【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (x)＞ 1. （ 1）求證： f(x)是 R （ 2）若 f(4)=5,解不等式 f(3m2m2)＜ 3. 解 ： （ 1）設(shè) x1,x2∈ R，且 x1＜ x2, 則 x2x1＞ 0,∴ f(x2x1)＞ 1. f(x2)f(x1)=f((x2x1)+x1)f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1＞ 0. ∴ f（ x2）＞ f(x1). 即 f(x)是 R上的增函數(shù) . （ 2）∵ f（ 4） =f（ 2+2） =f（ 2） +f（ 2） 1=5 ∴ f（ 2） =3， ∴原不等式可化為 f(3m2m2)＜ f(2), ∵ f(x)是 R上的增函數(shù)，∴ 3m2m2＜ 2, 解得 1＜ m＜34,故解集為（ 1,34） . 歸納總結(jié) 1．證明一個(gè)函數(shù)在區(qū)間 D 上是增 (減 )函數(shù)的方法有 ： (1) 定義法 .其過程是：作差 —— 變形—— 判斷符號(hào)，而最常用的變形是將和、差形式的結(jié)構(gòu)變?yōu)榉e的形式的結(jié)構(gòu)； (2) 求導(dǎo)法 .其過程是：求導(dǎo) —— 判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào) —— 下結(jié)論 . 2．確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法有： (1)觀察法； (2)圖象法（即通過畫出函數(shù)圖象，觀察圖象，確定單調(diào)區(qū)間）； (3)定義法； (4)求導(dǎo)法 .注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間一定要在定義域內(nèi) . 3．含有參量的函數(shù)的單調(diào)性問題，可分為兩類：一類是由參數(shù)的范圍判定其單調(diào)性；一類是給定單調(diào)性求參數(shù)范圍，其解法是由定義或?qū)?shù)法得到恒成立的不等式，結(jié)合定義域求出參數(shù)的取值 范圍 . 第 4 課時(shí) 函數(shù)的奇偶性 基礎(chǔ)過關(guān)題 1．奇偶性： ① 定義：如果對(duì)于函數(shù) f (x)定義域內(nèi)的任意 x 都有 ，則稱 f (x)為奇函數(shù)；若 ，則稱 f (x)為偶函數(shù) . 如果函數(shù) f (x)不具有上述性質(zhì)，則 f (x)不具有 . 如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則 f (x) . ② 簡(jiǎn)單性質(zhì)： 1） 圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于 對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的 充要條件是它的圖象關(guān)于 對(duì)稱 . 2） 函數(shù) f(x)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于 對(duì)稱 . 2． 與函數(shù)周期有關(guān)的結(jié)論： ①已知條件中如果出現(xiàn) )()( xfaxf ??? 、或 mxfaxf ?? )()( （ a 、 m 均為非零常數(shù)， 0?a ），都可以得出 )(xf 的周期為 ； ② )(xfy? 的圖象關(guān)于點(diǎn) )0,(),0,( ba 中心對(duì)稱或 )(xfy? 的圖象關(guān)于直線bxax ?? , 軸對(duì)稱，均可以得到 )(xf 周期 典型例題 例 1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性 . （ 1） f(x)= 22 11 xx ??? 。 (2)f(x)=log2(x+ 12?x ) (x∈ R)。 (3)f(x)=lg|x2|. 解 ： （ 1）∵ x21≥ 0 且 1x2≥ 0,∴ x=177。 1,即 f(x)的定義域是 {1， 1}. ∵ f（ 1） =0， f(1)=0,∴ f(1)=f(1),f(1)=f(1), 故 f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) . （ 2）方法一 易知 f(x)的定義域?yàn)?R， 又∵ f(x)=log2［ x+ 1)( 2??x ］ =log2112?? xx=log2(x+ 12?x )=f(x), ∴ f(x)是奇函數(shù) . 方法二 易知 f(x)的定義域?yàn)?R， 又∵ f（ x） +f（ x） =log2［ x+ 1)( 2??x ］ +log2(x+ 12?x )=log21=0,即 f(x)=f(x), ∴ f(x)為奇函數(shù) . （ 3）由 |x2|＞ 0，得 x≠ 2. ∴ f（ x）的定義域 {x|x≠ 2}關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故 f(x)為非奇非偶函數(shù) . 