【正文】 黃岡中學(xué)月考 )函數(shù) f(x)＝ log2(3x＋ 1)的值域?yàn)?( )． A． (0，＋ ∞ ) B． [0，＋ ∞ ) C． (1，＋ ∞ ) D． [1，＋ ∞ ) 解析 設(shè) y＝ f(x)， t＝ 3x＋ 1. 則 y＝ log2t， t＝ 3x＋ 1， x∈ R. 由 y＝ log2t， t1 知函數(shù) f(x)的值域?yàn)?(0，＋ ∞ )． 答案 A 4． (2020logcd＝ logad. (3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則 如果 a＞ 0 且 a≠ 1， M＞ 0， N＞ 0，那么 ① loga(MN)＝ logaM＋ logaN； ② logaMN＝ logaM－ logaN； ③ logaMn＝ nlogaM(n∈ R)； ④ log amMn＝ nmlogaM. 3． 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a＞ 1 0＜ a＜ 1 圖象 性質(zhì) 定義域： (0，＋ ∞ ) 值域： R 過點(diǎn) (1,0) 當(dāng) x＞ 1 時(shí)， y＞ 0 當(dāng) 0＜x＜ 1， y＜ 0 當(dāng) x＞ 1 時(shí)， y＜ 0 當(dāng) 0＜ x＜ 1 時(shí)， y＞ 0 是 (0，＋ ∞ )上的增函數(shù) 是 (0，＋ ∞ )上的減函數(shù) 指數(shù)函數(shù) y＝ ax與對(duì)數(shù)函數(shù) y＝ logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線 y＝ x對(duì)稱． 一種思想 對(duì)數(shù)源于指數(shù)，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式可以互化，對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則都可以通過對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化進(jìn)行證明． 兩個(gè)防范 解決與對(duì)數(shù)有關(guān)的問題時(shí)， (1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域； (2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍． 三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)： (a,1)， (1,0)， ??? ???1a，－ 1 . 四種方法 對(duì)數(shù)值的大 小比較方法 (1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性． (2)作差或作商法． (3)利用中間量 (0 或 1)． (4)化同真數(shù)后利用圖象比較． 雙基自測(cè) 1． (20203|x－ a|， x∈ R，且 f(x)＝ ??? f1?x?， f1?x?≤ f2?x?，f2?x?， f1?x?＞ f2?x?，則f(x)＝ f1(x)對(duì)所有實(shí)數(shù) x 成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ________． 第 5 講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 【高考會(huì)這樣考】 1．考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與值域． 2．考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用． 3．考查以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)． 4．考查對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關(guān)系． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)本講首先要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域， 這是研究對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)．判斷與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)圖象的重要依據(jù)，同時(shí)熟練把握對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，特別注意底數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響． 基礎(chǔ)梳理 1．對(duì)數(shù)的概念 (1)對(duì)數(shù)的定義 如果 ax＝ N(a＞ 0 且 a≠ 1)，那么數(shù) x 叫做以 a 為底 N 的對(duì)數(shù)，記作 x＝ logaN，其中 a 叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)， N 叫做真數(shù)． (2)幾種常見對(duì)數(shù) 對(duì)數(shù)形式 特點(diǎn) 記法 一般對(duì)數(shù) 底數(shù)為 a(a＞ 0 且 a≠ 1) logaN 常用對(duì)數(shù) 底數(shù)為 10 lg N 自然對(duì)數(shù) 底數(shù)為 e ln_N (1)對(duì)數(shù)的性質(zhì) ① alogaN＝ N； ② logaaN＝ N(a＞ 0 且 a≠ 1)． (2)對(duì)數(shù)的重要公式 ① 換底公式： logbN＝ logaNlogab(a， b 均大于零且不等于 1)； ② logab＝ 1logba，推廣 logab山東 )函數(shù) y＝ ex＋ e－ xex－ e－ x的圖象大致為 ( )． [審題視點(diǎn) ] 函數(shù)圖象的判斷要充分利用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性． 