【文章內容簡介】 分離參數(shù)法、根的分布法增添了思維難度，因而含參數(shù)不等式的恒成立問題常出現(xiàn)在綜合題的位置 . 【解決方案】 解決這類問題的關鍵是將恒成立問題進行等價轉化，使之轉化為函數(shù)的最值問題，或者區(qū)間根的分布問題，進而運用 最值原理或者區(qū)間根原理使問題獲解，常用方法還有函數(shù)性質法，分離參數(shù)法等 . 【 示例 】 ?(本題滿分 12分 )已知函數(shù) f(x)＝ x2－ 2ax＋ 2，當 x∈ [－ 1，＋ ∞ )時， f(x)≥ a恒成立，求 a 的取值范圍． 利用函數(shù)性質求 f(x)的最值，從而解不等式 f(x)min≥ a，得 a 的取值范圍．解題過程中要注意 a 的范圍的討論． [解答示范 ] ∵ f(x)＝ (x－ a)2＋ 2－ a2， ∴ 此二次函數(shù)圖象的對稱軸為 x＝ a(1 分 ) (1)當 a∈ (－ ∞ ，－ 1)時， f(x)在 [－ 1， ＋ ∞ )上單調遞增， ∴ f(x)min＝ f(－ 1)＝ 2a＋ 3.(3 分 ) 要使 f(x)≥ a 恒成立，只需 f(x)min≥ a，即 2a＋ 3≥ a， 解得 a≥ － 3，即－ 3≤ a＜－ 1.(6 分 ) (2)當 a∈ [－ 1，＋ ∞ )時， f(x)min＝ f(a)＝ 2－ a2.(8 分 ) 要使 f(x)≥ a 恒成立，只需 f(x)min≥ a， 即 2－ a2≥ a(10 分 ) 解得－ 2≤ a≤ 1，即－ 1≤ a≤ 1.(11 分 ) 綜上所述，實數(shù) a 的取值范圍為 [－ 3,1](12 分 ) 本題是利用函數(shù)的性質求解 恒成立問題，主要的解題步驟是研究函數(shù)的性質，由于導數(shù)知識的運用，拓展了這類問題深度和思維的廣度，因此，解答問題時，一般的解題思路是先通過對函數(shù)求導，判斷導函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性，得到區(qū)間上對應的函數(shù)最值． 【試一試】 當 x∈ (1,2)時，不等式 x2＋ mx＋ 40 恒成立，則 m 的取值范圍是________． 解析 法一 當 x∈ (1,2)時，不等式 x2＋ mx＋ 40 可化為： m－ ??? ???x＋ 4x ， 又函數(shù) f(x)＝－ ??? ???x＋ 4x 在 (1,2)上遞增， 則 f(x)－ 5， 則 m≤ － 5. 法二 設 g(x)＝ x2＋ mx＋ 4 當－ m2≤ 32，即 m≥ － 3 時， g(x)＜ g(2)＝ 8＋ 2m， 當－ m2＞ 32，即 m＜－ 3 時， g(x)＜ g(1)＝ 5＋ m 由已知條件可得： ??? m≥ － 3，8＋ 2m≤ 0， 或 ??? m＜－ 3，5＋ m≤ 0. 解得 m≤ － 5 答案 (－ ∞ ，－ 5] 第 3 講 函數(shù)的奇偶性與周期性 【高考會這樣考】 1．判斷函數(shù)的奇偶性． 2．利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值． 3．考查函數(shù)的單調性與奇偶性的綜合應用． 【復習指導】 本講復習時應結合具體實例和函數(shù)的圖象，理解函數(shù)的奇偶性、周期性的概念，明確它們在研究函數(shù)中的作用和功能．重點解決綜合利用函數(shù)的性質解決有關問題． 基礎梳 理 1．奇、偶函數(shù)的概念 一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內任意一個 x，都有 f(－ x)＝ f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)． 一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內任意一個 x，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù)． 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關于 y 軸對稱． 2． 奇、偶函數(shù)的性質 (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性 相同 ，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性 相反． (2)在公共定義域內 ① 兩個奇函數(shù)的和是 奇函數(shù) ，兩個奇函數(shù)的積是 偶函數(shù) ； ② 兩個偶函數(shù)的和、積都是 偶 函數(shù) ； ③ 一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積是 奇函數(shù)． 3． 周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù) y＝ f(x)，如果存在一個非零常數(shù) T，使得當 x 取定義域內的任何值時，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就稱函數(shù) y＝ f(x)為周期函數(shù)，稱 T 為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中 存在一個最小 的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期． 