變式訓(xùn)練 1： （ 1） f（ x） =（ x2）xx??22 （ 2） f（ x） =2|2| )1lg(2 2???x x （ 3） f（ x） =???????? ????.1(2 ),1|(|0),1(2）xx xxx 解 ： （ 1）由xx??22≥ 0，得定義域?yàn)椋?2， 2），關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故 f（ x）為非奇非偶函數(shù) . （ 2）由??? ??? ?? .02|2| 01 22x x ， 得定義域?yàn)椋?1， 0）∪（ 0， 1） . 這時(shí) f（ x） =2222 )1lg(2)2( )1lg( x xx x ?????? ?. ∵ f（ x） = ? ? ),()1lg ()( )(1lg 2 22 2 xfx xx x ????? ??∴ f（ x）為偶函數(shù) . （ 3） x＜ 1時(shí)， f（ x） =x+2， x＞ 1,∴ f（ x） =（ x） +2=x+2=f（ x） . x＞ 1時(shí)， f（ x） =x+2， x＜ 1， f(x)=x+2=f(x). 1≤ x≤ 1時(shí)， f（ x） =0， 1≤ x≤ 1,f（ x） =0=f（ x） . ∴對(duì)定義域內(nèi)的每個(gè) x 都有 f（ x） =f（ x） .因此 f（ x）是偶函數(shù) . 例 2 已知函數(shù) f(x),當(dāng) x,y∈ R時(shí)，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). （ 1）求證： f(x) （ 2）如果 x∈ R+， f（ x）＜ 0,并且 f(1)=21,試求 f(x)在區(qū)間［ 2， 6］上的最值 . （ 1） 證明： ∵函數(shù)定義域?yàn)?R，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 . ∵ f（ x+y） =f（ x） +f（ y），令 y=x,∴ f(0)=f(x)+f(x).令 x=y=0, ∴ f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0.∴ f（ x） +f（ x） =0，得 f(x)=f(x), ∴ f(x)為奇函數(shù) . （ 2） 解 ： 方法一 設(shè) x,y∈ R+，∵ f（ x+y） =f（ x） +f（ y ∴ f（ x+y） f（ x） =f（ y） . x∈ R+， f（ x）＜ 0, ∴ f(x+y)f(x)＜ 0, ∴ f(x+y)＜ f(x). ∵ x+y＞ x, f(x)在（ 0， +∞）上是減函數(shù) .又∵ f（ x）為奇函數(shù)， f（ 0） =0 ∴ f（ x）在（ ∞ ,+∞）上是減函數(shù) .∴ f（ 2）為最大值， f(6)為最小值 . ∵ f(1)=21,∴ f(2)=f(2)=2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［ f（ 1） +f（ 2）］ =3. ∴所求 f(x)在區(qū)間［ 2， 6］上的最大值為 1，最小值為 3. 方法二 設(shè) x1＜ x2,且 x1,x2∈ R. 則 f(x2x1)=f［ x2+(x1)］ =f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1). ∵ x2x1＞ 0,∴ f(x2x1)＜ 0.∴ f(x2)f(x1)＜ f(x)在 R上單調(diào)遞減 . ∴ f（ 2）為最大值， f（ 6）為最小值 .∵ f（ 1） =21 ∴ f（ 2） =f（ 2） =2f（ 1） =1， f（ 6） =2f（ 3） =2［ f（ 1） +f（ 2）］ =3. ∴所求 f(x）在區(qū) 間［ 2， 6］上的最大值為 1，最小值為 3. 變式訓(xùn)練 2： 已知 f(x)是 R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x∈ (∞ ,0)時(shí)， f(x)=xlg(2x),求 f(x)的解析式 . 解 ： ∵ f（ x）是奇函數(shù)，可得 f(0)=f(0),∴ f(0)=0. 當(dāng) x＞ 0時(shí)， x＜ 0,由已知 f(x)=xlg(2+x),∴ f（ x） =xlg（ 2+x）， 即 f（ x） =xlg(2+x) （ x＞ 0） .∴ f(x)=??? ??? ??? ).0()2lg( ),0()2lg( xxx xxx 即 f(x)=xlg(2+|x|) (x∈ R). 