【正文】 用 法或 法；③ y＝ a[f (x)]2＋ bf (x)＋ c，可采用 法；④ y＝ x－ x?1 ，可采用 法；⑤ y＝ x－ 21 x? ，可采用 法；⑥ y＝xxcos2sin?可采用 法等 . 典型例題 例 1. 求下列函數(shù)的定義域： （ 1） y=xxx ??|| )1( 0 (2)y=23 2 531 xx ???。1 ?? xx 解 ： （ 1）由題意得 ,0|| 01??? ???? xxx化簡得 ,|| 1??? ???xxx 即 .01??????xx故函數(shù)的定義域為 {x|x＜ 0且 x≠ （ 2）由題意可得 ,05 0322??? ?? ??xx解得 .55 3???????? ?? xx 故函數(shù)的定義域為 {x| 5 ≤x≤ 5 且 x≠177。 (2)y=)34lg( 2?xx+(5x4)0。 解 ： （ 1） 由????????????01,012022xxxx 得?????? ????1 ,432x xx 所以 3＜ x＜ 2且 x≠1. 故所求函數(shù)的定義域為（ 3， 1） （ 2）由??????? ????045 ,134034xxx 得??????????????54,2143xxx函數(shù)的定義域為 ).,54()54,21(21,43 ????????? ?? ?? （ 3）由??? ??? 0cos 0252xx ,得 ,)(222255????? ????? ??? Zkkxk x ???? 借助于數(shù)軸，解這個不等式組，得函數(shù)的定義域為 .5,23)2,2(23,5 ????????????? ?? ???? ?? 例 2. 設函數(shù) y=f(x)的定義域為［ 0， 1］，求下列函數(shù)的定義域 （ 1） y=f(3x)。 (3)y=f( )31()31 ??? xfx。f(x a)（ 0＜ a＜21）的定義域是 （ ） A.? ［ a， 1a］ ［ a， 1+a］ ［ 0， 1］ 解 ： 例 3. 求下列函數(shù)的值域： （ 1） y= 。 ,41)21(1 22242 ???????? xxxx ∴0≤y≤ ,21即函數(shù)的值域為?????? 21,0. 例 4． 若函數(shù) f（ x） =21x2x+a的定義域和值域均為［ 1， b］（ b＞ 1），求 a、 b的值 解 ： ∵f （ x） =21(x1)2+a21. ∴ 其對稱軸為 x=1，即［ 1， b］為 f（ x）的單調遞增區(qū)間 . ∴f （ x） min=f（ 1） =a21=1 ① f（ x） max=f（ b） =21b2b+a=b ② 由 ①② 解得???????.3,23ba 變式訓練 4： 已知函數(shù) f(x)=x2 （ 1）求函數(shù)的值域為［ 0， +∞) 時的 a的值； （ 2）若函數(shù)的值均為非負值，求函數(shù) f(a)=2a|a+3|的值域 解 ： (1） ∵ 函數(shù)的值域為［ 0， ∴ Δ =16a24(2a+6)=0? 2a2a3=0∴a= 1 或 a=23. （ 2） 對一切 x∈ R， 函數(shù)值均非負 ,∴ Δ =8(2a2a3)≤0 ? 1≤a≤23,∴a+3 ＞ 0, ∴f(a)=2 a(a+3)=a23a+2=(a+23)2+417(a ???????? 23,1). ∵ 二次函數(shù) f(a)在??????? 23,1上單調遞減 ， ∴f （ a） min=f )23(=419， f（ a） max=f（ 1） =4， ∴ f(a)的值域為??????? 4,419. 總結歸納 1． 求函數(shù)的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例 1），應抓住使整個解式有意義的自變量的集合；二是未給出解析式（如例 2），就應抓住內函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域；三是實際問題，此時函數(shù)的定義域除使解析式有意義外，還應使實際問題或幾何問題有意義 . 2． 求函數(shù)的值域沒有通用方法和固定模 式，除了掌握常用方法（如直接法、單調性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法）外，應根據(jù)問題的不同特點，綜合而靈活地選擇方法 . 第 3 課時 函數(shù)的單調性 基礎過關題 一、單調性 1．