【正文】 ?? ?????????()01()01{ } { }{ } { }niiiniiiix B Xv A X????? ?????????或 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 22 【 T626】 圖示系統(tǒng)中 , m1＝ m2＝ m3＝ m, k1＝ k2＝ k3＝ k, 設(shè)初始位移為 1, 初始速度為 0, 求初始激勵的自由振動響應(yīng) 。 解： 1 0 0[ ] 0 1 00 0 1Mm???????????2 1 0[ ] 1 2 10 1 1Kk?????? ? ??????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 23 前面的例題已經(jīng)求得： 2 2 21 2 30. 19 8 , 1. 55 5 , 3. 24 7k k km m m? ? ?? ? ?( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 0 . 4 4 50 . 8 0 2X????? ???????( 3 )1{ } 1 . 2 4 70 . 5 5 5X????????????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 24 則響應(yīng)為： 3()1{ } { } ( sin c os )i i i i iix X A t B t??????將振型代入并展開： 1 1 1 1 1s i n c o sx A t B t????2 2 2 2s i n c o sA t B t????3 3 3 3s i n c o sA t B t????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 25 2 1 1 1 11 . 8 0 2 ( s i n c o s )x A t B t????2 2 2 20 . 4 4 5 ( s i n c o s )A t B t????3 3 3 31 . 2 4 7( s i n c o s )A t B t????3 1 1 1 12 . 2 4 7 ( s i n c o s )x A t B t????2 2 2 20 . 8 0 2 ( s i n c o s )A t B t????3 3 3 30 . 5 5 5 ( s i n c o s )A t B t????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 26 解出各系數(shù)即可 … 1 2 3 1B B B? ? ?1 2 31 . 8 0 2 0 . 4 4 5 1 . 2 4 7 1B B B? ? ?1 2 32 . 2 4 7 0 . 8 0 2 0 . 5 5 5 1B B B? ? ?1 1 2 2 3 3 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 31 . 8 0 2 0 . 4 4 5 1 . 2 4 7 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 32 . 2 4 7 0 . 8 0 2 0 . 5 5 5 0A A A? ? ?? ? ?代入初始條件得： 作業(yè)： T628 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 27 由廣義特征值問題 ([K]－ ?2[M]){X}={0}知 主振型的正交性 主 振型的正交性 ( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }iiiK X M X??( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }jjjK X M X??兩邊分別左乘 {X(j)}T 和 {X(i)}T得到 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 28 與第一式相減得： ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T iiX K X X M X??由于 [K]和 [M]都是對稱陣 ， 上面第二式可寫為 ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }i T j i T jjX K X X M X??2 2 ( ) ( )0 ( ) { } [ ] { }j T iij X M X???? 主 振型的正交性 ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T ijX K X X M X??第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 29 顯然也有： ( ) ( ){ } [ ] { } 0j T iX K X ?（ i≠j） 結(jié)論：當(dāng)剛度矩陣 [K]和質(zhì)量矩陣 [M]都是對稱陣時 ， n個固有頻率對應(yīng)的固有振型之間關(guān)于 [K]和 [M]都是正交的 。 所以： ( ) ( ){ } [ ] { } 0j T iX M X ? （ i≠j） 主 振型的正交性 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 30 這里的 Mi和 Ki是兩個實(shí)常數(shù) ， 分別稱為系統(tǒng)的 主質(zhì)量 和 主剛度 （ 或稱 模態(tài)質(zhì)量 和模態(tài)剛度 ） 。 由此可得到： 2 iiiKM? ?當(dāng) i＝ j 時： ( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX M X M?( ) ( ){ } [ ] { }i T i iX K X K? 主 振型的正交性 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 31 主坐標(biāo) 變換矩陣即 振型矩陣 ， 就是各階振型組成的方陣 變換矩陣 ( 1 ) ( 2 ) ( )[ ] [ { } { } { } ]nQ X X X? 