解析 y＝ e2x＋ 1e2x－ 1＝ 1＋2e2x－ 1，當(dāng) x＞ 0 時(shí)， e2x－ 1＞ 0 且隨著 x 的增大而增大，故y＝ 1＋ 2e2x－ 1＞ 1 且隨著 x 的增大而減小，即函數(shù) y 在 (0，＋ ∞ )上恒大于 1 且單調(diào)遞減，又函數(shù) y 是奇函數(shù)，故選 A. 答案 A 利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可研究復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比如：函數(shù) y＝ ax－ 1ax＋ 1， y＝ex－ e－ x2 ， y＝ lg(10x－ 1)等． 【訓(xùn)練 3】 已知方程 10x＝ 10－ x， lg x＋ x＝ 10 的實(shí)數(shù)解分別為 α 和 β，則 α＋ β的值是 ________． 解析 作函數(shù) y＝ f(x)＝ 10x， y＝ g(x)＝ lg x， y＝ h(x)＝ 10－ x 的圖象如圖所示，由于 y＝ f(x)與 y＝ g(x)互為反函數(shù)， ∴ 它們的圖象是關(guān)于直線 y＝ x 對(duì)稱的．又直線y＝ h(x)與 y＝ x 垂直， ∴ y＝ f(x)與 y＝ h(x)的交點(diǎn) A 和 y＝ g(x)與 y＝ h(x)的交點(diǎn) B是關(guān)于直線 y＝ x 對(duì)稱的．而 y＝ x 與 y＝ h(x)的交點(diǎn)為 (5,5)．又方程 10x＝ 10－ x的解 α 為 A點(diǎn)橫坐標(biāo)，同理， β 為 B 點(diǎn)橫坐標(biāo)． ∴ α＋ β2 ＝ 5，即 α＋ β＝ 10. 答案 10 難點(diǎn)突破 3——如何求解新情景下指數(shù)函數(shù)的問題 高考中對(duì)指數(shù)函數(shù)的考查，往往突出新概念、新定義、新情景中的問題，題目除最基本問題外，注重考查一些小、巧、活的問題，突出考查思維能力和化歸等數(shù)學(xué)思想． 一、新情景 下求指數(shù)型函數(shù)的最值問題的解法 【示例】 ? (2020f(x)， f?x?f?－ x?來判斷． (2)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題，是解決恒成立問題的常用方法． 【訓(xùn)練 2】 設(shè) f(x)＝ e－ xa ＋ae－ x是定義在 R 上的函數(shù)． (1)f(x)可能是奇函數(shù)嗎？ (2)若 f(x)是偶函數(shù)，試研究其在 (0，＋ ∞ )的單調(diào)性． 解 (1)假設(shè) f(x)是奇函數(shù)，由于定義域?yàn)?R， ∴ f(－ x)＝－ f(x)，即 exa＋aex＝－ ??????e－ xa ＋ae－ x ， 整理得 ??? ???a＋ 1a (ex＋ e－ x)＝ 0， 即 a＋ 1a＝ 0，即 a2＋ 1＝ 0 顯然無解． ∴ f(x)不可能是奇函數(shù)． (2)因?yàn)?f(x)是偶函數(shù)，所以 f(－ x)＝ f(x)， 即 exa＋aex＝e－ xa ＋ae－ x， 整理得 ??? ???a－ 1a (ex－ e－ x)＝ 0， 又 ∵ 對(duì)任意 x∈ R 都成立， ∴ 有 a－ 1a＝ 0，得 a＝ 177。b0＝ 425. 考向二 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 【例 2】 ?已知函數(shù) f(x)＝ ??? ???1ax－ 1＋ 12 b32a32 ? 4ab－ 1?3－ 2?a3b－ 3?12. 解 (1)原式＝ ??? ???271 000 － 13－ (－ 1)－ 2??? ???17 － 2＋ ??? ???259 12－ 1 ＝ 103 － 49＋ 53－ 1＝－ 45. (2)原式＝412b－ 32 ＝－ 54b－ 3)12 ＝－ 54a－ 16b－ 3247。b12＋ 13－ 56＝ 1a. (2)原式 ＝－ 52a－ 16b－ 3247。b－ 3)12. [審題視點(diǎn) ] 熟記有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是化簡(jiǎn)的關(guān)鍵． 解 (1)原式＝a－ 13b12( － 3a－ 12b－ 1)247。b5； (2)56a13a－ 12天津一中月考 )已知 a12＋ a－ 12＝ 3，則 a＋ a－ 1＝ ______； a2＋ a－ 2＝________. 解析 由已知條件 (a12＋ a－ 12)2＝ ： a＋ a－ 1＝ 7 又 (a＋ a－ 1)2＝ 49，因此 a2＋ a－ 2＝ 47. 答案 7 47 考向一 指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值 【例 1】 ?化簡(jiǎn)下列各式 (其中各字母均為正數(shù) )． (1)?a23郴州五校聯(lián)考 )函數(shù) f(x)＝ 2|x－ 1|的圖象是 ( )． 解析 f(x)＝????? 2x－ 1， x≥ 1，??????12x－ 1， x1， 故選 B. 答案 B 3．若函數(shù) f(x)＝ 12x＋ 1，則該函數(shù)在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是 ( )． A．單調(diào)遞減無最小值 B．單調(diào)遞減有最小值 C．單調(diào)遞增無最大值 D．