數(shù)學(xué)不等式高考真題-展示頁
2025-04-26 01:45本頁面
【正文】 ∈(0,1) 時(shí)，不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范圍 8.（2018?卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1||ax1| （1）當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)1的解集 （2）若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)x成立,求a的取值范圍 9.（2017?新課標(biāo)Ⅲ）[選修45：不等式選講]已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范圍． 10.（2014?新課標(biāo)II）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+ 1a |+|x﹣a|（a＞0）． （1）證明：f（x）≥2； （2）若f（3）＜5，求a的取值范圍． 11.（2015 16.（2013?福建）設(shè)不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集為A，且 32∈A,12?A （1）求a的值 （2）求函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值． 17.（2013?新課標(biāo)Ⅰ）（選修4﹣5：不等式選講） 已知函數(shù)f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （2）設(shè)a＞﹣1，且當(dāng) x∈[?a2,12) 時(shí)，f（x）≤g（x），求a的取值范圍． 18.（2016?全國(guó)）選修4—5：不等式選講已知函數(shù)f(x)= ∣x 12 ∣+∣x+ 12 ∣，M為不等式f(x) ＜2的解集. （1）求M； （2）證明：當(dāng)a,b∈M時(shí)，∣a+b∣＜∣1+ab∣。由|h（x）|≤2得 ，又已知關(guān)于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，所以 ，故a=3． 【解析】【分析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化為|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可．（2）設(shè)h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），則h（x）= {?2a,x≤04x?2a,0＜x＜a2a,x≥a ．由|h（x）|≤2解得 a?12≤x≤a+12 ，它與1≤x≤2等價(jià)，然后求出a的值．3.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= {?3，x?12x?1，?1≤x≤23，x2 ，f（x）≥1，∴當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；當(dāng)x＞2時(shí)，3≥1恒成立，故x＞2；綜上，不等式f（x）≥1的解集為{x|x≥1}．（Ⅱ）原式等價(jià)于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max ， 設(shè)g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）= {?x2+x?3，x≤?1?x2+3x?1，?1x2?x2+x+3，x≥2 ，當(dāng)x≤﹣1時(shí)，g（x）=﹣x2+x﹣3，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= 12 ＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= 32 ∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（ 32 ）=﹣ 94 + 92 ﹣1= 54 ；當(dāng)x≥2時(shí)，g（x）=﹣x2+x+3，其開口向下，對(duì)稱軸方程為x= 12 ＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；綜上，g（x）max= 54 ，∴m的取值范圍為（﹣∞， 54 ]． 【解析】【分析】（Ⅰ）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= {?3，x?12x?1，?1≤x≤23，x2 ，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2與x＞2兩類討論即可解得不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）依題意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max ， 設(shè)g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤﹣1＜x＜x≥2三類討論，可求得g（x）max= 54 ，從而可得m的取值范圍．4.【答案】證明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ a?a5 + b?b5 ）2=（a3+b3）2≥4，當(dāng)且僅當(dāng) ab5 = ba5 ，即a=b=1時(shí)取等號(hào)，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴ (a+b)3?23(a+b) =ab，由均值不等式可得： (a+b)3?23(a+b) =ab≤（ a+b2 ）2 ， ∴（a+b）3﹣2≤ 3(a+b)34 ，∴ 14 （a+b）3≤2，∴a+b≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立． 【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可證明，（Ⅱ）由a3+b3=2轉(zhuǎn)化為 (a+b)3?23(a+b) =ab，再由均值不等式可得： (a+b)3?23(a+b) =ab≤（ a+b2 ）2 ， 即可得到 14 （a+b）3≤2，問題得以證明．5.【答案】（1）解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=﹣x2+x+4，是開口向下，對(duì)稱軸為x= 12 的二次函數(shù)，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= {2x，x12，?1≤x≤1?2x，x?1 ，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，令﹣x2+x+4=2x，解得x= 17?12 ，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴此時(shí)f（x）≥g（x）的解集為（1， 17?12 ]；當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，f（x）單調(diào)遞增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．綜上所述，f（x）≥g（x）的解集為[﹣1， 17?12 ]；（2）（2）依題意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成
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