [ ] [ ]00TN N iQ K Q ?????? ??????同理有 由于 ( ) ( )( ) ( ) { } { }{ } [ ] { } [ ] 1i T ii T iNNiiXXX M X MMM??還有如下關(guān)系： 113 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2. 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) （ 正則坐標(biāo) ） 下的方程 對(duì)振動(dòng)方程用正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換 { } [ ]{ }NNx Q Z?代入方程得到 2 0N i i N iZZ???（ i＝ 1， 2， … n） 這組廣義坐標(biāo) {ZN}稱為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) (正則坐標(biāo) )。 由此可得到： 2 iiiKM? ?當(dāng) i＝ j 時(shí)： ( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX M X M?( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX K X K?107 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 變換矩陣即振型矩陣 ， 就是各階振型組成的方陣 變換矩陣 ( 1 ) ( 2 ) ( )[ ] [ { } { } { } ]nQ X X X? 主坐標(biāo) 108 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 廣義質(zhì)量 （ 主質(zhì)量 、 模態(tài)質(zhì)量 ） 矩陣 [Mp]和廣義剛度 （ 主剛度 、 模態(tài)剛度 ） 矩陣 [Kp]：主對(duì)角線元素為相應(yīng)的主質(zhì)量和主剛度 ， 其它元素為零 。 解： 1 0 0[ ] 0 1 00 0 1Mm???????????2 1 0[ ] 1 2 10 1 1Kk?????? ? ??????99 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 則響應(yīng)為： 3()1{ } { } ( s in c o s )i i i i iix X A t B t??????將振型代入并展開： 1 1 1 1 1sin c osx A t B t????2 2 2 2si n c osA t B t????3 3 3 3si n c osA t B t????100 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 前面的例題已經(jīng)求得： 2 2 21 2 30 . 1 9 8 , 1 . 5 5 5 , 3 . 2 4 7k k km m m? ? ?? ? ?( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 45X????? ???????( 3 )1{ } 47X????????????101 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2 1 1 1 02( sin c os )x A t B t????2 2 2 5 ( si n c os )A t B t????3 3 3 7 ( si n c os )A t B t????3 1 1 1 47 ( sin c os )x A t B t????2 2 2 2( si n c os )A t B t????3 3 3 5 ( si n c os )A t B t????102 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 解出各系數(shù)即可 … 1 2 3 1B B B? ? ?1 2 31 .8 0 2 0 .4 4 5 1 .2 4 7 1B B B? ? ?1 2 47 02 55 1B B B? ? ?1 1 2 2 3 3 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 31 .8 0 2 0 .4 4 5 1 .2 4 7 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 47 02 55 0A A A? ? ?? ? ?代入初始條件得： 103 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 由廣義特征值問題 ([K]－ ?2[M]){X}={0}知 主振型的正交性 ( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }iiiK X M X??( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }jjjK X M X??兩邊分別左乘 {X(j)}T 和 {X(i)}T得到 104 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 與第一式相減得： ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T iiX K X X M X??由于 [K]和 [M]都是對(duì)稱陣 ， 上面第二式可寫為 ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }i T j i T jjX K X X M X??2 2 ( ) ( )0 ( ) { } [ ] { }j T iij X M X????( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T ijX K X X M X??105 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 顯然也有： ( ) ( ){ } [ ] { } 0j T iX K X ?（ i≠j） 結(jié)論：當(dāng)剛度矩陣 [K]和質(zhì)量矩陣 [M]都是對(duì)稱陣時(shí) ， n個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)的固有振型之間關(guān)于 [K]和 [M]都是正交的 。設(shè) {X(i)}＝ ci {XN(i)}， 代入上式有： ( ) ( ) ( ) ( ) 2{ } [ ] { } { } [ ] { }i T i i T ii N i N i iX M X c X M c X c M? ? ?