一條規(guī)律 奇、偶函數(shù)的定義域關于原點對稱． 函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不 充分條件． 兩個性質 (1)若奇函數(shù) f(x)在 x＝ 0 處有定義，則 f(0)＝ 0. (2)設 f(x)， g(x)的定義域分別是 D1， D2，那么在它們的公共定義域上： 奇＋奇＝奇，奇 奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶 偶＝偶，奇 偶＝奇． 三種方法 判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法： (1)定義法； (2)圖象法； (3)性質法． 三條結論 (1)若對于 R 上的任意的 x 都有 f(2a－ x)＝ f(x)或 f(－ x)＝ f(2a＋ x)，則 y＝ f(x)的圖象關于直線 x＝ a 對稱． (2)若對于 R 上的任意 x 都有 f(2a－ x)＝ f(x)，且 f(2b－ x)＝ f(x)(其中 a＜ b)，則： y＝ f(x)是以 2(b－ a)為周期的周期函數(shù)． (3)若 f(x＋ a)＝－ f(x)或 f(x＋ a)＝ 1f?x?或 f(x＋ a)＝－ 1f?x?，那么函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為 T＝ 2a； (3)若 f(x＋ a)＝ f(x＋ b)(a≠ b)，那么函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為 T＝ 2|a－ b|. 雙基自測 1． (2020全國 )設 f(x)是周期為 2的奇函數(shù)，當 0≤ x≤ 1時， f(x)＝ 2x(1－ x)，則 f??? ???－ 52＝ ( )． A.－ 12 B.－ 14 解析 因為 f(x)是周期為 2 的奇函數(shù)，所以 f??? ???－ 52 ＝－ f??? ???52 ＝－ f??? ???12 ＝－ A. 答案 A 2． (2020福州一中月考 )f(x)＝ 1x－ x 的圖象關于 ( )． A． y 軸對稱 B．直線 y＝－ x 對稱 C．坐標原點對稱 D．直線 y＝ x 對稱 解析 f(x)的定義域為 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ )，又 f(－ x)＝ 1－ x－ (－ x)＝－ ??? ???1x－ x ＝－ f(x)，則 f(x)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱． 答案 C 3． (2020廣東 )設函數(shù) f(x)和 g(x)分別是 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結論恒成立的是 ( )． A． f(x)＋ |g(x)|是偶函數(shù) B． f(x)－ |g(x)|是奇函數(shù) C． |f(x)|＋ g(x)是偶函數(shù) D． |f(x)|－ g(x)是奇函數(shù) 解析 由題意知 f(x)與 |g(x)|均為偶函數(shù)， A 項：偶＋偶＝偶； B 項：偶－偶＝偶，B 錯； C 項與 D 項：分別為偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故選 A. 答案 A 4． (2020福建 )對于函數(shù) f(x)＝ asin x＋ bx＋ c(其中， a， b∈ R， c∈ Z)，選取 a， b，c 的一組值計算 f(1)和 f(－ 1)，所得出的正確結果一定不可能是 ( )． A． 4 和 6 B． 3 和 1 C． 2 和 4 D． 1 和 2 解析 ∵ f(1)＝ asin 1＋ b＋ c， f(－ 1)＝－ asin 1－ b＋ c 且 c∈ Z， ∴ f(1)＋ f(－ 1)＝ 2c是偶數(shù)，只有 D 項中兩數(shù)和為奇數(shù)，故不可能是 D. 答案 D 5． (2020浙江 )若函數(shù) f(x)＝ x2－ |x＋ a|為偶函數(shù)，則實數(shù) a＝ ________. 解析 法一 ∵ f(－ x)＝ f(x)對于 x∈ R 恒成立， ∴ |－ x＋ a|＝ |x＋ a|對于 x∈ R 恒成立，兩邊平方整理得 ax＝ 0 對于 x∈ R 恒成立，故 a＝ 0. 法二 由 f(－ 1)＝ f(1)， 得 |a－ 1|＝ |a＋ 1|，得 a＝ 0. 答案 0 考向一 判斷函數(shù)的奇偶性 【例 1】 ?下列函數(shù)： ① f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1； ② f(x)＝ x3－ x； ③ f(x)＝ ln(x＋ x2＋ 1)； ④ f(x)＝3x－ 3－ x2 ； ⑤ f(x)＝ lg1－ x1＋ 中奇函數(shù)的個數(shù)是 ( )． A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 [審題視點 ] 利用函數(shù)奇偶性的定義判斷． 