【正文】 48 (二 )優(yōu)良標準之二：一致性 一致性 ：即當樣本容量 n充分大的時，若樣本統(tǒng)計量充分地靠近被估計的總體參數(shù)，則該樣本統(tǒng)計量是被估計的總體參數(shù)的一致估計量。 1212? ?( ) ( )? ?DD?????如 果 ，則 稱 是 比 更 為 有 效 的 估 計 量 。 點估計的 優(yōu)點是？ 點估計的優(yōu)點：能夠提供總體參數(shù)的具體估計值。 51 二、點估計 (舉例 ) 【 例 810】 由于許多戰(zhàn)略上的理由 ， 盟軍非常想知道二戰(zhàn)期間德軍總共制造了多少輛坦克 。 在戰(zhàn)爭進行過程中 ，盟軍繳獲了一些敵軍坦克 ， 并記錄了它們的編號 。 因此 ， 其中點估計的方法之一就是 ， 計算出被繳獲坦克編號的平均值 ， 并認為這個值是德軍全部坦克編號的中點， 用樣本均值乘以 2就是總數(shù)的一個估計 。 統(tǒng)計學(xué)家做得比間諜們更漂亮 ！ 52 三、區(qū)間估計 (interval estimate) 1. 在點估計的基礎(chǔ)上 ， 給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍 ， 該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差而得到 2. 根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量 – 比如 ， 某班級平均分數(shù)在 75～ 85之間 ， 置信水平是 95% 樣本統(tǒng)計量 (點估計 ) 置信區(qū)間 置信下限 置信上限 53 區(qū)間估計的圖示 ? x 95% 的樣本 ? ?x ? +?x 99% 的樣本 ? ?x ? +?x 90%的樣本 ? ?x ? +?x x?xzx ?? ? 2??54 1. 將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次 ， 置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 2. 表示為 (1 ?? ? ? 是總體參數(shù)不在置信區(qū)間的概率 3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% ? 相應(yīng)的 ? 為 ， ， 置信水平 (confidence level) 55 1. 由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間 2. 統(tǒng)計學(xué)家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 3. 用一個具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值 – 我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個 – 總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯誤的 置信區(qū)間 (confidence interval) 56 置信區(qū)間 (95%的置信區(qū)間 ) 重復(fù)構(gòu)造出 ?的 20個 置信區(qū)間 ? 點估計值 57 置信區(qū)間與置信水平 均值的抽樣分布 (1 ?) 區(qū)間包含了 ? ? 的區(qū)間未包含 ? ?? ?x1 – ? ? /2 ? /2 x?x58 總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、方差已知，或非正態(tài)總體、大樣本 ) 59 總體均值的區(qū)間估計 (大樣本 ) ? 1. 假定條件 – 總體服從正態(tài)分布 ,且方差 (?２ ) 已 知 – 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n ? 30) 2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z 3. 總體均值 ? 在 1? 置信水平下的 置信區(qū)間為 )1,0(~ Nnxz ? ???)(22 未知或 ?? ??nszxnzx ??60 總體均值的區(qū)間估計 (例題分析 ) 【 例 】 一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主 ， 為對產(chǎn)量質(zhì)量進行監(jiān)測 ， 企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢 ， 以分析每袋重量是否符合要求 。 已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布 ， 且總體標準差為 10g。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： 。 總體均值 ?在 1?置信水平下的置信區(qū)間為 ? ? 9, 1 52510 52???????nzx??