【導(dǎo)讀】若b>2a,且f(x∈R)的最大值為2，最小值為－4，試求函數(shù)f的最小值；若對任意實(shí)數(shù)x，不等式)1(42???xxfx恒成立,且存在)1(0200??成立，求c的值。題型：解答題，難度：較難二次函數(shù)f=)(2Rbabaxx???若方程f=0無實(shí)數(shù)根，求證：b>0；bbba方程有實(shí)根與題設(shè)矛盾則若。（Ⅰ）寫出明年第x個(gè)月的需求量g（千件）與月份數(shù)x的函數(shù)關(guān)系；x時(shí)，第x個(gè)月的銷售量為。xNxxxxg………………………（Ⅱ）由題意可得：,)12(2512???即-x12-x1x2-x22+a＜1∴-x12+x1-x22+ax2-1＜0(3分). 即對于任意x∈［0,1］,｜f′｜≤1等價(jià)于｜f′｜，｜f′｜，（Ⅱ）c為何值時(shí)，cbxax??y，代入原式得：。不符合題意，舍去.1833)(2?????(Ⅰ)由圖像知，函數(shù)在??1,0內(nèi)為單調(diào)遞減，所以：當(dāng)0?

　　

【正文】 （ 1）和 ????? ? ???455455 qqp pqp （ 2）可知 ????? ??? ??55440 0qpqp （因?yàn)?△ 5= 25p 4q5） . ⅰ )若 |p5|≤ 4，則 △ 5≤ 0；ⅱ）若 |p5|4，則 4p5（ 2）可知 (p5+q5)p5q5，所以(p5+1)(q5+1)1，與 p5+10q5+1 矛盾。 綜合?。?、ⅱ）可得 n≤ 5. 若 p30q3，則由?????????233233 qqp pqp 可知 p2q20，從而 0p1q1。用前面證明可得 n≤ 3。 若 p3q30，則由?????????233233 qqp pqp 可知 0p2q2，同上面推理可得 n≤ 4； 若 p3=0，則 f3(x)=x2+q3=0 無實(shí)根，所以 n≤ 3。 若 p30=q3，則 f4(x)=x2p3 無實(shí)根，所以 n≤ 4. 綜上所述， n≤ 5，即至多可延續(xù) 4 次。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 對于函數(shù) 1)( 2 ??? bxaxxf （ a＞ 0），如果方程 xxf ?)( 有相異兩根 1x ， 2x ． （ 1）若 21 1 xx ?? ，且 )(xf 的圖象關(guān)于直線 x＝ m對稱．求證：21?m； （ 2）若 20 1??x 且 2|| 21 ??xx ，求 b的取值范圍； （ 3） ? 、 ? 為區(qū)間 1[x ， ]2x 上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證： 02))(1(2 ????? ???? ba ． 答案： （ 1） 1)1()()( 2 ?????? xbaxxxfxg ，且 a＞ 0．因?yàn)?21 1 xx ?? ，所以0)1)(1( 21 ??? xx ，即 12121 ??? xxxx ，于是 )11(212 aababmx ??????? )(21 21 xx ?? 21]1)[(21)(2121 212121 ??????? xxxxxx ． （ 2 ）由方程2)( axxg ? 01)1( ???? xb ，可知 0121 ??axx ，所以 1x 、 2x 同號．由 20 1??x ，則212 ??xx ， 所 以 02 12 ??? xx ， 所 以 0)2( ?g ，即 4a ＋ 2b1 ＜ 0 ，又44)1()( 2 2212 ????? aabxx ，所以 1)1(12 2 ???? ba ，（因?yàn)?a＞ 0）代入①式得：bb 231)1(2 2 ???? ，解之得 41?b ． （ 3）由條件得 abxx ??? 121 ， axx 121 ? ，不妨設(shè) ??? ，則)(20 1x?? ? ))((222)(22)( 2121212 ????????? ????????? xxxxxxx 212 xx????????? axxxxxx 22))((22))(( 212121 ????????? 2))(1( ???? ??b ，故02))(1(2 ????? ???? ba ． 來源： 題型：解答題，難度：較難 求函數(shù) f(x)= 11363 2424 ?????? xxxxx 的最大值。 答案： f(x)= 222222 )0()1()3()2( ??????? xxxx ，記點(diǎn) P(x, x2)， A（ 3， 2）， B（ 0， 1），則 f(x)表示動點(diǎn) P到點(diǎn) A 和 B 距離的差。 因?yàn)?|PA||PA|≤ |AB|= 10)12(3 22 ??? ,當(dāng)且僅當(dāng) P為 AB延長線與拋物線 y=x2的交點(diǎn)時(shí)等號成立。 