單調(diào)遞增有最大值 解析 設(shè) y＝ f(x)， t＝ 2x＋ 1， 則 y＝ 1t， t＝ 2x＋ 1， x∈ (－ ∞ ，＋ ∞ ) t＝ 2x＋ 1 在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上遞增，值域?yàn)?(1，＋ ∞ )． 因此 y＝ 1t在 (1，＋ ∞ )上遞減，值域?yàn)?(0,1)． 答案 A 4． (2020an個(gè) (n∈ N*)； ② 零指數(shù)冪： a0＝ 1(a≠ 0)； ③ 負(fù)整數(shù)指數(shù)冪： a－ p＝ 1ap(a≠ 0， p∈ N*)； ④ 正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： amn＝ n am(a＞ 0， m、 n∈ N*，且 n＞ 1)； ⑤ 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： a－ mn＝ 1amn＝ 1n am(a＞ 0， m、 n∈ N*且 n＞ 1)． ⑥ 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0,0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) ① aras＝ ar＋ s(a＞ 0， r、 s∈ Q) ② (ar)s＝ ars(a＞ 0， r、 s∈ Q) ③ (ab)r＝ arbr(a＞ 0， b＞ 0， r∈ Q)． 3． 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) y＝ ax a＞ 1 0＜ a＜ 1 圖象 定義域 R 值域 (0，＋ ∞ ) 性質(zhì) 過定點(diǎn) (0,1) x＜ 0 時(shí)， 0＜ y＜ 1 x＜ 0 時(shí)， y＞ 1. 在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是減函數(shù) 當(dāng) x＞ 0 時(shí)， 0＜ y＜ 1； 當(dāng) x＞ 0 時(shí)， y＞ 1； 在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是增函數(shù) 一個(gè)關(guān)系 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算． 兩個(gè)防范 (1)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù) a 的大小決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù) a 按： 0＜ a＜ 1 和 a＞ 1 進(jìn)行分類討論． (2)換元時(shí)注意換元后 “ 新元 ” 的范圍． 三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 畫指數(shù)函數(shù) y＝ ax(a＞ 0，且 a≠ 1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)： (1， a)， (0,1)，??????－ 1， 1a . 雙基自測(cè) 1． (2020a沈陽(yáng)模擬 )設(shè) f(x)是 (－ ∞ ，＋ ∞ )上的奇函數(shù)， f(x＋ 2)＝－ f(x)，當(dāng) 0≤ x≤ 1 時(shí)， f(x)＝ x. (1)求 f(π)的值； (2)當(dāng)－ 4≤ x≤ 4 時(shí)，求 f(x)的圖象與 x 軸所圍成圖形的面積； (3)寫出 (－ ∞ ，＋ ∞ )內(nèi)函數(shù) f(x)的單調(diào)增 (或減 )區(qū)間． 第 (1)問先求函數(shù) f(x)的周期，再求 f(π)； 第 (2)問，推斷函數(shù) y＝ f(x)的圖象關(guān)于直線 x＝ 1 對(duì)稱，再結(jié)合周期畫出圖象，由圖象易求面積； 第 (3)問，由圖象觀察寫出． [解答示范 ] (1)由 f(x＋ 2)＝－ f(x)得， f(x＋ 4)＝ f[(x＋ 2)＋ 2]＝－ f(x＋ 2)＝ f(x)， 所以 f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)， (2 分 ) ∴ f(π)＝ f(－ 1 4＋ π)＝ f(π－ 4)＝－ f(4－ π) ＝－ (4－ π)＝ π－ 4.(4 分 ) (2)由 f(x)是奇函數(shù)與 f(x＋ 2)＝－ f(x)，得： f[(x－ 1)＋ 2]＝－ f(x－ 1)＝ f[－ (x－ 1)]，即 f(1＋ x)＝ f(1－ x)． 故知函數(shù) y＝ f(x)的圖象關(guān)于直線 x＝ 1 對(duì)稱． (6 分 ) 又 0≤ x≤ 1 時(shí)， f(x)＝ x，且 f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則 f(x)的圖象如圖所示． (8 分 ) 當(dāng)－ 4≤ x≤ 4 時(shí)， f(x)的圖象與 x 軸圍成的圖形面積為 S，則 S＝ 4S△ OAB＝ 4 ??? ???12 2 1 ＝ 4.(10 分 ) (3)函數(shù) f(x)的單調(diào)遞 增區(qū)間為 [4k－ 1,4k＋ 1](k∈ Z)，單調(diào)遞減區(qū)間 [4k＋ 1,4k＋ 3](k∈ Z)． (12 分 ) 關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題． 【試一試】 已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x－ 4)＝－ f(x)，且在區(qū)間 [0,2]上是增函數(shù)，則 ( )． A． f(－ 25)＜ f(11)＜ f(80) B． f(80)＜ f(11)＜ f(－ 25) C． f(11)＜ f(80)＜ f(－ 25) D． f(－ 25)＜ f(80)＜ f(11) [嘗試解答 ] 由函數(shù) f(x)是奇函數(shù)且 f(x)在 [0,2]上