【正文】 動力吸振器的原理是在原系統(tǒng)上附加一個新的 mk或 mc系統(tǒng) ， 使其變成兩自由度的振動系統(tǒng) ， 利用前面研究的理論 ， 使原振動系統(tǒng)的振幅趨于零 。 已知 W1＝ 44100 N， W2＝ 441000 N， k1＝ 107 N/m， k2＝ 108 N/m。 68 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 和單自由度的概念類似 ， 可以繪出頻率比與振幅之間隨阻尼比的變化曲線 —— 幅頻響應(yīng)曲線 頻率響應(yīng)曲線 共振現(xiàn)象 69 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 例 38】 在兩自由度標(biāo)準(zhǔn) mk系統(tǒng)中 ， 設(shè) m1＝m2＝ m， k1＝ k2＝ k3＝ k， 在第一個質(zhì)量上作用有干擾力 F1(t)=F0cos?t， 求系統(tǒng)的響應(yīng) 。 1{ } [ ( ) ] { }X Z F? ??即 67 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 由此可看出 : （ 1） 當(dāng)激勵頻率與系統(tǒng)的固有頻率接近時 ， 系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象 ， 即無阻尼振幅將達(dá)到無窮大 ，所不同的是 ， 兩自由度系統(tǒng)有兩個共振峰； （ 2） 阻尼的存在使共振振幅減小 ， 在相同的阻尼下 ， 頻率高的共振峰降低的程度比頻率低的大 。 將初始條件代入得 1 1 1 1 2 2 2si n( ) si n( )x C t C t? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 1 2 2 21s in ( ) s in ( )2x C t C t? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 21 si n si nCC ????1 1 2 211 s in s in2CC????63 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 聯(lián)立解得 1 1 1 2 2 20 c os c osCC? ? ? ???1 1 1 2 2 210 c o s c o s2CC? ? ? ???1 2 11 , 0 , / 2CC ??? ? ?所以 1 2 1s in ( ) c o s2kx x t tm??? ? ? ?64 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 兩自由度振動微分方程為 復(fù)數(shù)解法 兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 [ ] { } [ ] { } [ ] { } { ( ) }M x C x K x F t? ? ?設(shè)干擾力為諧和函數(shù) ， 并表示為復(fù)數(shù)形式 ? ?1122(){ ( ) }()i t i tF t FF t e F eF t F??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?令方程的解為 ? ?1122(){ ( ) }()i t i tx t Xx t e X ex t X??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?65 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 其中 X1和 X2為復(fù)振幅 。 利用坐標(biāo)變換方法求系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng) 。 si n( )i i i iP C t????59 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 利用主坐標(biāo)解耦的方法求解系統(tǒng)響應(yīng)的基本步驟為： （ 1） 求出原振動方程的固有頻率和振幅比 ， 得到振型矩陣 [u]； （ 2） 求出主坐標(biāo)下的響應(yīng)； si n( )i i i iP C t????（ 3） 利用式 {x}=[u]{P}得出原廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)； （ 4） 利用初始條件確定常系數(shù) 。 主坐標(biāo) 57 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 其中 [u]是前面得到的振型矩陣 ? ?1211uuu???????令 ? ? ? ?? ?x u P? 將 {x}代入原振動方程 ， 化簡后就可得到解耦的運(yùn)動方程 （ 下章證明 ） 2{ } { } { 0 }iiPP???58 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 顯然上述解耦的方程的解可以用單自由度振動的方法獨(dú)立求得 將其代入 {x}=[u]{P}即可得到用原始坐標(biāo) {x}表示的一般解 。 1 2 2222() 0( ) ( ) 0Axm m a k k k a b xm a J k a b k a b ??????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???1kx56 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 從前面的分析可知 ， 只要廣義坐標(biāo)形式選擇合適 ， 就可以得到?jīng)]有坐標(biāo)耦合的運(yùn)動微分方程 ，這時的廣義坐標(biāo)稱為主坐標(biāo) 。 O C e a1 b1 21()k x b??)( 11 ?axk ?55 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 2 [ ( ) ]k x a b ??? 同樣 ， 若將坐標(biāo) x取在最左端 A， 利用平面運(yùn)動微分方程得到運(yùn)動方程為 這里的 a和 b如原圖所標(biāo)的位置 。 對于下面的振動系統(tǒng) ， 設(shè)桿的質(zhì)量為 m，繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為 JC。 廣義坐標(biāo)與坐標(biāo)耦合 52 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 方程是否耦合與廣義坐標(biāo)的選取有關(guān) 。 利用 }0{}]){[]([ 2 ?? XMK ?