所以 f(x)max= .10 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題三 題型：解答題，難度：中檔 設(shè)函數(shù) f(x)=ax2+8x+3(a0)，對于給定的負(fù)數(shù) a，有一個(gè)最大的正數(shù) l(a)，使得在整個(gè)區(qū)間 [0， l(a)]上，不等式 |f(x)|≤ 5 都成立。求 l(a)的最大值及相應(yīng) a 的值。 答案： 若 fmax=aa4 6412?=3a16=5,則 a=8. 令 f(x)=5，解得 x1= 251? (舍 )， x2= 251? 。 因?yàn)楫?dāng) x∈ ?????? 21,0時(shí)， 3≤ f(x)≤ 5，當(dāng) x∈ ?????? ?2 51,21 時(shí)， 5≤ f(x)≤ 5, 而當(dāng) x 251? 時(shí)， f(x)5，所以此時(shí) l(a)= .251? 若 fmax=3 a16 5 即 a8 時(shí)，令 f(x)=5 得 ax2+8x2=0. x1= a a2 8648 ??? = a a2164 ??? =214216 2 ??? a,又 x1x2, 而當(dāng) 0≤ x≤ x1 時(shí)， 3≤ f(x)≤ 5，當(dāng) x1xx2 時(shí)， f(x)5，所以此時(shí) l(a)21 . 若 fmax=3 a16 5,即 a8 時(shí)， 令 f(x)=5 得 ax2+8x+8=0. x2= a a2 32648 ??? = a a8164 ??? = .2 514816 8 ???? a 綜上所述， l(a)≤ 251? ,所以 l(a)的最大值是 251? ，此時(shí) a=8. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 設(shè) x1,x2,… ,xn∈ [a, a+1]，且設(shè) x= ??ni ixn 11 , y= ??nj jxn 121 , 求 f =yx2 的最大值。 答案： f(x1,x2,… ,xn)= ? ?? ? ???????njni ij xnxn 1212 11 = ? ?? ????????? ? nini ii xnxxnxnn 222212212 .)(1211 若 n=1，則 f(x1)=0， 若 n1，則 ??211 nn0， f(x1,x2,… ,xn)是關(guān)于 x1的開口向上的二次函數(shù)。 f(x1,x2,… ,xn)≤ max{f(a,x2,… ,xn),f(a+1,x2,… ,xn)}。 同理，由對稱可知 f(x1,x2,… ,xn)≤}1,{max?? aaxi{f(x1,x2,… ,xn)}， 記 b=a+1，設(shè) x1,x2,… ,xn中有 s 個(gè) xi=a,ns 個(gè) xi=b，則 },{maxbaxi?{f(x1,x2,… ,xn)}=n1 [sa2+(ns)b2] 2))((1 ?????? ?? bsnsan =21n[nsa2+(ns)b2s2a2(ns)2b22s(ns)ab] =21n[s(ns)a2(ns)sb22s(ns)ab] =21ns(ns)(ab)2 =21ns(ns) ≤???????? 為奇數(shù)為偶數(shù)nnnn,4 1,4122 . 當(dāng)且僅當(dāng) x1,x2,… ,xn中有 ?????? ?21n個(gè)取 a（或 a+1）其余取 a+1（或 a）時(shí)， fmax=???????? 為奇數(shù)為偶數(shù)nnnn,4 1,4122 . 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 F(x)=ax2+bx+c， a,b,c∈ R, 且 |F(0)|≤ 1,|F(1)|≤ 1,|F(1)|≤ 1,則 對于 |x|≤ 1，求 |F(x)|的最大值。 答案： |F(x)|=|(a+b)x2+b(x2)+c| = )0()(2 )1()1())0()1(( 22 fxxffxff ?????? = .)0()1()1(2)1(2 222 fxfxxfxx ?????? 當(dāng) 0≤ x≤ 1 時(shí)， |F(x)≤ | ?????? 222 122 xxxxx x2+x+1≤ 45 , 當(dāng) 1≤ x≤ 0 時(shí)， |F(x)≤ ??????? 222 122 xxxxx x2+x+1≤ 45 , 綜上所述， |F(x)|≤ 45 .當(dāng) F(x)=x2+x+1 且 x=21 時(shí) |F(x)|max= .45 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 已知 f(x)=x2+ax+b，若存在實(shí)數(shù) m，使得 |f(m)|≤41,|f(m+1)|≤41,求 △ =a24b 的最大值和最小值。 