定義：如果函數(shù) y＝ f (x)對于屬于定義域 I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x 、 x2，當 x x2時， ① 都有 ，則稱 f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個 ； ② 都有 ，則稱 f (x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的 一個 . 若函數(shù) f(x)在整個定義域 l內只有唯一的一個單調區(qū)間，則 f(x)稱為 . 2．判斷單調性的方法： (1) 定義法，其步驟為： ① ； ② ； ③ . (2) 導數(shù)法，若函數(shù) y＝ f (x)在定義域內的某個區(qū)間上可導， ① 若 ，則 f (x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)； ② 若 ，則 f (x)在這個區(qū)間上是減函數(shù) . 二、單調性的有關結論 1．若 f (x), g(x)均為增 (減 )函數(shù)，則 f (x)＋ g(x) 函數(shù)； 2．若 f (x)為增 (減 )函數(shù)，則－ f (x)為 ； 3．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有 的單調性； 4．復合函數(shù) y＝ f [g(x)]是定義在 M 上的函數(shù)，若 f (x)與 g(x)的單調相同，則 f [g(x)]為 ，若 f (x), g(x)的單調性相反，則 f [g(x)]為 . 5．奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性 ，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性 . 典型例題 例 1. 已知函數(shù) f(x)=ax+12??xx (a＞ 1)，證明：函數(shù) f(x)在 (1,+∞ )上為增函數(shù) . 證明 方法一 任取 x1,x2∈ (1,+∞ ), 不妨設 x1＜ x2,則 x2x1＞ 0, 12xxa? ＞ 1且 1xa ＞ 0, ∴ 0)1( 12112 ???? ? xxxxx aaaa ， 又∵ x1+1＞ 0,x2+1＞ 0, ∴)1)(1( )(3)1)(1( )1)(2()1)(2(1212 21 1221 21121122 ?? ???? ??????????? xx xxxx xxxxxxxx＞ 0, 于是 f(x2)f(x1)= 12 xx aa? +1212 1122 ????? xxxx＞ 0, 故函數(shù) f(x)在（ 1,+∞）上為增函數(shù) . 方法二 f(x)=ax+113?x(a＞ 1), 求導數(shù)得 )(xf? =axlna+2)1( 3?x,∵ a＞ 1,∴當 x＞ 1時， axlna＞ 0,2)1( 3?x＞ 0, )(xf? ＞ 0 在（ 1， +∞）上恒成立，則 f(x)在（ 1,+∞）上為增函數(shù) . 方法三 ∵ a＞ 1,∴ y=ax為增函數(shù)， 又 y=13112 ?????? xxx，在（ 1， +∞）上也是增函數(shù) . ∴ y=ax+12??xx在（ 1， +∞）上為增函數(shù) . 變式訓練 1： 討論函數(shù) f（ x） =x+xa（ a＞ 0）的單調性 . 解 ： 方法一 顯然 f（ x）為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù) f（ x）在（ 0， +∞）上的單調性， 設 x1＞ x2＞ 0, f(x1)f(x2) =（ x1+1xa ） （ x2+2xa ） =(x1x2)178。 a 當 x＞ a 或 x＜ a 時， )(xf? ＞ 0∴ f（ x）分別在（ a ， +∞）、（ ∞， a ］上是增函數(shù) . 同理 0＜ x＜ a 或 a ＜ x＜ 0時， )(xf? ＜ 0 即 f（ x）分別在（ 0， a ］、［ a ， 0）上是減函數(shù) . 例 2. 判斷函數(shù) f(x)= 12?x 在定義域上的單調性 . 