所以 ( ) ( ) ( )()( ) ( ){ } { } { }{}{ } [ ] { }i i iiN i T ii iX X XXc M X M X???96 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 求出特征方程的 n個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量后 ，即得到振動(dòng)方程的 n個(gè)線性無關(guān)的特解 ， 系統(tǒng)按任意一個(gè)固有頻率作自由振動(dòng) ， 稱之為主振動(dòng) ， 則第i 階主振動(dòng)為 ( ) ( ){ } { ) sin( )ii iix X t???? (i＝ 1,2,… n) 因而方程的通解應(yīng)是上述特解的線性組合 ()1{ } { } s in ( )nii i iix c X t??????97 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 或?qū)憺? 其中常數(shù) ci、 ?i、 Ai、 Bi (i＝ 1,2,… ,n)由初始條件確定 。 94 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 對(duì)方程 ([K]－ ?2[M]){XN}={0}兩邊左乘 {XN(i)}T 可得到 ( ) ( ) 2{ } [ ] { }i T iN N iX K X ?? 注意：這里的 {XN(i)}均為正規(guī)化后的振型 ， 而不是求解的原始主振型 {X(i)} 。 92 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 分別代入 ([K]?2[M]){X}=0得： ( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 45X????? ???????( 3 )1{ } 47X????????????93 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2. 振型的標(biāo)準(zhǔn)化 另外一種確定振型各元素?cái)?shù)值的方法是以某個(gè)限制條件來確定振型中的常數(shù)因子 。通常假設(shè)振型的某個(gè)元素 為 1，則其它元素就可以表示為此元素的倍數(shù)，這種方法或 過程就是振型的基準(zhǔn)化。 如在 A1格 “ 插入 ” “ 名稱 ” “ 定義 ” … w (2)輸入公式 。 89 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 解：代入數(shù)值得 代入 |[K]?2[M]|=0得： 1 0 0[ ] 0 1 00 0 1M???????????2 1 0[ ] 1 2 10 1 1K?????? ? ??????6 4 25 6 1 0? ? ?? ? ? ? 理論求解很困難 ， 一般通過試算或利用工具軟件 ， 如 Excel、 MATLAB、 Mathematica等 。 2 ( )( [ ] [ ] ) { } { 0 }, ( 1 , 2 )iiK M X i n?? ? ?88 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例 310中：設(shè) m1＝ m3＝ 1， m2＝ 2， r＝ 1， k1＝ k2＝ k3＝ 1。 顯然 : 和兩自由度一樣 ， 由上式只能求出振幅的比值 ，而不能確定各振幅大小 。 由此可求出 n個(gè)特征根 ?2。代入振動(dòng)方程可得： [K]?2[M]稱為特征矩陣 。 運(yùn)動(dòng)微分方程式 83 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 【 310】 求系統(tǒng)的微振動(dòng)微分方程 。 多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的很多概念和研究方法在兩自由度系統(tǒng)中已經(jīng)討論 。 79 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) ? ?2( ) s in 1 7 7 . 6 5 s in 6 03 0 3 0nnF t m e t t?? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?解 : 振動(dòng)方程為 其中 111 1 2 22 2 222()0xxm m k k k Ftm k k? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ?（ 1） 利用前面求得的振幅公式 22 2 11 2 2 21 2 1 2 2 2()( ) ( )k m FXk k m k m k?????? ? ?＋80 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 代入數(shù)據(jù) ,令 X1＝ 0求得 : k2＝ N/m 代入公式求得減震器振幅為 212 2 2 21 2 1 2 2 20 . 0 0 2 2 2 m( ) ( )kFXk k m k m k????? ? ?＋（ 3） 設(shè)減震器振幅 X2=， 同時(shí)設(shè) ?1＝ ?2 求得 k2…… 2211mkmmk ??（ 2） 設(shè) 求得 : k1＝ N/m 81 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 多自由度系統(tǒng)指的是可以用有限個(gè)自由度描述的振動(dòng)系統(tǒng) 。 78 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 【 39】 機(jī)器質(zhì)量 m1＝ 90 kg， 減振器質(zhì)量 m2＝ kg， 機(jī)器上偏心塊質(zhì)量為 m＝ kg， 偏心距 e＝ 1 cm， 機(jī)器轉(zhuǎn)速 n＝ 1800 r/min。 通常 ， 實(shí)際的設(shè)計(jì)選擇是要求適當(dāng)限制吸振系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的振幅 X2。 11/stx F k?—— 基本系統(tǒng)的靜位移 。 運(yùn)動(dòng)微分方程為 無阻尼動(dòng)力吸振器 111 1 2 2 12 2 222s in0xxm k k k F tm k k???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?75 振動(dòng)理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 利用前面的方法求得振幅為 22 2 11 2 2 21 2 1 2 2 2212 2 2 21 2 1 2 2 2()( ) ( )( ) ( )k m FXk k m k m kkFXk k m k m k???????? ?? ? ? ?????? ? ??＋＋引入記號(hào) 11nkm? ?—— 基本系統(tǒng)的固有頻率 。