主坐標(biāo) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 32 主坐標(biāo) 廣義質(zhì)量和廣義剛度的對角矩陣 廣義質(zhì)量 （ 主質(zhì)量 、 模態(tài)質(zhì)量 ） 矩陣[Mp]和廣義剛度 （ 主剛度 、 模態(tài)剛度 ） 矩陣 [Kp]:主對角線元素為相應(yīng)的主質(zhì)量和主剛度 ， 其它元素為零 。 即 [ ] [ ] [ ] [ ]00TpiM Q M Q M?????? ??????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 33 [ ] [ ] [ ] [ ]00TpiK Q K Q K?????? ?????? 由主質(zhì)量矩陣 [Mp]和主剛度矩陣 [Kp]可得到如下關(guān)系： 1 1 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]TTppQ M Q M K Q K? ? ??? 主坐標(biāo) (將 [Mp]或 [Kp]右乘 [Q]1左乘 [Mp]1或 [Kp]1可證 )。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 34 對振動方程用振型矩陣進(jìn)行變換 用主坐標(biāo)表示的運(yùn)動方程 { } [ ] { }x Q Z?代入方程后左乘 [Q]T得 [ ] { } [ ] { } { 0 }ppM Z K Z??或 0i i i iM Z K Z??2 0i i iZZ???（ i＝ 1， 2， … n） 主坐標(biāo) 這樣原方程就變成了 n個獨(dú)立的 (解耦的 )固有頻率為 ?i的簡諧振動 ， 這組廣義坐標(biāo) {Z}稱為 主坐標(biāo) 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 35 1. 標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣 即由標(biāo)準(zhǔn)振型構(gòu)成的方陣： ( 1 ) ( 2 ) ( )[ ] [ { } { } { } ]nN N N NQ X X X? 主坐標(biāo) 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) 由于 ( ) ( )( ) ( ) { } { }{ } [ ] { } [ ] 1i T ii T iNNiiXXX M X MMM??則有如下關(guān)系： [ ] [ ] [ ] [ ]TNNQ M Q E?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 36 1[ ] [ ] [ ]TNNQ Q M? ?2[ ] [ ] [ ]00TN N iQ K Q ?????? ??????同理有 主坐標(biāo) 標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣滿足如下關(guān)系： （ 將 [ ] [ ] [ ] [ ]TNNQ M Q E?右乘 [QN] 1即可證 ） 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 37 2. 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) （ 正則坐標(biāo) ） 下的方程 對振動方程用正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換 { } [ ] { }NNx Q Z?代入方程后左乘 [QN]T得到 2 0N i i N iZZ???（ i＝ 1， 2， … n） 這組廣義坐標(biāo) {ZN}稱為 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) (正則坐標(biāo) )。 主坐標(biāo) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 38 設(shè)振動系統(tǒng)的初始條件為 {x0}和 系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng) 系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng) 對其進(jìn)行正則坐標(biāo)變換 ， 轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（ 正則坐標(biāo) ） 下的初始條件 : }{ 0x?10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???10 0 0{ } [ ] { } [ ] [ ] { }TN N NZ Q x Q M x???第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 39 利用單自由度的響應(yīng)公式可得到初始激勵下的正則坐標(biāo)響應(yīng) : 00 c o s s inNiN i N i i iiZZ Z t t?????（ i＝ 1， 2， … n） 再變換到廣義坐標(biāo) {x}下的響應(yīng) ()1{ } [ ] { } { }niN N N N iix Q Z X Z??? ?上述過程也可以在主坐標(biāo)下進(jìn)行 。 系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動 40 無阻尼系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng)分析步驟 : （ 1） 建立 振動 方程 ， 確定質(zhì)量矩陣 [M]和剛度矩陣 [K]。 （ 2） 求固有頻率和振型 。 （ 3） 確定 標(biāo)準(zhǔn) （ 正則 ） 振型矩陣 。 （ 4） 對初始條件 標(biāo)準(zhǔn) （ 正則 ） 化