解 ： 函數(shù)的定義域為 {x|x≤ 1或 x≥ 1}, 則 f(x)= 12?x , 可分解成兩個簡單函數(shù) . f(x)= )(,)( xuxu =x21 的形式 .當 x≥ 1時， u(x)為增函數(shù)， )(xu 為增函數(shù) . ∴ f（ x） = 12?x 在［ 1， +∞ )上為增函數(shù) .當 x≤ 1時， u（ x)為減函數(shù)， )(xu 為減函數(shù)， ∴ f(x)= 12?x 在（ ∞ ,1］上為減函數(shù) . 變式訓練 2： 求函數(shù) y=21log（ 4xx2）的單調區(qū)間 . 解 ： 由 4xx2＞ 0，得函數(shù)的定義域是（ 0， 4） .令 t=4xx2，則 y=21logt. ∵ t=4xx2=（ x2） 2+4，∴ t=4xx2的單調減區(qū)間是［ 2， 4），增區(qū)間是（ 0， 2］ . 又 y=21logt 在（ 0， +∞）上是減函數(shù)， ∴函數(shù) y=21log（ 4xx2）的單調減區(qū)間是（ 0， 2］，單調增區(qū)間是［ 2， 4). 例 3. （ 1） y=4 223 xx?? 。(3)y= 4)2(1 22 ???? xx . 解 ： （ 1）由 3+2xx2≥ 0得函數(shù)定義域為［ 1， 3］，又 t=3+2xx2=4(x1)2. ∴ t∈［ 0， 4］， t ∈［ 0， 2］， 從而，當 x=1時， ymin=2，當 x=1或 x=3時， ymax=［ 2， 4］ . (2)方法一 函數(shù) y=x+x4是定義域為 {x|x≠ 0}上的奇函數(shù) ,故其圖象關于原點對稱 ,故只討論 x＞ 0時 ,即可知 x＜ 0時的最值 . ∴當 x＞ 0時 ,y=x+x4≥ 2xx4?=4，等號當且僅當 x=2時取得 .當 x＜ 0時， y≤ 4, 等號當且僅當 x=2時取得 .綜上函數(shù)的值域為（ ∞， 4］∪［ 4， +∞），無最值 . 方法二 任取 x1,x2,且 x1＜ x2, 因為 f(x1)f(x2)=x1+14x (x2+24x )= ,)4)((212121 xx xxxx ?? 所以當 x≤ 2或 x≥ 2時， f(x)遞增 ,當 2＜ x＜ 0或 0＜ x＜ 2時， f(x)遞減 . 故 x=2時， f(x)最大值 =f(2)=4,x=2時， f(x)最小值 =f(2)=4, 所以所求函數(shù)的值域為（ ∞， 4］∪［ 4， +∞），無最大（?。┲?. （ 3 y= 2222 )20()2()10()0( ??????? xx , 可視為動點 M（ x,0）與定點 A（ 0， 1）、 B（ 2， 2）距離之和，連結 AB，則直線 AB 與 x 軸的交點（橫坐標）即為所求的最小值點 . ymin=|AB|= 13)21()20( 22 ???? ，可求得 x=32時， ymin= 13 . 顯然無最大值 .故值域為［ 13 ， +∞） . 變式訓練 3： 在經(jīng)濟學中，函數(shù) f(x)的邊際函數(shù) Mf(x)定義為 Mf（ x） =f（ x+1） f（ x） .某公司每月最多生產(chǎn) 100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn) x（ x＞ 0）臺的收入函數(shù)為 R（ x） =3 000x20x2 (單位：元 )，其成本函數(shù)為 C（ x） =500x+4 000（單位：元），利潤是收入與成本之差 . （ 1）求利潤函數(shù) P（ x）及邊際利潤函數(shù) MP（ x （ 2）利潤函數(shù) P（ x）與邊際利潤函數(shù) MP（ x 解 ： （ 1） P（ x） =R（ x） C（ x） =（ 3 000x20x2） （ 500x+4 000） =20x2+2 500x4 000 （ x∈［ 1， 100］且 x∈ N,） MP（ x） =P（ x+1） P（ x） =20（ x+1） 2+2 500（ x+1） 4 000（ 20x2+2 500x4 000） =2 48040x （ x∈［ 1， 100］且 x∈ N） . （ 2） P（ x） =20(x )21252+74 125，當 x=62或 63時， P(x)max=74 120（元） . 因為 MP（ x） =2 48040x是減函數(shù)，所以當 x=1時， MP(x)max=2 440(元） . 因此，利潤函數(shù) P（ x）與邊際利潤函數(shù) MP（ x