該食品平均重量的置信區(qū)間為 ~ ?x統(tǒng)計函數(shù) —CONFIDENCE 62 總體均值的區(qū)間估計 (例題分析 ) 【 例 】 一家保險公司收集到由 36投保個人組成的隨機樣本 ， 得到每個投保人的年齡 (單位：周歲 )數(shù)據(jù)如下表 。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值 ?在 1? 置信水平下的置信區(qū)間為 ? ?,362???????nszx?投保人平均年齡的置信區(qū)間為 ~ ?x ?s統(tǒng)計函數(shù) —CONFIDENCE 64 總體均值區(qū)間估計 (σ已知 ) 【 例 812】 某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實踐中得知，滾珠直徑 X服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機抽取 6個測得直徑分別為：， ， ， ，(單位： mm)。 (取?=) 解： x ) mm ( 95 . 14 6 1 . 15 1 . 15 6 . 14 n x n 1 i i ? ? ? ? ? ? ? ? … 當 ?=，查正態(tài)分布表得： z = 樣本均值的抽樣平均誤差為 : x 1 . 0 6 06 . 0 n ? ? ? ? ? x ? z x 177。 即 平均直徑的 95%的置信區(qū)間為 (， ) 所以平均直徑 的置信區(qū)間為： 65 總體均值的區(qū)間估計 (小樣本 ) ? 1. 假定條件 – 總體服從正態(tài)分布 ,但方差 (?２ ) 未知 – 小樣本 (n 30) 2. 使用 t 分布統(tǒng)計量 3. 總體均值 ? 在 1?置信水平下的 置信區(qū)間為 )1(~ ??? ntnsxt ?nstx2??66 t 分布 ? t 分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布 ， 它通常要比正態(tài)分布平坦和分散 。 隨著自由度的增大 ， 分布也逐漸趨于正態(tài)分布 x t 分布與標準正態(tài)分布的比較 t 分布 標準正態(tài)分布 t 不同自由度的 t分布 標準正態(tài)分布 t (df = 13) t (df = 5) z 67 總體均值的區(qū)間估計 (例題分析 ) 【 例 】 已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布 ， 現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取 16只 ， 測得其使用壽命 (單位： h)如下 。 70 總體成數(shù)的區(qū)間估計 ? 可以證明，在大樣本的情況下，若 nP和 n(1P)兩者都大于 5時，樣本成數(shù) P近似服從期望值為 P ，方差為 的正態(tài)分布。 ) 1 , 0 ( N ~ P P Z ? P ? ? ? 總體成數(shù) P是未知的，用樣本成數(shù) p來代替，所以 P的置信度為 1?的置信區(qū)間為： , ) Z P p 2 ? ? ? Z P ( p 2 ? ? ? 71 總體成數(shù)的區(qū)間估計 (舉例 ) 【 例 815】 一所大學(xué)的保健醫(yī)生想了解戴眼鏡學(xué)生的比重 ， 隨機地抽取 100名學(xué)生 ， 其中戴眼鏡者有 31名 。 解： P 31% 100 31 n ? ? ? n 1 ?當 ?=，查正態(tài)分布表得： 2 Z ? = ?計算樣本成數(shù)的抽樣平均誤差： ?計算總體成數(shù) P的置信區(qū)間： p ? 2 Z ? P177。 即 P的 90%的置信區(qū)間為 (%， %) ?計算樣本成數(shù)： p n P(1P) ? ? ? ? 100 () 72 總體比例的置信區(qū)間 （實例） 解： 已知 n=200 ， ＝ , n =1405, n(1 )=605， ?= ， Ｚ ?/2= p ? p ? p ? ? ?7 ,6 2 00)()?1(??2?????nppZp?我們可以 95％ 的概率保證該企業(yè)職工由于同管理人員不能融洽相處而離開的比例在 %~%之間 【 例 】 某企業(yè)在一項關(guān)于職工流動原因的研究中 ， 從該企業(yè)前職工的總體中隨機選取了 200人組成一個樣本 。 試對由于這種原因而離開該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造95%的置信區(qū)間 。 ? ? ? 因為 n z z x ? ? 2 x 2 2 z n ? ? ? ? 因為 所以有： 2 2 2 x 2 2 z N z n ? ? N 75 ? 成數(shù)估計的抽樣單位數(shù)目計算 ? 在重復(fù)抽樣的條件下 ?在不重復(fù)抽樣的條件下 因為 n ) P 1 ( P z p ? ? ? 所以有： 2 p 2 ) P 1 ( P z n ? ? ? ? ? N 抽樣單位數(shù)目的計算 76 例 816：某市開展職工家計調(diào)查，根據(jù)歷史資料該市職工家庭平均每人年收入的標準差為 2400元，家庭消費總支出中食品消費支出比重（恩格爾系數(shù)）為 54%。 解：根據(jù)公式，在重復(fù)抽樣條件下： 樣本成數(shù)的樣本必要數(shù)目： 2 2 2 2222 * 2 4 0 0 576