第四講基本初等函數(編輯修改稿)
2025-07-13 18:10 本頁面
【文章內容簡介】 指數、對數因式的普通等式或方程的形式，再來求解。題型4：指數函數的概念與性質例7．設（ ）A．0 B．1 C．2 D．3解：C；。點評：利用指數函數、對數函數的概念，求解函數的值。例8．已知試求函數f(x)的單調區(qū)間。解：令，則x=，t∈R。所以即，（x∈R）。因為f(－x)=f(x)，所以f(x)為偶函數，故只需討論f(x)在[0，+∞）上的單調性。任取，且使，則（1）當a1時，由，有，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調遞增。（2）當0a1時，由，有，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調遞增。綜合所述，[0，+∞]是f(x)的單調增區(qū)間，（－∞，0）是f(x)的單調區(qū)間。點評：求解含指數式的函數的定義域、值域，甚至是證明函數的性質都需要借助指數函數的性質來處理。特別是分兩種情況來處理。題型5：指數函數的圖像與應用例9．若函數的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是（ ）A．m≤－1 B．－1≤m0 C．m≥1 D．0m≤1解：，畫圖象可知－1≤m0。答案為B。點評：本題考察了復雜形式的指數函數的圖像特征，解題的出發(fā)點仍然是兩種情況下函數的圖像特征。例10．設函數的取值范圍。解：由于是增函數，等價于 ①1)當時，①式恒成立；2)當時，①式化為，即；3)當時，①式無解；綜上的取值范圍是。點評：處理含有指數式的不等式問題，借助指數函數的性質將含有指數式的不等式轉化為普通不等式問題（一元一次、一元二次不等式）來處理。題型6：對數函數的概念與性質例11．（1）函數的定義域是（ ）A． B． C． D．（2）（2006湖北）設f(x)＝，則的定義域為（ ）A． B．(－4,－1)(1，4) C．(－2,－1)(1，2) D．(－4,－2)(2，4)解：（1）D（2）B。點評：求函數定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對數函數中只有真數大于零時才有意義。對于抽象函數的處理要注意對應法則的對應關系。例12．對于， （1）函數的“定義域為R”和“值域為R”是否是一回事；（2）結合“實數a的取何值時在上有意義”與“實數a的取何值時函數的定義域為”說明求“有意義”問題與求“定義域”問題的區(qū)別；（3）結合（1）（2）兩問，說明實數a的取何值時的值域為（4）實數a的取何值時在內是增函數。解：記，則；（1）不一樣；定義域為R恒成立。得：，解得實數a的取值范圍為。值域為R：值域為R至少取遍所有的正實數，則，解得實數a的取值范圍為。（2）實數a的取何值時在上有意義：命題等價于對于任意恒成立，則或，解得實數a得取值范圍為。實數a的取何值時函數的定義域為：由已知得二次不等式的解集為可得，則a=2。故a的取值范圍為{2}。區(qū)別：“有意義問題”正好轉化成“恒成立問題”來處理，而“定義域問
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