【文章內(nèi)容簡介】 ：等效動荷載為零的情況下產(chǎn)生的振動稱為 自由振動 。 ?1?k ，則可導出： mk??mmgst??? m1?? mgg?? Pgstg??stgPgmggmmk??????????1簡支梁自振頻率的這些表達式說明： ? d為 在質(zhì)量自由度方向加單位力所引起的位移 ！ ? ?st表示 由于重力 mg引起的靜力位移 ！ ? 對單自由度體系，自振頻率可以用剛度 k、柔度 ? 或靜撓度 ?st按上式計算； ? 簡支梁的自振頻率 ?是結(jié)構(gòu)剛度 k 和質(zhì)量 m 決定的固有特性； ? 結(jié)構(gòu)的自振頻率 ? 隨剛度 k 增大而增大；隨質(zhì)量 m 增大而減??； ? 結(jié)構(gòu)的自振頻率 ? 隨靜撓度 ?st增大而減小。 比較圖示三種單自由度梁的圓頻率。 mEIl /2 l /2mEIl /2 l /2mEIl /2 l /2梁的自振頻率為： ??? m1[解 ] 按各梁的單位彎矩圖，求梁的 d： 4Pl325Pl163Pl8Pl8Pl 8PlEIl4831 ?? EIl7687 32 ?? EIl19233 ??三種情況的頻率： 3148mlEI??31 77 68mlEI??31192mlEI??三種情況的頻率比： 25111321 :.::: ????阻尼自由振動 ? 對于有阻尼的單自由度體系 ? 特征方程： 022 ??? ?smcs0??? kyycym ??? （ 32） ? 自由振動方程： ? ∵ 則： 0?c 2222 ???????????mcmcs? 隨著根號中值的符號的不同，這個表達式可以描述 臨界阻尼、低阻尼 和 超阻尼 三種體系的運動型式。 ? 本課程只講 臨界阻尼 和 低阻尼 兩種情況。 ? 當根式中的值為零時，對應的阻尼值稱為 臨界阻尼 ，記作 cc。顯然，應有 cc/2m=?，即： ? 特征方程： 2222 ???????????mcmcs?mc c 2?? 這時，對應的 s 值為 ： 0??? kyycym ??? （ 32） ? 自由振動方程： ? 臨界阻尼自由振動方程的解為： ?????? mcss c 221 / （ 315） tetGGty ???? )()( 21（ 316） y 0( )ty( ) + etytyt??? ]1+[ 00.ty 0.? 由初始條件： ?????0000yyyy?? )()(? 得到臨界阻尼體系反應的最終形式： ? 臨界阻尼位移解： tetytyty ?? ???? ])([)( 00 1 ?? 臨界阻尼體系反應 不是簡諧振動，體系的位移反應從開始時的 ，依照指數(shù)規(guī)律衰減，回復到零點。 ? ? teGtGty ???????? 21 1 )()(?? 臨界阻尼 的物理意義是： 在自由振動反應中不出現(xiàn)震蕩所需要的最小阻尼值 。 ? 速度 ???????00201yyGyG?tetGGty ???? )()( 21（ 316） ? 特征方程： 2222 ???????????mcmcs0??? kyycym ??? （ 32） ? 自由振動方程： ? 如果體系的阻尼比臨界阻尼小，則顯然有 c/2m? ，這時，特征方程根式中的值必然為負值，則 s 值成為 ： 2222 ??????????mcimcs ?? 引入符號 ： ?? mcccc 2??22 )( ????????? is? 其中 ? 表示體系阻尼與臨界阻尼的比值，稱為 阻尼比 ，則： ???mc221 ???????? i? 成為： dis ??????tittit dd eGeGty ?????????? ?? 21)(0??? kyycym ???? 低阻尼自由振動方程： 的解為： tite ti ??? s i nc o s ???? 引入 Euler方程： 21 ????? d? 引入符號 ： ? 其中 ?d 稱為有 阻尼振動頻率 。 21 ???????? is? 則 )( titit dd eGeGe ?????? ?? 21)c o ss i n()( tBtAety ddt ???? ??? （ 318） ? 則 ?????? ???????? ??? tytyyetydddt c oss i n)(000?? 利用初始條件： 00 yy ?)(00 yy ?? ?)(? 得到 低 阻尼體系 動力 反應的最終形式 ： )c o ss i n()( tBtAety ddt ???? ??? （ 318） )s i nc os()c oss i n()(tBtAetBtAetyddddtddt????????????????????0yB?Ayy d?????? 00?dyyA????? 00?? 寫成矢量表達式： )s i n ()( d ??? ?? ?? ? tety t運動的振幅（矢量的模）和初相位分別為： 20020 ???????? ???d???? yyy ??????????? ????000yyy?dar c t an（ 320） ?????? ???????? ??? tytyyetydddt c oss i n)(000?? 低 阻尼體系 動力 反應 ： y0?RIt?y0.x ( t )????etq??2? DT =D? t)s i n ()( d ??? ?? ?? ? tety t? 物理意義： ? 低阻尼體系的自由振動具有 不變的圓頻率 ?d ，并圍繞中心位置振蕩，而其振幅則 隨時間 呈指數(shù) e??t 衰減 。