【正文】 四川 )2 log510＋ ＝ ( )． A． 0 B． 1 C． 2 D． 4 解析 原式＝ log5100＋ ＝ log525＝ 2. 答案 C 2． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )已知 a＝ ， b＝ ， c＝ ，則 a， b，c 的大小關(guān)系是 ( )． A． a＜ b＜ c B． a＜ c＜ b C． b＜ a＜ c D． c＜ a＜ b 解析 將三個數(shù)都和中間量 1 相比較： 0＜ a＝ ＜ 1， b＝ ＜ 0， c＝＞ 1. 答案 C 3． (2020福建五市模擬 )設(shè)函數(shù) y＝ f(x)在 (－ ∞ ，＋ ∞ )內(nèi) 有定義．對于給定的正數(shù) K，定義函數(shù) fK(x)＝ ??? f?x?， f?x?≥ K，K， f?x?＜ K， 取函數(shù) f(x)＝ 2＋x＋ e－ x，若對任意的 x∈ (－ ∞ ，＋ ∞ )，恒有 fK(x)＝ f(x)，則 K 的最大值為 ________． 二、新情景下求與指數(shù)型函數(shù)有關(guān)的恒成立問題的解法 【示例】 ? 若 f1(x)＝ 3|x－ 1|， f2(x)＝ 2x3(a＞ 0 且 a≠ 1)． (1)求函數(shù) f(x)的定義域； (2)討論函數(shù) f(x)的奇偶性； (3)求 a 的取值范圍，使 f(x)＞ 0 在定義域上恒成立． [審題視點(diǎn) ] 對解析式 較復(fù)雜的函數(shù)判斷其奇偶性要適當(dāng)變形；恒成立問題可通過求最值解決． 解 (1)由于 ax－ 1≠ 0，且 ax≠ 1，所以 x≠ 0. ∴ 函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?{x|x∈ R，且 x≠ 0}． (2)對于定義域內(nèi)任意 x，有 f(－ x)＝ ??? ???1a－ x－ 1＋ 12 (－ x)3 ＝ ??? ???ax1－ ax＋12 (－ x)3＝ ??????－ 1－ 1ax－ 1＋12 (－ x)3 ＝ ??? ???1ax－ 1＋ 12 x3＝ f(x)， ∴ f(x)是偶函數(shù)． (3)當(dāng) a＞ 1 時，對 x＞ 0，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知 ax＞ 1， ∴ ax－ 1＞ 0， 1ax－ 1＋ 12＞ 0. 又 x＞ 0 時， x3＞ 0， ∴ x3??? ???1ax－ 1＋ 12 ＞ 0， 即當(dāng) x＞ 0 時， f(x)＞ 0. 又由 (2)知 f(x)為偶函數(shù)，即 f(－ x)＝ f(x)， 則當(dāng) x＜ 0 時，－ x＞ 0，有 f(－ x)＝ f(x)＞ 0 成立． 綜上可知，當(dāng) a＞ 1 時， f(x)＞ 0 在定義域上恒成立． 當(dāng) 0＜ a＜ 1 時， f(x)＝ ?ax＋ 1?x32?ax－ 1?. 當(dāng) x＞ 0 時， 1＞ ax＞ 0， ax＋ 1＞ 0， ax－ 1＜ 0， x3＞ 0，此時 f(x)＜ 0，不滿足題意； 當(dāng) x＜ 0 時，－ x＞ 0， f(－ x)＝ f(x)＜ 0，也不滿足題意． 綜上可知，所求 a 的取值范圍是 a＞ 1. (1)判斷此類函數(shù)的奇偶性，常需要對所給式子變形，以達(dá)到所需要的形式，另外，還可利用 f(－ x)177。a－32 1ab3＝－ 5 ab4ab2 . 化簡結(jié)果要求 (1)若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示； (2)若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示； (3)結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)冪． 【訓(xùn)練 1】 計(jì)算： (1)－ 13－ ??? ???－ 17 － 2＋ ??? ???279 12－ ( )2－ 1 0； (2)??? ???14 － 12(4a23(4a23b136 a天津 )已知 a＝ ， b＝ ， c＝ ??? ???15 ，則 ( )． A． a＞ b＞ c B． b＞ a＞ c C． a＞ c＞ b D． c＞ a＞ b 解析 c＝ ??? ???15 ＝ 5－ ＝ 5log3103 ， ＞ log22＝ 1， ＜ log44＝ 1，log3103 ＞ log33＝ 1， 又 ＞ log2103 ＞ log3 103 ， ∴ log2 ＞ log3 103 ＞ log4 又 ∵ y＝ 5x是增函數(shù)， ∴ a＞ c＞ b. 答案 C 5． (2020? 2x＋ 12x－ 1＝ f(x)． 故 f(x)是偶函數(shù)． 法二 f(x)的定義域是 (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞ )， ∵ f(1)＝ 32， f(－ 1)＝ 32， ∴ f(x)不是奇函數(shù)． ∵ f(x)－ f(－ x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 ＋ x??? ???12－ x－ 1＋ 12 ＝ x??? ???12x－ 1＋ 2x1－ 2x＋ 1 ＝ x??????1－ 2x2x－ 1＋ 1 ＝ x(－ 1＋ 1)＝ 0， ∴ f(－ x)＝ f(x)， ∴ f(x)是偶函數(shù)． (2)證明 當(dāng) x＞ 0 時， 2x＞ 1,2x－ 1＞ 0， 所以 f(x)＝ x??? ???12x－ 1＋ 12 ＞ 0. 