【正文】 最大 …… (6 分 ) ∵ 4 5 0)1 0 0( 22 ???? xy ∴ 當(dāng) 450,]120,0[100 2 ??? 最大時 yx …… (8 分 ) (3)令 4502020970 ?? a ,得 a= …… (9 分 ) ∴ 當(dāng) 4≤a 時 ,投資甲產(chǎn)品 …… (10 分 ) 當(dāng) a≤8 時 ,投資乙產(chǎn)品 …… (11 分 ) 當(dāng) a= 時 ,投資甲乙兩產(chǎn)品均可 …… (12 分 ) (由 4502020 9 7 04502020 9 7 0 ???? aa 或也可 ) 來源： 題型：解答題，難度：中檔 已知 ),(42)( 2 Rcbacbxaxxf ???? （Ⅰ）當(dāng) 0?a 時，若函數(shù) f (x)的圖象與直線 xy ?? 均無公共點，求證 。 答案： D=（－ 3,1） ),3( ??? ，又因為 f(x)= loga 在（－ 3,1）為減函數(shù)。 （ 1）要使工廠有贏利，產(chǎn)量 x應(yīng)控制在什么范圍？ （ 2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使贏利最多？ （ 3）求贏利最多時每臺產(chǎn)品的售價。即 0782 ??? xx . ∴ 1x7，∴ 51 ??x 。 ∴ ??x 。 （ 2） 50 ??x 時， )4()( 2 ???? xxf ，故當(dāng) x=4 時， f(x)有最大值 .（ 8 分）而當(dāng) x5 時， )( ???xf 所以，當(dāng)工廠生產(chǎn) 400 臺產(chǎn)品時，贏利最多 . （ 3）即求 x=4 時的每臺產(chǎn)品的售價 .此時售價為 4 )4( ?R（萬元 /百臺） =240 元 /臺 . 來源： 題型：解答題，難度：中檔 已知 a0， f(x)=ax2+bx+c，對任意 x∈ R 有 f(x+2)=f(2x)，若 f(12x2)f(1+2xx2)，求 x 的取值范圍。 答案： 由函數(shù)解析式得 (y1)x2+3(y+1)x+4y4=0. ① 當(dāng) y? 1 時，①式是關(guān)于 x 的方程有實根。 來 源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題三 題型：解答題，難度：中檔 設(shè)實數(shù) a,b,c,m 滿足條件： mcm bm a ???? 12 =0，且 a≥ 0,m0，求證：方程 ax2+bx+c=0有一根 x0 滿足 0x01. 答案： 證明：由已知得 a 1?mm +c=0，設(shè) f(x)=ax2+bx+c. 若 a=0，則 01 ??????? ?mmf結(jié)論成立。mmm22 2?ammm22 2?+b ⅱ )若 c≤ 0，則 f(1)=a+b+c=a+c21??mmamm1?c=21?mam1c0， 所以 f(x)=0 在 ?????? ? 1,1mm上有一根。 8 分 (3)解： f(x)=??? ???? ???? 96 ,5)7(2 64 ,1532 xxxx . 12 分 來源： 題型：解答題，難度：較難 若 abcd，求證：對任意實數(shù) t? 1, 關(guān)于 x的方程 (xa)(xc)+t(xb)(xd)=0 都有兩個不等的實根。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：中檔 定義在 R上的函數(shù) f(x)滿足：如果對任意 x1， x2∈ R，都有 f( 2 21 xx? )≤ 21 ［ f(x1)+f(x2)］，則稱函數(shù) f(x)是 R上的凹函數(shù) .已知函數(shù) f(x)＝ ax2+x(a∈ R且 a≠ 0)， (1)求證：當(dāng) a＞ 0 時，函數(shù) f(x)是凹函數(shù)； (2)如果 x∈［ 0， 1］時，│ f(x)│≤ 1，求實數(shù) a 的范圍 . 答案： .(1)證明：對任意 x x2∈ R，∵ a＞ 0，∴ f(x1)+f(x2)－ 2f(2 21 xx?) =ax12+x1+ax22+x2－ 2［ a(2 21 xx?)2+2 21 xx?］ =21a(x1－ x2)2≥ 0. ∴ f(2 21 xx?)≤21［ f(x1)+f(x2)］，∴ f(x)是凹函數(shù) . 6 分 (2)解：由│ f(x)│≤ 1? － 1≤ f(x)≤ 1? － 1≤ ax2＋ x≤ 1.( * ) 當(dāng) x＝ 0 時， a∈ R。 同時 (x1 － 21 )2－ 41 取最小值 0，∴－ 2≤ a≤ 0. ∵ a≠ 0，∴－ 2≤ a＜ 0. 14 分 來源： 題型：解答題，難度：較難 已知 y=f(x)是定義域為 [6， 6]的奇 函數(shù)，且當(dāng) x∈ [0， 3]時是一次函數(shù)，當(dāng) x∈ [3， 6]時是二次函數(shù)，又 f(6)=2，當(dāng) x∈ [3， 6]時， f(x)≤ f(5)=3。 