【正文】 雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、函數(shù)最值 等知識(shí)，考查 數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化 、函數(shù)與方程 的數(shù)學(xué)思想方法，以及 推理論證能力和 運(yùn)算求解能力 ） （ 1） 解： 依題意可得 ( 1,0)A? ， (1,0)B ．………………………………………………………………… 1 分 設(shè)雙曲線 C 的方程為 222 1yx b??? ?0b?， 因?yàn)殡p曲線的離心率為 5 ，所以 21 51 b? ? ，即 2b? ． 所以雙曲線 C 的方程為 22 14yx ??．…………………………………………………………………… 3 分 （ 2） 證法 1： 設(shè)點(diǎn) 11( , )Px y 、 22( , )T x y （ 0ix? ， 0iy? ， 1,2i? ） ，直線 AP 的斜率為 k （ 0k? ） ， 則直線 AP 的方程為 ( 1)y k x??，……………………………………………………………………… 4 分 聯(lián)立方程組 ? ?221,y k xyx? ? ??? ????……………………………………………………………………………… 5 分 整理，得 ? ?2 2 2 24 2 4 0k x k x k? ? ? ? ?， 解得 1x?? 或 2244 kx k?? ?．所以 22 244 kx k?? ?．………………………………………………………… 6分 同理可得， 21 244 kx k?? ?．………………………………………………………………………………… 7 分 所以 121xx??．…………………………………………………………………………………………… 8 分 證法 2： 設(shè)點(diǎn) 11( , )Px y 、 22( , )T x y （ 0ix? ， 0iy? ， 1,2i? ） ， 則 11 1APyk x? ? ， 22 1ATyk x? ? ．………………………………………………………………………… 4 分 因?yàn)?AP ATkk? ，所以 1211yyxx???，即? ? ? ?221211yyxx???．…………………………………… 5 分 因?yàn)辄c(diǎn) P 和點(diǎn) T 分別在雙曲線和橢圓上，所以 22 11 14yx ??， 22 22 14yx ??． 即 ? ?221141yx??， ? ?2241yx??．………………………………………………………………… 6 分 所以 ? ?? ? ? ?? ?2212224 1 4 111xx?????，即 1211xx?????．…………………………………………………… 7 分 所以 121xx??．…………………………………………………………………………………………… 8 分 證 法 3： 設(shè)點(diǎn) 11( , )Px y ，直線 AP 的方程為 11 ( 1)1yyxx??? ，……………………………………… 4 分 聯(lián)立方程組? ?11221,1yyxxyx? ??? ???? ????………………………………………………………………………… 5 分 整理，得 2 2 2 2 2 21 1 1 1 14 ( 1 ) 2 4 ( 1 ) 0x y x y x y x??? ? ? ? ? ? ???， 解得 1x?? 或 2211224( 1)4( 1)xyx ??? ??．………………………………………………………………… 6 分 將 221144yx??代入 2211224( 1)4( 1)xyx ??? ??，得11x x? ，即 211x x? ． 所以 121xx??．………………………………………………………………………………………… 8 分 （ 3） 解： 設(shè)點(diǎn) 11( , )Px y 、 22( , )T x y （ 0ix? ， 0iy? ， 1,2i? ）， 則 ? ?111,P A x y? ? ? ?， ? ?111,PB x y? ? ? ． 因?yàn)?15PA PB??，所以 ? ?? ? 21 1 11 1 15x x y? ? ? ? ?， 即 221116xy??．………………………… 9 分 因?yàn)?點(diǎn) P 在雙曲線上，則 22 11 14yx ??， 所以 22114 4 16xx? ? ?，即 21 4x ? ． 因?yàn)辄c(diǎn) P 是雙曲線在第一象限內(nèi) 的一點(diǎn)，所以 112x??．………………………………………… 10 分 因?yàn)? 