當(dāng) x＜ 0 時，－ x＞ 0，所以 f(－ x)＞ 0，又 f(x)是偶函數(shù)， ∴ f(－ x)＝ f(x)，所以 f(x)＞ 0. 綜上，均有 f(x)＞ 0. 根據(jù)函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是常用的方法．奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．所以對具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的研究，只需研究對稱區(qū)間上的單調(diào)性即可． 【訓(xùn)練 2】 已知奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?[－ 2,2]，且在區(qū)間 [－ 2,0]內(nèi)遞減，求滿足：f(1－ m)＋ f(1－ m2)＜ 0 的實(shí)數(shù) m 的取值范圍． 解 ∵ f(x)的定義域?yàn)?[－ 2,2]， ∴ 有 ??? － 2≤ 1－ m≤ 2，－ 2≤ 1－ m2≤ 2， 解得－ 1≤ m≤ 3.① 又 f(x)為奇函數(shù)，且在 [－ 2,0]上遞減， ∴ 在 [－ 2,2]上遞減， ∴ f(1－ m)＜－ f(1－ m2)＝ f(m2－ 1)? 1－ m＞ m2－ 1， 即－ 2＜ m＜ 1.② 綜合 ①② 可知，－ 1≤ m＜ 1. 考向三 函數(shù)的奇偶性與周期性 【例 3】 ?已知函數(shù) f(x)是 (－ ∞ ，＋ ∞ )上的奇函數(shù)，且 f(x)的圖象關(guān)于 x＝ 1 對稱，當(dāng) x∈ [0,1]時， f(x)＝ 2x－ 1， (1)求證： f(x)是周期函數(shù)； (2)當(dāng) x∈ [1,2]時，求 f(x)的解析式； (3)計(jì)算 f(0)＋ f(1)＋ f(2)＋ ? ＋ f(2020)的值． [審題視點(diǎn) ] (1)只需證明 f(x＋ T)＝ f(x)，即可說明 f(x)為周期函數(shù)； (2)由 f(x)在 [0,1]上的解析式及 f(x)圖象關(guān)于 x＝ 1對稱求得 f(x)在 [1,2]上的解析式； (3)由周期性求和的值． (1)證明 函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，則 f(－ x)＝－ f(x)，函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于 x＝ 1 對稱，則 f(2＋ x)＝ f(－ x)＝－ f(x)，所以 f(4＋ x)＝ f[(2＋ x)＋ 2]＝－ f(2＋ x)＝ f(x)，所以 f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)． (2)解 當(dāng) x∈ [1,2]時， 2－ x∈ [0,1]， 又 f(x)的圖象關(guān)于 x＝ 1 對稱，則 f(x)＝ f(2－ x)＝ 22－ x－ 1， x∈ [1,2]． (3)解 ∵ f(0)＝ 0， f(1)＝ 1， f(2)＝ 0， f(3)＝ f(－ 1)＝－ f(1)＝－ 1 又 f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)． ∴ f(0)＋ f(1)＋ f(2)＋ ? ＋ f(2020) ＝ f(2 012)＋ f(2 013)＝ f(0)＋ f(1)＝ 1. 判斷函數(shù)的周期只需證明 f(x＋ T)＝ f(x)(T≠ 0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為 T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點(diǎn)問題． 【訓(xùn)練 3】 已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)， g(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且g(x)＝ f(x－ 1)，則 f(2 013)＋ f(2 015)的值為 ( )． A．－ 1 B． 1 C． 0 D．無法計(jì)算 解 析 由題意，得 g(－ x)＝ f(－ x－ 1)， 又 ∵ f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)， g(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)， ∴ g(－ x)＝－ g(x)，f(－ x)＝ f(x)， ∴ f(x－ 1)＝－ f(x＋ 1)， ∴ f(x)＝－ f(x＋ 2)， ∴ f(x)＝ f(x＋ 4)， ∴ f(x)的周期為 4， ∴ f(2 013)＝ f(1)， f(2 015)＝ f(3)＝ f(－ 1)， 又 ∵ f(1)＝ f(－ 1)＝ g(0)＝ 0， ∴ f(2 013)＋ f(2 015)＝ 0. 