則 (1)2112 (1)1 220Xk m kk k m X???????? ????????? ???? ??( 1 )21 ( 1 )11 .6 1 8XuX??同理 ( 2 )22 ( 2 )10 . 6 1 8XuX? ? ?49 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 （ 4） 求響應(yīng) 初始條件 01 01 0,xx??代入得 1 ( 1 ) ( 1 )1 1 2 111211{ } c o s s inxx C t C tuux???? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ???( 2 ) ( 2 )1 2 2 22211c o s s inC t C tuu??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?02 0,x ? 02 2x g h?( 1 ) ( 2 )11( 1 ) ( 2 )1 1 2 100CCu C u C????( 1 ) ( 2 )1 2 2 2( 1 ) ( 2 )1 1 2 2 2 202CCu C u C g h????????50 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 解得 響應(yīng)為 ( 1 ) ( 2 )11 0,CC??( 1 ) ( 2 )221 0 .2 3 3 , 3 .9 0 8m g m gCCkk? ? ?11121{ } 1 0 . 2 3 3 s inx mgxtukx??? ??????? ? ? ??? ????2213 .9 0 8 s inmg tuk???? ????51 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 在二階振動微分方程中 ， 如果質(zhì)量矩陣 [M]和剛度矩陣 [K]的各個元素都不為零 ， 則在兩個方程中都同時包含坐標(biāo) x1和 x2和它們的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) ， 這種情形稱為坐標(biāo)耦合 。 解：用牛頓定律 112200m x km x k??????1 3 1 2 3 2 2 1 3,x x k L k L k L? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?而 x1 x2 ?1 ?2 ?3 解得 1211222323xxxx??????則方程為 121122203203xxm x kxxm x k??????45 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 頻率方程為 即 22222222111 6 2 4 1 601 6 1 6k L k Lm g L m Lk L k Lm g L m L??? ? ??? ? ?22 1 1 1 1 1 222 1 2 2 2 2[ ] [ ] 0k m kKMk k m????? ? ??展開得 24233 5 2 3 01 6 8g k g g kL m L m L?? ???? ? ? ??????? ??+46 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 頻率方程為 0[]0mMm???????2133[]1233kkKkk????? ????????222330233kkmkkm?????解得 12 ,3kkmm????47 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 35】 質(zhì)量為 m2的物塊從高 h處自由落下 ， 然后與彈簧質(zhì)量系統(tǒng)一起做自由振動 ， 已知 m1＝ m2＝ m， k1＝ k2＝ k，h＝ 100 mg/k， 求系統(tǒng)的振動響應(yīng) 。 ( 1 ) ( 2 )02 01 2 01 1 02111 2 1 2( 1 ) ( 2 )02 01 2 01 1 02221 1 2 2 1 2,( ) ( )x x u x u xCCu u u ux x u x u xCCu u u u???? ?????? ???????????42 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 35】 求系統(tǒng)的頻率方程 。 （ 2） 確定固有頻率 ?i 和振幅比 ui 。 39 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 式中的各個 X、 ?和 C均為任意常數(shù) ， 由初始條件確定 。 每一個主振動稱為一個模態(tài) ， ?i和對應(yīng)的 ui組成第 i 階模態(tài)參數(shù) 。 37 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 式中的 X1可以取任意值 。 因此把 ?i稱為系統(tǒng)的固有頻率或主頻率 ，ui稱為系統(tǒng)的固有振型或主振型 。 由數(shù)學(xué)概念知道 ， 只能求出振幅的比值 ， 而不能確定各振幅大小 。 且規(guī)定 ?1 = ?2 。 若 [M]為對角陣 ， [K]為對稱陣 ， 則有 }0{}]){[]([ 2 ?? XMK ?0][][2222211212112 ?????mkkkmkMK???35 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 上式稱為頻率方程或特征方程 。 代入振動方程可得： 這是廣義的特征值問題 ， [K]?2[M]稱為特征矩陣 。 12d k j k jkjE c x x? ??1 { } [ ] { }2Tx C x?31 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 例 34】 求 [M]和 [K]。 2. 剛度矩陣的形成 勢能可寫為 12 k j k jkjV k x x? ?? 1 { } [ ] { }2Tx K x? [K]即為所求的剛度矩陣 ， 也是對稱陣 。 28 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 只給出公式 ， 不作嚴(yán)格推導(dǎo) 。 25 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 【 例 33】 用拉格郎日方程建立系統(tǒng)微振動微分方程 。 解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢能位置 。 實(shí)際計算廣義力 Qi時 ， 通常假設(shè)與 xi對應(yīng)的廣義虛位移不等于零 ， 其它虛位移都等于零 。 18 振動理論及應(yīng)用 第 3章 多自由度系統(tǒng)的振動 對于非標(biāo)準(zhǔn)的 mkc多自由度振動系統(tǒng) ， 用傳統(tǒng)的動力