【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 n p ? ? ??? ? ? ?較大的樣本容量 較小的樣本容量 x ?49 （三）優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)之三：有效性 有效性 ： 如果一個(gè)樣本估計(jì)量的方差比其他估計(jì)量的方差小 ， 則稱該樣本估計(jì)量是被估計(jì)的總體參數(shù)的有效估計(jì)量 。 1212? ?( ) ( )? ?DD?????如 果 ，則 稱 是 比 更 為 有 效 的 估 計(jì) 量 。中位數(shù)估計(jì)量 樣本均值估計(jì)量 ?50 二、點(diǎn)估計(jì) (Point estimation) 點(diǎn)估計(jì) ：又稱定值估計(jì)，它是用實(shí)際樣本統(tǒng)計(jì)量數(shù)值代替總體參數(shù)值的一種統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法。 點(diǎn)估計(jì)的 優(yōu)點(diǎn)是？ 點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)：能夠提供總體參數(shù)的具體估計(jì)值。 點(diǎn)估計(jì)的缺點(diǎn)：并不能提供誤差大小的信息。 51 二、點(diǎn)估計(jì) (舉例 ) 【 例 810】 由于許多戰(zhàn)略上的理由 ， 盟軍非常想知道二戰(zhàn)期間德軍總共制造了多少輛坦克 。德國(guó)人在制造坦克時(shí)是墨守陳規(guī)的 ， 他們把坦克從 1開(kāi)始進(jìn)行了連續(xù)編號(hào) 。 在戰(zhàn)爭(zhēng)進(jìn)行過(guò)程中 ，盟軍繳獲了一些敵軍坦克 ， 并記錄了它們的編號(hào) 。 那么怎樣用這些號(hào)碼來(lái)估計(jì)坦克總數(shù)呢 ？ 我們知道 ， 制造出來(lái)的坦克數(shù)肯定大于記錄中的最大編號(hào) 。 因此 ， 其中點(diǎn)估計(jì)的方法之一就是 ， 計(jì)算出被繳獲坦克編號(hào)的平均值 ， 并認(rèn)為這個(gè)值是德軍全部坦克編號(hào)的中點(diǎn)， 用樣本均值乘以 2就是總數(shù)的一個(gè)估計(jì) 。 〖 注 〗 從戰(zhàn)后發(fā)現(xiàn)的德軍記錄來(lái)看 ， 盟軍估計(jì)值非常接近所生產(chǎn)坦克的真實(shí)記錄 。 統(tǒng)計(jì)學(xué)家做得比間諜們更漂亮 ！ 52 三、區(qū)間估計(jì) (interval estimate) 1. 在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上 ， 給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍 ， 該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差而得到 2. 根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量 – 比如 ， 某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在 75～ 85之間 ， 置信水平是 95% 樣本統(tǒng)計(jì)量 (點(diǎn)估計(jì) ) 置信區(qū)間 置信下限 置信上限 53 區(qū)間估計(jì)的圖示 ? x 95% 的樣本 ? ?x ? +?x 99% 的樣本 ? ?x ? +?x 90%的樣本 ? ?x ? +?x x?xzx ?? ? 2??54 1. 將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次 ， 置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 2. 表示為 (1 ?? ? ? 是總體參數(shù)不在置信區(qū)間的概率 3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% ? 相應(yīng)的 ? 為 ， ， 置信水平 (confidence level) 55 1. 由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間 2. 統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 3. 用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值 – 我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè) – 總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯(cuò)誤的 置信區(qū)間 (confidence interval) 56 置信區(qū)間 (95%的置信區(qū)間 ) 重復(fù)構(gòu)造出 ?的 20個(gè) 置信區(qū)間 ? 點(diǎn)估計(jì)值 57 置信區(qū)間與置信水平 均值的抽樣分布 (1 ?) 區(qū)間包含了 ? ? 的區(qū)間未包含 ? ?? ?x1 – ? ? /2 ? /2 x?x58 總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、方差已知，或非正態(tài)總體、大樣本 ) 59 總體均值的區(qū)間估計(jì) (大樣本 ) ? 1. 假定條件 – 總體服從正態(tài)分布 ,且方差 (?２ ) 已 知 – 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似 (n ? 30) 2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z 3. 總體均值 ? 在 1? 置信水平下的 置信區(qū)間為 )1,0(~ Nnxz ? ???)(22 未知或 ?? ??nszxnzx ??60 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 【 例 】 一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主 ， 為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè) ， 企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢 ， 以分析每袋重量是否符合要求 。 