答案 C 規(guī)范解答 3——如何解決奇偶性、單調(diào)性、周期性的交匯問題 【問題研究】 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是函數(shù)的三大性質(zhì)，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，高考作為考查學(xué)生綜合能力的選拔性考試，在命題時，常常將它們綜合在一起命制試題 . 【解決方案】 根據(jù)奇偶性的定義知，函數(shù)的奇偶性主要體現(xiàn)為 f?－ x?與 f?x?的相等或相反關(guān)系，而根據(jù)周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期性主要體現(xiàn)為 f?x＋ T?與f?x?的關(guān)系，它們都與 f?x?有關(guān)，因此，在一些題目中，函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到 .函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性 體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律，因此，在解題時，往往需借助函數(shù)的奇偶性或周期性來確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性來解決相關(guān)問題 . 【 示例 】 ?(本題滿分 12 分 )(2020浙江 )若函數(shù) f(x)＝ x2－ |x＋ a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) a＝ ________. 解析 法一 ∵ f(－ x)＝ f(x)對于 x∈ R 恒成立， ∴ |－ x＋ a|＝ |x＋ a|對于 x∈ R 恒成立，兩邊平方整理得 ax＝ 0 對于 x∈ R 恒成立，故 a＝ 0. 法二 由 f(－ 1)＝ f(1)， 得 |a－ 1|＝ |a＋ 1|，得 a＝ 0. 答案 0 考向一 判斷函數(shù)的奇偶性 【例 1】 ?下列函數(shù)： ① f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1； ② f(x)＝ x3－ x； ③ f(x)＝ ln(x＋ x2＋ 1)； ④ f(x)＝3x－ 3－ x2 ； ⑤ f(x)＝ lg1－ x1＋ 中奇函數(shù)的個數(shù)是 ( )． A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 [審題視點(diǎn) ] 利用函數(shù)奇偶性的定義判斷． 解析 ① f(x)＝ 1－ x2＋ x2－ 1的定義域?yàn)?{－ 1,1}，又 f(－ x)＝ 177。全國 )設(shè) f(x)是周期為 2的奇函數(shù)，當(dāng) 0≤ x≤ 1時， f(x)＝ 2x(1－ x)，則 f??? ???－ 52＝ ( )． A.－ 12 B.－ 14 解析 因?yàn)?f(x)是周期為 2 的奇函數(shù)，所以 f??? ???－ 52 ＝－ f??? ???52 ＝－ f??? ???12 ＝－ A. 答案 A 2． (2020保定一中質(zhì)檢 )已知 f(x)為 R 上的減函數(shù)，則滿足 f??? ?????? ???1x f(1)的實(shí)數(shù) x的取值范圍是 ( )． A． (－ 1,1) B． (0,1) C． (－ 1,0)∪ (0,1) D． (－ ∞ ，－ 1)∪ (1，＋ ∞ ) 解析 由已知條件： ??? ???1x 1，不等式等價于 ??? |x|1，x≠ 0， 解得－ 1x1，且 x≠ 0. 答案 C 4． (2020天津耀華中學(xué)月考 )(1)已知 f(x)的定義域?yàn)???? ???－ 12， 12 ，求函數(shù) y＝ f??? ???x2－ x－ 12 的定義域； (2)已知函數(shù) f(3－ 2x)的定義域?yàn)?[－ 1,2]，求 f(x)的定義域． 解 (1)令 x2－ x－ 12＝ t， 知 f(t)的定義域?yàn)??????????t??? － 12 ≤ t≤12 ， ∴ － 12≤ x2－ x－ 12≤ 12， 整理得 ??? x2－ x≥ 0，x2－ x－ 1≤ 0 ? ??? x≤ 0或 x≥ 1，1－ 52 ≤ x≤1＋ 52 ， ∴ 所求函數(shù)的定義域?yàn)???? ???1－ 52 ， 0 ∪ ??? ???1， 1＋ 52 . (2)用換元思想，令 3－ 2x＝ t， f(t)的定義域即為 f(x)的定義域 ， ∵ t＝ 3－ 2x(x∈ [－ 1,2])， ∴ － 1≤ t≤ 5， 故 f(x)的定義域?yàn)?[－ 1,5]． 考向二 求函數(shù)的解析式 【例 2】 ?(1)已知 f??? ???2x＋ 1 ＝ lg x，求 f(x)； (2)定義在 (－ 1,1)內(nèi)的函數(shù) f(x)滿足 2f(x)－ f(－ x)＝ lg(x＋ 1)，求函數(shù) f