2 21 | || | | |2S A B y y??，2 1 111| || | | |22S O B y y??， 所以 ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 1 1 21 4 4 1 5 44S S y y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?．…………………………… 11 分 由（ 2）知， 121xx??，即2 11x x?． 設(shè) 21tx? ，則 14t?? ， 2212 45S S t t? ? ? ?． 設(shè) ? ? 45t tf t??? ，則 ? ? ? ?? ?222241 ttft tt??? ? ? ? ?， 當(dāng) 12t?? 時(shí)， ?? 0ft? ? ，當(dāng) 24t?? 時(shí)， ?? 0ft? ? ， 所以函數(shù) ??ft在 ? ?1,2 上單調(diào)遞增，在 ? ?2,4 上單 調(diào)遞減 ． 因?yàn)?? ?21f ? ， ? ? ? ?1 4 0ff??， 所以當(dāng) 4t? ，即 1 2x? 時(shí)， ? ? ? ?2212 m in 40S S f? ? ?．…………………………………………… 12 分 當(dāng) 2t? ，即 1 2x? 時(shí)， ? ? ? ?2212 m a x 21S S f? ? ?．……………………………………………… 13 分 所以 2212SS? 的 取值范圍為 ? ?0,1 ． ……………………………… … …………… …………………… 14 分 說(shuō)明： 由 ? ?2 2 2 21 2 1 2 1 25 4 5 4 1S S x x x x? ? ? ? ? ? ?，得 ? ?2212max 1SS??，給 1 分． 20． (2022廣州一模理數(shù) )已知橢圓 22 14yx ??的左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為 A 、 B ．曲線 C 是以 A 、 B 兩點(diǎn)為頂點(diǎn)， 離心率為 5 的雙曲線．設(shè)點(diǎn) P 在 第一象限 且在 曲線 C 上 ， 直線 AP 與 橢圓 相交 于 另一 點(diǎn) T ． （ 1）求曲線 C 的方程； （ 2） 設(shè) P 、 T 兩點(diǎn) 的橫坐標(biāo)分別為 1x 、 2x ，證明： 121xx??； （ 3） 設(shè) TAB? 與 POB? （其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 的面積 分別 為 1S 與 2S ， 且 PA PBuur uurg ≤ 15 ， 求 2212SS?的 取值范圍 ． 20．（ 本小題滿分 14分 ） （ 本小題主要考查 橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 、函數(shù)最值 等知識(shí)，考查 數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化 、函數(shù)與方程 的數(shù)學(xué)思想方法，以及 推理論證能力和 運(yùn)算求解能力 ） （ 1） 解： 依題意可得 ( 1,0)A? ， (1,0)B ．………………………………………………………………… 1 分 設(shè)雙曲線 C 的方程為 222 1yx b??? ?0b?， 因?yàn)殡p曲線的離心率為 5 ，所以 21 51 b? ? ，即 2b? ． 所以雙曲線 C 的方程為 22 14yx ??．…………………………………………………………………… 3 分 （ 2） 證法 1： 設(shè)點(diǎn) 11( , )Px y 、 22( , )T x y （ 0ix? ， 0iy? ， 1,2i? ） ，直線 AP 的斜率為 k （ 0k? ） ， 則直線 AP 的方程為 ( 1)y k x??，……………………………………………………………………… 4 分 聯(lián)立方程組 ? ?221,y k xyx? ? ??? ????……………………………………………………………………………… 5 分 整理，得 ? ?2 2 2 24 2 4 0k x k x k? ? ? ? ?， 解得 1x?? 或 2244 kx k?? ?．所以 22 244 kx k?? ?．………………………………………………………… 6分 同理可得， 21 244 kx k?? ?．………………………………………………… ……………………………… 7 分 所以 121xx??．