答案： 若 △ 0, f(x)=(xx0)2+f(x0), |mx0|≥ 21 ,|m+1x0|≥ 21 中必有一個(gè)成立， 所以 △ ≥ 0， m, m+1 為不等式組 41? ≤ x2+ax+b≤ 41 的解。 而不等式組的解集為 ?????? ???????? 2 1,2 1 aa ∪ ?????? ???????? 2 1,2 1 aa ， 若 m 存在，則 11 ????? ≥ 2 或??????????????11211 ，所以 △ ≤ 2。 當(dāng) f(x)=x2x+41 時(shí)， △ =0 且 f(1)=f(0). 當(dāng) f(x)=x2+x41 或 f(x)=x23x+47 時(shí)， △ =2. 綜上所述， △ =a24b 的最大值是 2，最小值是 0。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 設(shè)二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈ R, a? 0)滿足下列條件： 1）當(dāng) x∈ R 時(shí)， f(x4)=f(2x)，且 f(x)≥ x； 2）當(dāng) x∈ (0, 2)時(shí)， f(x)≤ 221?????? ?x。 3） f(x)在 R 上最小值為 0。 求最大的 m(m1)，使得存在 t∈ R，只要 x∈ [1, m]就有 f(x+t)≤ x. 答案： 因?yàn)?f(x4)=f(2x),令 t=x3，則 f(1+t)=f(1t)，所以 1 為 f(x)圖象的對稱軸， 由（ 3）可知 a0，并可設(shè) f(x)=a(x+1)2(a0), 由（ 1）得 f(1)≥ 1，由（ 2）得 f(1)≤ 1,所以 f(1)=1, 所以 a=41 ,所以 f(x)=41 (x+1)2. 又 f(x+t)≤ x? 41 (x+t+1)2≤ x? x2+2(t1)x+(t+1)2≤ 0 ① 當(dāng) t=4 時(shí)，方程 x2+2(t1)x+(t+1)2=0 ②的兩根為 1 和 9。 所以①的解集為 1≤ x≤ 9，所以 m=9. 因?yàn)棰僭?[1,m]內(nèi)恒成立，當(dāng) x=1 時(shí)有 t2+4t≤ 0，所以 4≤ t≤ 0. 當(dāng) 4t≤ 0 時(shí)，方程②的較大的根為 x1= 2 4)1(2 tt ??? =1t+2 t? 9. 而②的解集為 x2≤ x≤ x1，所以此時(shí) m9. 綜上所述， m 的最大值為 9，此時(shí) t=4，對任意 x∈ [1, 9]. 因?yàn)?(x1)(x9)≤ 0，所以 41 (x4+1)2≤ x. 即 f(x4)≤ x，所以 m 的最大值為 9. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 求證：方程 3ax2+2bx(a+b)=0(b? 0)在 (0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。 答案： 證明：當(dāng) a=0 時(shí)，方程變?yōu)?2bx=b，則無論 b(b? 0)為何值，總有根 x=21∈ (0,1). 當(dāng) a? 0 時(shí)，記 f(x)=3ax2+2bx(a+b)，下面找出 x1x2，使得 f(x1)f(x2)≤ 0。 而 f(x1)=3a 21x +2bx1(a+b), f(x2)=3a 22x +2bx2(a+b), 令 f(x1)=f(x2)，則 3a 21x +2bx1(a+b)= 3a 22x 2bx2+(a+b), 即 )233( 2221 ?? xx a+(2x1+2x22)b=0. 上式對 a,b 的不同取值均成立，則 ???????????02220233212221xxxx 。 解得 x1= 633? , x1= .633? 故找到 x1x2，使得 f(x1)f(x2)=f(x1)[f(x1)]=f2(x1)≤ 0 成立。 同時(shí)，由 0 6 33633 ?? 1 可知，若 f(x1)f(x2)=0，則此時(shí) x1,x2 均為原方程的根，命題成立。 若 f(x1)f(x2)0，由一元二次方程的圖象即知 f(x)=3ax2+2bx(a+b)在 (x1,x2)上與 x軸有一交點(diǎn) ，而這即表明原方程在 (x1,x2)上有一實(shí)根，故原方程在（ 0， 1）上有一實(shí)根，命題成立。 綜上所述，所證命題成立。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 某地區(qū)地理環(huán)境偏僻，嚴(yán)重制約著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某種土特產(chǎn)只能在本地區(qū)銷售，該地區(qū)政府每年投資 x萬元，所