現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了 25袋 ， 測(cè)得每袋重量 （ 單位： g） 如下表所示 。 已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布 ， 且總體標(biāo)準(zhǔn)差為 10g。 試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間 ， 置信水平為 95% 25袋食品的重量 61 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 解 ： 已知 Ｘ ~N(?， 102)， n=25, 1? = 95%， z?/2=。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： 。 由于是正態(tài)總體 ，且方差已知 。 總體均值 ?在 1?置信水平下的置信區(qū)間為 ? ? 9, 1 52510 52???????nzx??該食品平均重量的置信區(qū)間為 ~ ?x統(tǒng)計(jì)函數(shù) —CONFIDENCE 62 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 【 例 】 一家保險(xiǎn)公司收集到由 36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本 ， 得到每個(gè)投保人的年齡 (單位：周歲 )數(shù)據(jù)如下表 。 試建立投保人年齡 90%的置信區(qū)間 36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù) 23 35 39 27 36 44 36 42 46 43 31 33 42 53 45 54 47 24 34 28 39 36 44 40 39 49 38 34 48 50 34 39 45 48 45 32 63 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 解 ： 已知 n=36, 1? = 90%， z?/2=。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值 ?在 1? 置信水平下的置信區(qū)間為 ? ?,362???????nszx?投保人平均年齡的置信區(qū)間為 ~ ?x ?s統(tǒng)計(jì)函數(shù) —CONFIDENCE 64 總體均值區(qū)間估計(jì) (σ已知 ) 【 例 812】 某車間生產(chǎn)滾珠，從長(zhǎng)期實(shí)踐中得知，滾珠直徑 X服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取 6個(gè)測(cè)得直徑分別為：， ， ， ，(單位： mm)。若已知總體方差為，求平均直徑的置信區(qū)間。 (取?=) 解： x ) mm ( 95 . 14 6 1 . 15 1 . 15 6 . 14 n x n 1 i i ? ? ? ? ? ? ? ? … 當(dāng) ?=，查正態(tài)分布表得： z = 樣本均值的抽樣平均誤差為 : x 1 . 0 6 06 . 0 n ? ? ? ? ? x ? z x 177。 = 177。 即 平均直徑的 95%的置信區(qū)間為 (， ) 所以平均直徑 的置信區(qū)間為： 65 總體均值的區(qū)間估計(jì) (小樣本 ) ? 1. 假定條件 – 總體服從正態(tài)分布 ,但方差 (?２ ) 未知 – 小樣本 (n 30) 2. 使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量 3. 總體均值 ? 在 1?置信水平下的 置信區(qū)間為 )1(~ ??? ntnsxt ?nstx2??66 t 分布 ? t 分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布 ， 它通常要比正態(tài)分布平坦和分散 。 一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù) 。 隨著自由度的增大 ， 分布也逐漸趨于正態(tài)分布 x t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較 t 分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 t 不同自由度的 t分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 t (df = 13) t (df = 5) z 67 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 【 例 】 已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布 ， 現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取 16只 ， 測(cè)得其使用壽命 (單位： h)如下 。 建立該批燈泡平均使用壽命 95%的置信區(qū)間 16只 燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 1510 1520 1480 1500 1450 1480 1510 1520 1480 1490 1530 1510 1460 1460 1470 1470 68 總體均值的區(qū)間估計(jì) (例題分析 ) 解 ： 已知 Ｘ ~N(?， ?2)， n=16, 1? = 95%， t?/2= 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值 ?在 1?置信水平下的置信區(qū)間為 ? ? 50 3, 47 6 49 0161 49 02???????nstx?該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為 ～ 1490?x ?s69 總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì) 總體成數(shù)是指總體中具有某種特征的單位數(shù)量占總體全部單位數(shù)的比重，也稱為總體比例。 70 總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì) ? 可以證明，在大樣本的情況下，若 nP和 n(1P