…………………………………………………………………………………………… 8 分 證法 2： 設(shè)點(diǎn) 11( , )Px y 、 22( , )T x y （ 0ix? ， 0iy? ， 1,2i? ） ， 則 11 1APyk x? ? ， 22 1ATyk x? ? ．………………………………………………………………………… 4 分 因?yàn)?AP ATkk? ，所以 1211yyxx???，即? ? ? ?221211yyxx???．…………………………………… 5 分 因?yàn)辄c(diǎn) P 和點(diǎn) T 分別在雙曲線和橢圓上，所以 22 11 14yx ??， 22 22 14yx ??． 即 ? ?221141yx??， ? ?2241yx??．………………………………………………………………… 6 分 所以 ? ?? ? ? ?? ?2212224 1 4 111xx?????，即 1211xx?????．…………………………………………………… 7 分 所以 121xx??．………………………………………… ………………………………………………… 8 分 證 法 3： 設(shè)點(diǎn) 11( , )Px y ，直線 AP 的方程為 11 ( 1)1yyxx??? ，……………………………………… 。 廣州一模、二模 10. (2022廣州二模理數(shù) )已知橢圓 C 的離心率 32e? , 且它的焦點(diǎn)與雙曲線 2224xy??的焦點(diǎn)重合 , 則橢圓 C 的方程為 . 10. 22182xy?? 20． (2022廣州一模理數(shù) )已知 點(diǎn) ? ?0,1F ，直線 l ： 1y?? ， P 為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作直線 l 的垂線，垂足為 Q ，且 Q P Q F FP FQ? ． （ 1）求 動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程 ； （ 2） 已知圓 M 過(guò)定點(diǎn) ? ?0,2D ， 圓心 M 在軌跡 C 上運(yùn)動(dòng)，且圓 M 與 x 軸交于 A 、 B 兩點(diǎn)，設(shè)1DA l? ， 2DB l? ，求 1221llll? 的最大值 ． 20．（ 本小題滿分 14分 ） （ 本小題主要考查 圓、 拋物線 、基本不等式 等知識(shí)，考查 數(shù)形結(jié)合、 化歸與轉(zhuǎn)化 、函數(shù)與方程 的數(shù)學(xué)思想方法，以及 推理論證能力和 運(yùn)算求解能力 ） （ 1） 解： 設(shè) ? ?,Px y ，則 ? ?,1Qx? ， ∵ Q P Q F FP FQ? ， ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 1 , 2 , 1 , 2y x x y x? ? ? ? ?． 即 ? ? ? ?22 1 2 1y x y? ? ? ?， 即 2 4xy? ， 所以 動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程 2 4xy? ． （ 2） 解： 設(shè)圓 M 的圓心坐標(biāo)為 ? ?,Mab ，則 2 4ab? ． ① 圓 M 的半徑為 ? ?22 2M D a b? ? ?． 圓 M 的方程為 ? ? ? ? ? ?2 2 22 2x a y b a b? ? ? ? ? ?． 令 0y? ，則 ? ? ? ?2222 2x a b a b? ? ? ? ?， 整理得， 2 2 4 4 0x ax b? ? ? ?． ② 由①、②解得， 2xa??． 不妨設(shè) ? ?2,0Aa? ， ? ?2,0Ba? ， ∴ ? ?21 24la? ? ?， ? ?22 24la? ? ?． ∴ 22 21 2 1 242 1 1 22 1 664l l l l al l l l a? ?? ? ? ? ? ? 22 2448 162 2 164 64a aaa?? ? ???， ③ 當(dāng) 0a? 時(shí)，由③得， 12221216 162 1 2 1 2 26428llll a a? ? ? ? ??? ≤． 當(dāng)且僅當(dāng) 22a?? 時(shí)，等號(hào)成立． 當(dāng) 0a? 時(shí)，由③得， 12212llll??． 故當(dāng) 22a?? 時(shí)， 1221llll? 的最大值為 22． 19. (2022廣州二模理數(shù) )已知拋物線 C : 2 2x py? ? ?0p? 的焦點(diǎn)為 F ,A 、 B 是拋物線 C