如果反應的時間足夠長，最終會衰減到零。 確定體系阻尼比的一種方法 )s i n ()( d ????? ??? tety t? 體系的阻尼比可以通過測試體系運動的衰減規(guī)律得到： ? 阻尼體系動力反應： ? 體系從任一時刻經(jīng)幾個周期后的振幅比為： ? ?dπ????????????????nTnnTtttt eeeeyykknkk2? 取對數(shù)后： dπl(wèi)n ???nyynkktt 2??nkkttyyn??? lnπ2 1d???ty ( t )????ettk t +nTk0kte ???d/??? 2T)( nTtke ????（ 321） nkkttyyn??? lnπ2 1? 阻尼比： ? 體系阻尼的測試： 2）計算阻尼比： ? 確定結(jié)構(gòu)體系阻尼的其它方法。 nkkttyy?nkkttyyn??? lnπ2 1kmmc ????? 22ty ( t )????et?2? DT=ytk+ nyt ktk t +nTk0?? ???e ( t + n T )k?? ???e t k1）實測體系經(jīng)過個周期后的位移幅值比： 3）計算阻尼系數(shù)： 計算圖示剛架的阻尼系數(shù) 已知： 26 mN ???EI? 柱子無重 , h=3m, ? 剛性橫梁 m=5000kg ? 初位移 25mm ? 經(jīng) 5個周期后測得位移 [解 ] 確定 : ytk=yt0=25mm, yt5=, 計算阻尼比 : 5lnπ2 1ttyynk?? 25ln52 1 ????計算阻尼系數(shù)： kmmc ????? 22k g/ s 36???????m?1EIEI EI 2 5 m mh3122hEIk ??? 鋼筋混凝土和砌體結(jié)構(gòu)： ?=~。 ? 鋼結(jié)構(gòu)： ?=~。 ? 拱壩： ?=~。 ? 重力壩： ?=~。 ? 土壩、堆石壩： ?=~ 常用結(jié)構(gòu)的阻尼比 表 30 阻尼比的建議值 EUROCODE 1（ EN19912） (%)ξ橋 梁 類 型 橋 梁 跨 度（ m） L20 L≥20 鋼梁或結(jié)合梁 +(20L) 預應力混凝土梁 +(20L) 鋼筋混土梁 +(20L) 單自由度體系受迫振動 ? 單自由度受迫振動體系的運動方程： )( tFkyycym P??? ???? 二階常系數(shù)非齊次微分方程。全解由 通解 和 特解 組成： )()()( tytyty 21 ?? ? 通解 y1(t)由體系的自由振動反應確定： ? 受迫振動： 結(jié)構(gòu)在動力荷載即外干擾力作用下產(chǎn)生的振動 。 )c o ss i n()( tBtAety ddt ???? ???1 ? 注意： 對于受迫振動體系，通解中的常數(shù)的 A、 B 應由微分方程的 全解（通解 +特解） 而不能僅由通解確定！ ? 荷載 FP(t)不同，微分方程的特解 y2(t)的形式是不同的。 )( tFt簡諧荷載作用下的動力響應分析 ? 簡諧荷載： FP(t)=F0sin?t。 ? 簡諧荷載作用下結(jié)構(gòu)體系的運動方程： tFkyycym ???? s i n0???F0為荷載的幅值， ?為荷載的圓頻率。 0F??2（一）簡諧荷載下無阻尼體系的反應 ? 簡諧荷載作用下 的 無阻尼體系運動方程 ： ? 通解 —— 齊次方程的解： tBtAty ???? c o ss i n)(1? 特解 —— 由動力荷載引起的特殊解。設： tGty ?? s in)(2? 代入 (1)式得： tFkyym ??? s i n0??tFtkGtGm ??????? s i ns i ns i n 02202011??????kmkFmkFG 202201111???????kFkFtFtGkm ?????? s i ns i n)( 022011??? kFG? 所以特解的振幅： ? ? ：頻率比 ，表示荷載頻率與體系自振頻率的比： ????? 特解： ? 全解： tkF ???? s i n20 1 1)()()( tytyty 21 ??? 常數(shù) A、 B 由初始條件確定。假設： 000 ?? )()( yy ?2011?????? kFA0?B? 解得： tBtA ???? c o ss intkFtBtAty ??????????? c oss i nc os)( 20 1?tGty ?? s in)(22011?????kFtkF ???? s i n20 1 1? 簡諧荷載作用下無阻尼體系的動力反應為： )s i n( s i n)( ttkFty ??????? 20 1 1? F0/k = ?st: 將荷載 F0 靜止地放在體系上所產(chǎn)生的位移 ； :動力放大系數(shù) ，表示簡諧荷載的 動力放大效應 ； 211??? Sin?t：按荷載作用頻率振動的反應分量： 穩(wěn)態(tài)反應 ； ? ?Sin?t：按體系自振頻率振動的反應分量： 瞬態(tài)反應 。 ? 體系的動力反應由兩部分組成： )s i n( s i n)( ttkFty ??????? 20 1 1物理意義 )( tyt)( tyt2??)( tyt2??)s i n(si n)( ttkFty ???????2011s i n tkF???2011s i n tkF?????201kF??2011kF ???201? Sin?t：按荷載作用頻率振動的反應分量