高三數(shù)學第一輪復習講義11冪函數(shù)與雙曲線函數(shù)(編輯修改稿)
2025-05-14 13:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 知:情形一: 。情形二: 且, 無解。情形三: 。綜上所述, a的取值范圍是或者.(2).解: 由為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增,故,兩邊平方得,解得.【例8】設函數(shù)的定義域為區(qū)間, 其中常數(shù)a為實數(shù).(1) 當時, 求函數(shù)的最小值。(2) 若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù), 求實數(shù)a的取值范圍。(3) 當時, 求函數(shù)的最小值.(1)解: 當時, ,由基本不等式: , 等號成立,當時, .(2)解: 當時, 由及均為上的增函數(shù)可知, 在單調(diào)遞增, 不合題意。當時, 在單調(diào)遞增, 不合題意。當時, ,由基本不等式可知在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增,故有.(3)解: 當時, 由(2)可知, 當時, 。當時, .【例9】設函數(shù)，研究函數(shù)的基本性質(zhì)。解：，則函數(shù)的圖像可以由冪函數(shù)的圖像變化得到：先將的圖像向左平移2個單位，得到，再向上平移1個單位，即得到的圖像。函數(shù)的定義域為；值域為，不存在最大值與最小值；函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，是非奇非偶函數(shù)；在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)。 【例10】設函數(shù), 函數(shù), 其中a為常數(shù), 且. 令 為函數(shù)和的積函數(shù).(1) 求函數(shù)的表達式, 并求出其定義域。(2) 當時, 求函數(shù)的值域。(3) 是否存在自然數(shù)a, 使得函數(shù)的值域恰為? 若存在, 試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構(gòu)成的集合。 若不存在, 說明理由.(1)解: .(2)解: 令, 則, 且,代入得,當時, ,由基本不等式, , 等號成立,由此在上單調(diào)遞減, 其值域為,因此函數(shù)的值域為.(3)解: 即的值域為的值域為,由, 等號成立, 可知。最大值應在區(qū)間端點處取得,當時, 。 當時, ,由函數(shù)在上單調(diào)遞增, 可知,解不等式組得,結(jié)合, 得其組成集合為.四、難題突破：例1：已知函數(shù)是定義域在上的非常值函數(shù)，且對于任意的實數(shù)滿足：。（1）求的值；（2）求證：對于任意的，；（3）若當時，求證：函數(shù)在上是增函數(shù)。解：（1）在中令得：，所以或。若，對于，所以，與是非常值函數(shù)矛盾。所以。在中令得：，所以或，若，則對于任意的，恒成立，與是非常值函數(shù)矛盾，所以。
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