【正文】 為奇數(shù)時(shí)， .871111111 15454 ????????? ?mmm aaaaaaa ?? 所以對任意整數(shù) m4，有 .87111 54 ???? maaa ? 2022 年高考試題全國卷 1 理科數(shù)學(xué)（必修 +選修Ⅱ） (河南、河北、山東、山西 、安徽、江西 等地區(qū) ) 本試卷分第 I 卷（選擇題）和第 II 卷（非選擇題）兩部分 . 共 150 分 . 考試時(shí)間 120 分鐘 . 第 I 卷 （ 選擇題 共 60 分） 參考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） 如果事件 A、 B 相互獨(dú)立，那么 P（ A最大種植面積是多少？ 20．（本小題滿分 12 分）三棱錐 PABC 中，側(cè)面 PAC 與底面 ABC 垂直， PA=PB=PC=3， （ 1）求證： AB ⊥ BC； （ 2）設(shè) AB=BC= 32 ，求 AC 與平面 PBC 所成角的大小 . P B A C 21．（本小題滿分 12 分）設(shè)橢圓 11 22 ??? ymx 的兩個(gè)焦點(diǎn)是 )0,(1 cF ? 與 )0(),0,(2 ?ccF ，且橢圓上存在一點(diǎn) P ，使得直線 1PF 與 2PF 垂直 . （ 1）求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； （ 2）設(shè) L 是相應(yīng)于焦點(diǎn) 2F 的準(zhǔn)線，直線 2PF 與 L 相交于點(diǎn) Q ，若 3222 ??PFQF ，求直線 2PF 的方程 . （Ⅱ）準(zhǔn)線 L 的方程為 .1mmx ??設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ),( 11 yx ，則 22．（本小題滿分 14 分）已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS 滿足 1,)1(2 ???? naS nnn . （ 1）寫出數(shù)列 ??na 的前三項(xiàng) 321 , aaa ； （ 2）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （ 3）證明：對任意的整數(shù) 4m? ，有 .451 1 1 78ma a a? ? ? ? （Ⅰ）解：由 .1,12 1111 ???? aaSa 得 由 .0,)1(2 222221 ?????? aaSaa 得 由 .2,)1(2 3333321 ??????? aaSaaa 得 （Ⅱ）解：當(dāng) 2?n 時(shí)，有 ,)1(2)(2 11 nnnnnn aaSSa ??????? ?? 112 2 ( 1 ) ,nnnaa ??? ? ? ? ,)1(22 221 ??? ???? nnn aa ?? .22 12 ? aa 所以 1 1 2 2 112 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 )n n n nnaa ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211????????????????????????nnnnnnnnn ? 經(jīng)驗(yàn)證 a1也滿足上式，所以 .1],)1(2[32 12 ???? ?? na nnn （Ⅲ）證明：由通項(xiàng)公式得 .24?a 當(dāng) 3?n 且 n 為奇數(shù)時(shí)， ]12 112 1[2311 121 ????? ??? nnnn aa ).2121(232222312222223123221213221?????????????????????nnnnnnnnnn 當(dāng) mm 且4? 為偶數(shù)時(shí)，451 1 1ma a a? ? ? 3 4 44 5 6 11 1 1 1 1 1 3 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 mmma a a a a ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 41 3 1 1 1 3 7( 1 ) .2 2 4 2 2 8 8m ?? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) mm 且4? 為奇數(shù)時(shí)， 4 5 4 5 11 1 1 1 1 1 1 7 .8m m ma a a a a a a ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以對任意整數(shù) m4，有451 1 1 7 .8ma a a? ? ? ? 2022 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)參考答案 （人教版） (理 ) 13． 163 14． 1 15．－ 2 16． 5 17．本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)以及三角恒等變形的能力 .滿分 12 分 . 解：原式 ,2c osc ossin2 2c ossin ??? ??? 因?yàn)? ,02c os,0s i n,21t a n ???? ??? 時(shí) 所以 ?cos2 1?原式 . 因?yàn)?? 為銳角，由 ,52c os21tan ?? ?? 得 所以 原式 .45? 18．本小題主要考查解帶絕對值的方程以及指數(shù)和對數(shù)的概念與運(yùn)算 .滿分 12 分 . 解：當(dāng) 0,021 ??? xx 即 時(shí)，原方程化為 ,11124 ??? xx ,441)212( 2 ??x 解得 .241212 ??x ,0241212 ???x 無解 . 由 ,01241212 ???? xx 知舍去 . 當(dāng) 0,021 ??? xx 即 時(shí)，原方程化為 ,11124 ??? xx ,449)212( 2 ??x 解得 ,27212 ???x ,027212 ????x 無解 . ,27212 ???x .3l o o g 22 ??? xx 故原方程的解為 19．本小題主要考查把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法解決問題的能力 .滿分 12分 . 解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為 a m，后側(cè)邊長為 b m，則 ab=800. 