單自由度系統(tǒng)在一般激勵(lì)下的受迫振動(dòng)(已修改)
2025-06-26 23:39 本頁(yè)面
【正文】 第 6講 單自由度系統(tǒng)在一般激勵(lì)下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 任意激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) 響應(yīng)譜 x t x t nT( ) ( )? ?周期振動(dòng) 展成傅氏級(jí)數(shù) x t a a n t b n tn nn( ) ( c o s s i n )? ? ????01 112? ???????TnTnTttntxTbttntxTattxTa010100ds in)(2dc o s)(2d)(2??一個(gè)周期 T中的平均值 x t a A n tn nn( ) s i n ( )? ? ????0112? ?n=1,2,3,…… n=1,2,3,…… Tπ21 ??基頻 ,t a n22nnnnnn babaA ??? ?， 周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 一個(gè)周期振動(dòng)可視為頻率順次為基頻 及整倍數(shù)的若干或無(wú)數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)分量的合成振動(dòng)過(guò)程。 ?1 在振動(dòng)力學(xué)中將傅氏展開(kāi)稱為諧波分析 周期函數(shù)的幅值頻譜圖 ， 相位頻譜圖 。 周期函數(shù)的譜線是互相分開(kāi)的，故稱為離散頻譜。 周期振動(dòng)的諧波分析 周期激勵(lì)作用下的受迫振動(dòng) Mechanical and Structural Vibration 函數(shù)的頻譜，說(shuō)明了組成該函數(shù)的簡(jiǎn)諧成分，反映了該周期函數(shù)的特性。這種分析振動(dòng)的方法稱為頻譜分析。 由于自變量由時(shí)間改變?yōu)轭l率，所以頻譜分析實(shí)際上是由時(shí)間域轉(zhuǎn)入頻率域。 這是將周期振動(dòng)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的另一個(gè)物理意義。 周期振動(dòng)的諧波分析 Mechanical and Structural Vibration 周期振動(dòng)的諧波分析以無(wú)窮級(jí)數(shù)出現(xiàn) ， 但一般可以用有限項(xiàng)近似表示周期振動(dòng) 。 例 已知一周期性矩形波如圖所示，試對(duì)其作諧波分析。 解 ∶ 矩形波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù) F (t)可表示為 F t f f( ) ? ????00π2π π0 ?? ?? tt表示 F(t)的波形關(guān)于 t軸對(duì)稱，故其平均值為零。 0d)(π1π200 ?? ? ttFa周期振動(dòng)的諧波分析 Mechanical and Structural Vibration n=1， 2， 3…… 0dc o sdc o sπ1210010 ??????? ?? ?? ????? ttnfttnfa n? ? π4πc o s1π2ds i nds i nπ1 002 10010 nfnnfttnfttnfbn ????????? ?? ?? ?????于是 ， 得 F(t)的傅氏級(jí)數(shù) ?????? ?????? ?? ?????tttftnnftnbtFnnn 1110. . .1011 5s i n513s i n31s i n4s i n14s i n)( ???????F(t)是奇函數(shù)，在它的傅氏級(jí)數(shù)中也只含正弦函數(shù)項(xiàng)。在實(shí)際的振動(dòng)計(jì)算中，根據(jù)精度要求，級(jí)數(shù)均取有限項(xiàng)。 F(t)的幅值頻譜如圖所示。 周期振動(dòng)的諧波分析 Mechanical and Structural Vibration 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜 函數(shù) f ( t )的傅氏積分公式 ??????? ttfG tj de)()( ???????? ?? ? de)(π2 1)( tjGtff ( t )的傅氏變換 G( )? 的傅氏逆變換 又稱非周期函數(shù) f ( t )的頻譜函數(shù)。頻譜函數(shù)的值一般是復(fù)數(shù)。 G( )?連續(xù)頻譜 ??? dede)(π2 1)( tjtj ttftf ? ?????????? ???????f ( t )稱為非周期函數(shù) Mechanical and Structural Vibration 例 試求圖示單個(gè)矩形脈沖的頻譜圖形 。 ??????????????????????ttEttf2,022,2,0)(???? 2s i n2de)(22j ??????? EtEG t ?? ????????? ???? ? de2s i n2π2 1)( j tEtf可求得頻譜函數(shù) f (t)的傅氏積分為 解 : f ( t )可表示為 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜 Mechanical and Structural Vibration G E E( )sin sin?????????? ?2 2 22其振幅頻譜 頻譜圖 ??0傅氏積分和變換，是研究瞬態(tài)振動(dòng)與隨機(jī)振動(dòng)的重要工具。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可使用計(jì)算機(jī)運(yùn)算或應(yīng)用各種快速傅氏分析儀器 (FFT)。 非周期函數(shù)的連續(xù)頻譜 Mechanical and Structural Vibration 先對(duì)周期激勵(lì)作諧波分析，將它分解為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)。然后，求出系統(tǒng)對(duì)各個(gè)頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)。再由線性系統(tǒng)的疊加原理，將每個(gè)響應(yīng)分
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