解析 ① f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1的定義域為 {－ 1,1}，又 f(－ x)＝ 177。f(x)＝ 0， 則 f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)； ② f(x)＝ x3－ x 的定義域為 R， 又 f(－ x)＝ (－ x)3－ (－ x)＝－ (x3－ x)＝－ f(x)， 則 f(x)＝ x3－ x 是奇函數(shù)； ③ 由 x＋ x2＋ 1x＋ |x|≥ 0 知 f(x)＝ ln(x＋ x2＋ 1)的定義域為 R， 又 f(－ x)＝ ln(－ x＋ ?－ x?2＋ 1)＝ ln 1x＋ x2＋ 1＝ － ln(x＋ x2＋ 1)＝－ f(x)， 則 f(x)為奇函數(shù)； ④ f(x)＝ 3x－ 3－ x2 的定義域為 R， 又 f(－ x)＝ 3－ x－ 3x2 ＝－3x－ 3－ x2 ＝－ f(x)， 則 f(x)為奇函數(shù)； ⑤ 由 1－ x1＋ x0 得－ 1x1， f(x)＝ ln1－ x1＋ x的定義域為 (－ 1,1)， 又 f(－ x)＝ ln1＋ x1－ x＝ ln??? ???1－ x1＋ x － 1＝－ ln1－ x1＋ x＝－ f(x)， 則 f(x)為奇函數(shù)． 答案 D 判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法是： (1)求函數(shù)的定義域； (2)證明 f(－ x)＝ f(x)或 f(－ x)＝－ f(x)成立；或者通過舉反例證明以上兩式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何結論的，切忌主觀臆斷． 【訓練 1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝ 4－ x2|x＋ 3|－ 3； (2)f(x)＝ x2－ |x－ a|＋ 2. 解 (1)解不等式組 ??? 4－ x2≥ 0，|x＋ 3|－ 3≠ 0， 得－ 2≤ x0，或 0x≤ 2， 因此函數(shù) f(x)的定義域是 [－ 2,0)∪ (0,2]， 則 f(x)＝ 4－ x2x . f(－ x)＝ 4－ ?－ x?2－ x ＝－4－ x2x ＝－ f(x)， 所以 f(x)是奇函數(shù)． (2)f(x)的定義域是 (－ ∞ ，＋ ∞ )． 當 a＝ 0 時， f(x)＝ x2－ |x|＋ 2， f(－ x)＝ x2－ |－ x|＋ 2＝ x2－ |x|＋ 2＝ f(x)． 因此 f(x)是偶函數(shù)； 當 a≠ 0 時， f(a)＝ a2＋ 2， f(－ a)＝ a2－ |2a|＋ 2， f(－ a)≠ f(a)，且 f(－ a)≠ － f(a)． 因此 f(x)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)． 考向二 函數(shù)奇偶性的應用 【例 2】 ?已知 f(x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 (x≠ 0)． (1)判斷 f(x)的奇偶性； (2)證明： f(x)＞ 0. [審題視點 ] (1)用定義判斷或用特值法否定； (2)由奇偶性知只須求對稱區(qū)間上的函數(shù)值大于 0. (1)解 法一 f(x)的定義域是 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ ) ∵ f(x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 ＝ x22x＋ 12x－ 1. ∴ f(－ x)＝ － x2 2－ x＋ 12－ x－ 1＝x22x＋ 12x－ 1＝ f(x)． 故 f(x)是偶函數(shù)． 法二 f(x)的定義域是 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ )， ∵ f(1)＝ 32， f(－ 1)＝ 32， ∴ f(x)不是奇函數(shù)． ∵ f(x)－ f(－ x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 ＋ x??? ???12－ x－ 1＋ 12 ＝ x??? ???12x－ 1＋ 2x1－ 2x＋ 1 ＝ x??????1－ 2x2x－ 1＋ 1 ＝ x(－ 1＋ 1)＝ 0， ∴ f(－ x)＝ f(x)， ∴ f(x)是偶函數(shù)． (2)證明 當 x＞ 0 時， 2x＞ 1,2x－ 1＞ 0， 所以 f(x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 ＞ 0. 當 x＜ 0 時，－ x＞ 0，所以 f(－ x)＞ 0，又 f(x)是偶函數(shù)， ∴ f(－ x)＝ f(x)，所以 f(x)＞ 0. 綜上，均有 f(x)＞ 0. 根據(jù)函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調區(qū)間是常用的方法．奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反．所以對具有奇偶性的函數(shù)的單調性的研究，只需研究對稱區(qū)間上的單調性即可．