蔬菜的種植面積 ).2(28 0 8824)2)(4( baababbaS ?????????? 所以 ).(6 4 8248 0 8 2mabS ??? 當(dāng) ).(648,)(20),(40,2 2mSmbmaba ???? 最大值時(shí)即 答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為 40m，后側(cè)邊長為 20m 時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為 648m2. 20．本小題主要考查兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)、直線與平面所成角等有關(guān)知識(shí)，以及邏輯思維能力和空間想象能力 .滿分 12 分 . （Ⅰ）證明：如圖 1，取 AC 中點(diǎn) D，連結(jié) PD、 BD. 因?yàn)?PA=PC，所以 PD⊥ AC，又已知面 PAC⊥面 ABC， 所以 PD⊥面 ABC， D 為垂足 . 因?yàn)?PA=PB=PC，所以 DA=DB=DC， 可知 AC 為△ ABC 的外接圓直徑，因此 AB⊥ BC. （Ⅱ）解：如圖 2，作 CF⊥ PB 于 F，連結(jié) AF、 DF. 因?yàn)椤?PBC≌△ PBA，所以 AF⊥ PB， AF=CF. 因此， PB⊥平面 AFC， 所以面 AFC⊥面 PBC，交線是 CF， 因此直線 AC 在平面 PBC 內(nèi)的射影為直線 CF， ∠ ACF 為 AC 與平面 PBC 所成的角 . 在 Rt△ ABC 中， AB=BC=2 3 ，所以 BD= .6 在 Rt△ PDC 中， DC= .3,6 ?PD 在 Rt△ PDB 中， .23 63 ????? PB DBPDDF 在 Rt△ FDC 中， ,3362t a n ???? DCDFA CF 所以∠ ACF=30176。在溫室內(nèi)，沿左．右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留 1m 寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留 3m 寬的空地。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。不能答在試題卷上。 2．每小題選出答案后，用鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目的答案涂黑?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。 2022 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) （人教版） (理工農(nóng)林醫(yī)類 ) 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷 1 至 1 頁，第Ⅱ卷 3 至 10 頁。 第Ⅰ卷 注意事項(xiàng)： 1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。 3．本卷共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。 參考公式： 三角函數(shù)的和差化積公式 )]s i n()[s i n(21c oss i n ?????? ???? )]s i n()[s i n(21s i nc os ?????? ???? )]c os ()[c os (21c osc os ?????? ???? )]c os ()[c os (21s i ns i n ?????? ????? 一、選擇題 1．設(shè)集合 ? ?? ?RyRxyxyxM ????? ,1, 22 ， ? ?? ?RyRxyxyxN ????? ,02 ，則集合 NM?中元素的個(gè)數(shù)為 （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 2．函數(shù)2sinxy?的最小正周期是 （ ） A． 2? B． ? C． ?2 D． ?4 3．設(shè)數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列，且 6,6 82 ??? aa ， nS 是數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和，則 （ ） A． 54 SS ? B． 54 SS ? C． 56 SS ? D． 56 SS ? 4．圓 0422 ??? xyx 在點(diǎn) )3,1(P 處的切線方程為 （ ） A． 023 ??? yx B． 043 ??? yx C． 043 ??? yx D． 023 ??? yx 正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式 lccS )(21 ???臺(tái)側(cè) 其中 c′、 c 分別表示上、下底面周長， l 表示 斜高或母線長 臺(tái)體的體積公式 334 RV ??球 其中 R 表示球的半徑 5．函數(shù) )1(log 221 ?? xy的定義域?yàn)? （ ） A． ? ? ? ?2,11,2 ??? B． )2,1()1,2( ??? C． ? ? ? ?2,11,2 ??? D． )2,1()1,2( ??? 6．設(shè)復(fù)數(shù) z 的輻角的主值為 32? ，虛部為 3 ，則 2z = （ ） A． i322?? B． i232 ?? C． i32? D． i232 ? 7．設(shè)雙曲線 的焦點(diǎn)在 x 軸上，兩條漸近線為 xy 21?? ，則該雙曲線的離心率 ?e （ ） A． 5 B． 5 C． 25 D． 45 8．不等式 311 ??? x 的解 集為 （ ） A． ? ?2,0 B． ? ? )4,2(0,2 ?? C． ? ?0,4? D． ? ? )2,0(2,4 ??? 9．正三棱錐的底面邊長為 2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為 （ ） A． 322 B． 2 C． 32 D． 324 10．在△ ABC 中， AB=3， BC= 13 ， AC=4，則邊 AC 上的高為 （ ） A． 223 B． 233 C． 23 D． 33 11．設(shè)函數(shù)???????????1,141,)1()( 2xxxxxf ，則使得 1)( ?xf 的自變量 x 的取值范圍為（ ） A． ? ? ? ?10,02, ???? B． ? ? ? ?1,02, ???? C． ? ? ? ?10,12, ???? D． ? ?10,1]0,2[ ?? 12．將