例 3 已知函數(shù) f(x)的 定義域?yàn)?R，且滿足 f(x+2)=f(x) . （ 1）求證： f(x) （ 2）若 f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng) 0≤ x≤ 1時(shí)， f(x)=21x,求使 f(x)=21在［ 0， 2 009］上的所有 x的個(gè)數(shù) . （ 1） 證明 ： ∵ f（ x+2） =f（ x ∴ f（ x+4） =f（ x+2） =［ f（ x）］ =f（ x）， ∴ f（ x）是以 4為周期的周期函數(shù) . （ 2） 解 ： 當(dāng) 0≤ x≤ 1時(shí)， f(x)=21x, 設(shè) 1≤ x≤ 0,則 0≤ x≤ 1,∴ f（ x） =21（ x） =21x. ∵ f(x)是奇函數(shù)，∴ f（ x） =f（ x） , ∴ f（ x） =21x，即 f(x)= 21x. 故 f(x)= 21x(1≤ x≤ 1) 又設(shè) 1＜ x＜ 3,則 1＜ x2＜ 1, ∴ f(x2)=21(x2), 又∵ f（ x2） =f（ 2x） =f（（ x） +2） =［ f（ x）］ =f（ x ∴ f（ x） =21（ x2 ∴ f（ x） =21（ x2）（ 1＜ x＜ 3） . ∴ f（ x） =??????????????)31()2(21)11(21xxxx 由 f(x)=21,解得 x=1. ∵ f（ x）是以 4為周期的周期函數(shù) . f(x)=21的所有 x=4n1 (n∈ Z). 令 0≤ 4n1≤ 2 009,則41≤ n≤20221, 又∵ n∈ Z，∴ 1≤ n≤ 502 （ n∈ Z） , ∴在［ 0， 2 009］上共有 502個(gè) x使 f(x)=21. 變式訓(xùn)練 3： 已知函數(shù) f(x)=x2+|xa|+1,a∈ R. （ 1）試判斷 f(x)的奇偶性； （ 2）若 21≤ a≤21，求 f(x)的最小值 . 解 ： (1)當(dāng) a=0時(shí)，函數(shù) f(x)=(x)2+|x|+1=f(x), 此時(shí) ,f(x)為偶函數(shù) .當(dāng) a≠ 0時(shí)， f(a)=a2+1,f(a)=a2+2|a|+1, f(a)≠ f(a),f(a)≠ f(a),此時(shí)， f(x) 為非奇非偶函數(shù) . （ 2）當(dāng) x≤ a時(shí) ,f(x)=x2x+a+1=(x21)2+a+43 , ∵ a≤21,故函數(shù) f(x)在（ ∞， a］上單調(diào)遞減， 從而函數(shù) f(x)在（ ∞， a］上的最小值為 f(a)=a2+1. 當(dāng) x≥ a時(shí)，函數(shù) f(x)=x2+xa+1=(x+21)2a+43, ∵ a≥ 21，故函數(shù) f(x)在［ a， +∞）上單調(diào)遞增，從而函數(shù) f(x)在［ a， +∞ )上的 最小值為 f(a)=a2+1. 綜上得，當(dāng) 21≤ a≤21時(shí)，函數(shù) f(x)的最小值為 a2+1. 歸納總結(jié) 1． 奇偶性是某些函數(shù)具有的一種重要性質(zhì)，對(duì)一個(gè)函數(shù)首先應(yīng)判斷它是否具有這種性質(zhì) . 判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)首先檢驗(yàn)函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后根據(jù)奇偶性的定義判斷（或證明）函數(shù)是否具有奇偶性 . 如果要證明一個(gè)函數(shù)不具有奇偶性，可以在定義域內(nèi)找到一對(duì)非零實(shí)數(shù) a與－ a，驗(yàn)證 f(a)177。 f(－ a)≠ 0. 2． 對(duì)于具有奇偶性的函數(shù)的性質(zhì)的研究，我們可以重點(diǎn)研究 y軸一側(cè)的性質(zhì)，再根據(jù)其對(duì)稱性得到整個(gè)定義域上的性質(zhì) . 3． 函數(shù)的周期性：第一應(yīng)從定義入手，第二應(yīng)結(jié)合圖象理解 . 第 5 課時(shí) 指數(shù)函數(shù) 基礎(chǔ)過關(guān)題 1．根式： (1) 定義：若 axn? ，則 x 稱為 a 的 n 次方根 ① 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， na的 次方根記作 __________； ② 當(dāng) n 為偶數(shù) 時(shí)，負(fù)數(shù) a 沒有 n 次方根，而正數(shù) a 有兩個(gè) n 次方根且互為相反數(shù)，記作________(a0). (2) 性質(zhì)： ① aann ?)( ； ② 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， aan n? ； ③ 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， ?n na _______＝ ??? ??? )0( )0(aaaa 2．指數(shù)： (1) 規(guī)定： ① a0＝ (a≠0)； ② ap＝ ； ③ ( 0,m n mna aa m?? . (2) 運(yùn)算性質(zhì)： ① raaaa srsr ,0( ??? ? (a0, r、 ?s Q) ② raaa srsr ,0()( ?? ? (a0, r、 ?s Q) ③ ?????? rbababa rrr