多自由度系統(tǒng)振動(dòng)之三頻率方程的零根和重根情形之四受迫振動(dòng)之五有阻尼(已修改)
2025-02-02 15:15 本頁面
【正文】 教學(xué)內(nèi)容 ? 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 ? 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ? 頻率方程的零根和重根情形 ? 多自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) ? 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) ? 頻率方程的零根和重根情形 回顧： （ 1）兩個(gè)例子 系統(tǒng)存在剛體運(yùn)動(dòng)，此時(shí)柔度矩陣 F 不存在，剛度矩陣奇異。 （ 2）多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 剛度矩陣半正定， ，系統(tǒng)為半正定系統(tǒng)，此時(shí)存在 f ( t ) = a t + b 的剛體模態(tài)。 0?K即本節(jié)將討論的零固有頻率的情形 1I 2I?km1 m2 k1 k2 m3 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 對(duì)于 n 自由度系統(tǒng)： 0KXXM ???? nR?X廣義特征值問題： 0MK ?? φ)( 2?有非零解的充要條件： φ 02 ?? MK ?0??若 必有： 0?KK 為奇異矩陣是零固有頻率存在的充要條件，滿足此條件時(shí)系統(tǒng)的剛度矩陣 K 是半正定的 。 結(jié)論： 0K ?φ0??說明當(dāng)半正定系統(tǒng)按剛體振型運(yùn)動(dòng)時(shí)，不發(fā)生彈性變形，因此不產(chǎn)生彈性恢復(fù)力 。 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 假定系統(tǒng)中 01 ??相應(yīng)的主坐標(biāo)方程： 01 ?px??積分，得： batxp ??1a、 b 由初始條件決定 表明此主振動(dòng)為隨時(shí)間勻速增大的剛體位移 系統(tǒng)的剛體自由度可以利用模態(tài)的正交性條件消除 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 01111 ?? pppp xkxm ??設(shè) 為零固有頻率對(duì)應(yīng)的剛體位移模態(tài) )1(φ正交性條件 )(0)()( jijTi ??φφ M 要求： )~2(0)()1( niiT ??φφ M其中， 為系統(tǒng)的除剛體位移之外的其它模態(tài) )~2()( nii ?φ設(shè) )~2( nixpi ? 為與 所對(duì)應(yīng)的主坐標(biāo) )~2()( nii ?φ)~2(0)()1( nix piiT ??φφ M令： ???nipii x2)(φX 系統(tǒng)消除剛體位移后的自由振動(dòng) 可得約束條件： 0)1( ?MXTφ利用此約束條件可消去系統(tǒng)的一個(gè)自由度，得到不含剛體位移的縮減系統(tǒng)，縮減系統(tǒng)的剛度矩陣是非奇異的 。 右乘 ： pix多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 例：教材 P100習(xí)題 （不考慮階梯力的作用） 初始條件： TX ]0000[0 ? TvvX ]00[0 ??求系統(tǒng)響應(yīng) m m k k m k m 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 解： 方法一 動(dòng)力方程 : 0110012100121001100000000000043214321????????????????????????????????????????????????????????xxxxkxxxxmmmm????????0KXXM ????021 ?? mk)22(22 ???mk223 ?? mk)22(24 ???固有頻率 : 奇異矩陣 模態(tài)矩陣 ： ???????????????????????1111)21(1)21(12112111111Φ正則模態(tài)： ????????????????????????????????????????????2211221122)21(122)21(1222112221122112211NΦ令： NN XΦX ?0ΛXX ?? NN??得： TNNNNN xxxx ][ 4321?X初始條件： TNN ]0000[)0( 01 ?? ? XΦXTNN vm ]0101[)0( 01 ??? ? XΦX ??多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 02 ?? NiiNi xx ???展開，得： )4~1( ?i0ΛXX ?? NN??TNN ]0000[)0( 01 ?? ? XΦX TNN vm ]0101[)0( 01 ??? ? XΦX ??021 ?? mk)22(22 ???mk223 ?? mk)22(24 ???在正則坐標(biāo)中分兩種情況求解 01 ??（ 1） 1?i 時(shí) 01 ?Nx??運(yùn)動(dòng)方程： batx N ??1解： 0)0(1 ?Nx vmx N ??)0(1?初始條件： vma ?? 0?b得： vtmx N ??1所以： （ 2） 1?i 時(shí) 4,3,2,s i n)0(c os)0( ??? itxtxx iiNiiNiNi ????02 ?Nx tvmxN 333 s i n ??? 04 ?Nx代入初始條件，可求得： 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 )4~1(02 ??? ixx NiiNi ???在正則模態(tài)中的響應(yīng)： vtmx N ??1 02 ?Nx tvmx N 333 s i n ??? 04 ?Nx寫成矩陣： TTNNNNN ttvmxxxx ]0s i n10[][334321 ????X原物理空間的自由振動(dòng)響應(yīng)： ????????????????????????????ttttttttvNN33333333s i n1s i n1s i n1s i n12????????XΦX多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 解： 方法二：利用約束條件 0110012100121001100000000000043214321????????????????????????????????????????????????????????xxxxkxxxxmmmm????????0)1( ?MXTφ???????????????????????1111)21(1)21(12112111111Φ代入約束條件： 04321 ???? xxxx 4321 xxxx ????0110121103000000432432??????????????????????????????????????????????xxxkxxxmmm??????代入方程，并整理： m m k k m k m 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 非奇異矩陣 奇異矩陣 0110121103000000432432??????????????????????????????????????????????xxxkxxxmmm??????mk)22(22 ??? mk223 ?? mk)22(24 ???求得固有頻率： 021 ??方法一： mk)22(22 ??? mk223 ?? mk)22(24 ???方法一： ????????????????????????????????????????????2211221122)21(122)21(1222112221122112211NΦ???????????????????????????????????221122122)21(122)21(222112221NΦ正則模態(tài)： 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 0110121103000000432432??????????????????????????????????????????????xxxkxxxmmm??????mk)22(22 ??? mk223 ?? mk)22(24 ??????????????????????????????????????221122122)21(122)21(222112221NΦ模態(tài)空間響應(yīng)： TN ]000[)0( ?X TN vm ]010[)0( ?X?初始條件： 02 ?Nx tvmxN 333 s i n ???04 ?Nx物理空間響應(yīng)： TNN tttv ]s i n1s i n1s i n1[2 333333 ?????? ???? XΦX4321 xxxx ??? tx331 s in1 ???第一個(gè)質(zhì)量塊的響應(yīng)： 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 ?????????????????????????????????????ttttvxxxx333333334321s i n1s i n1s i n1s i n12????????寫成矩陣形式： ???????????????????????????????????????ttttttttvxxxx333333334321s i n1s i n1s i n1s i n12????????方法一結(jié)果： 消除了剛體位移 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 tx 331 s in1 ??? tx 332 s in1 ???? tx 333 s in1 ???? tx 334 s in1 ???? 頻率方程的重根情形 在前面引入振型矩陣（或模態(tài)矩陣）的概念時(shí)，曾假設(shè)所有的特征值都是特征方程的單根 。 復(fù)雜的系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)某些特征根彼此很接近甚至相等的情況
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