答案： 因為 f(x)為奇函數(shù)，所以 f(0)=f(0), f(0)=0，當(dāng) x∈ [0, 3]時，設(shè) f(x)=kx+b, 則 b=0。因為 f(6)=2，所以 a+3=2，所以 a=1. 所以x∈ [3, 6]時 f(x)=(x5)2+3=x2+10x22，所以 f(3)=1，所以 3k=1，所以 31??k 。證明 ：這種練習(xí)不可能無限次繼續(xù)下去，并求最多能延續(xù)的次數(shù)。 綜合?。ⅱⅲ┛傻?n≤ 5. 若 p30q3，則由?????????233233 qqp pqp 可知 p2q20，從而 0p1q1。 若 p3q30，則由?????????233233 qqp pqp 可知 0p2q2，同上面推理可得 n≤ 4； 若 p3=0，則 f3(x)=x2+q3=0 無實根，所以 n≤ 3。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 對于函數(shù) 1)( 2 ??? bxaxxf （ a＞ 0），如果方程 xxf ?)( 有相異兩根 1x ， 2x ． （ 1）若 21 1 xx ?? ，且 )(xf 的圖象關(guān)于直線 x＝ m對稱．求證：21?m； （ 2）若 20 1??x 且 2|| 21 ??xx ，求 b的取值范圍； （ 3） ? 、 ? 為區(qū)間 1[x ， ]2x 上的兩個不同的點，求證： 02))(1(2 ????? ???? ba ． 答案： （ 1） 1)1()()( 2 ?????? xbaxxxfxg ，且 a＞ 0．因為 21 1 xx ?? ，所以0)1)(1( 21 ??? xx ，即 12121 ??? xxxx ，于是 )11(212 aababmx ??????? )(21 21 xx ?? 21]1)[(21)(2121 212121 ??????? xxxxxx ． （ 2 ）由方程2)( axxg ? 01)1( ???? xb ，可知 0121 ??axx ，所以 1x 、 2x 同號．由 20 1??x ，則212 ??xx ， 所 以 02 12 ??? xx ， 所 以 0)2( ?g ，即 4a ＋ 2b1 ＜ 0 ，又44)1()( 2 2212 ????? aabxx ，所以 1)1(12 2 ???? ba ，（因為 a＞ 0）代入①式得：bb 231)1(2 2 ???? ，解之得 41?b ． （ 3）由條件得 abxx ??? 121 ， axx 121 ? ，不妨設(shè) ??? ，則)(20 1x?? ? ))((222)(22)( 2121212 ????????? ????????? xxxxxxx 212 xx????????? axxxxxx 22))((22))(( 212121 ????????? 2))(1( ???? ??b ，故02))(1(2 ????? ???? ba ． 來源： 題型：解答題，難度：較難 求函數(shù) f(x)= 11363 2424 ?????? xxxxx 的最大值。 因為 |PA||PA|≤ |AB|= 10)12(3 22 ??? ,當(dāng)且僅當(dāng) P為 AB延長線與拋物線 y=x2的交點時等號成立。求 l(a)的最大值及相應(yīng) a 的值。 因為當(dāng) x∈ ?????? 21,0時， 3≤ f(x)≤ 5，當(dāng) x∈ ?????? ?2 51,21 時， 5≤ f(x)≤ 5, 而當(dāng) x 251? 時， f(x)5，所以此時 l(a)= .251? 若 fmax=3 a16 5 即 a8 時，令 f(x)=5 得 ax2+8x2=0. x1= a a2 8648 ??? = a a2164 ??? =214216 2 ??? a,又 x1x2, 而當(dāng) 0≤ x≤ x1 時， 3≤ f(x)≤ 5，當(dāng) x1xx2 時， f(x)5，所以此時 l(a)21 . 若 fmax=3 a16 5,即 a8 時， 令 f(x)=5 得 ax2+8x+8=0. x2= a a2 32648 ??? = a a8164 ??? = .2 514816 8 ???? a 綜上所述， l(a)≤ 251? ,所以 l(a)的最大值是 251? ，此時 a=8. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 設(shè) x1,x2,… ,xn∈ [a, a+1]，且設(shè) x= ??ni ixn 11 , y= ??nj jxn 121 , 求 f =yx2 的最大值。 f(x1,x2,… ,xn)≤ max{f(a,x2,… ,xn),f(a+1,x2,… ,xn)}。 答案： |F(x)|=|(a+b)x2+b(x2)+c| = )0()(2 )1()1())0()1(( 22 fxxffxff ?????? = .)0()1()1(2)1(2 222 fxfxxfxx ?????? 當(dāng) 0≤ x≤ 1 時， |F(x)≤ | ?????? 222 122 xxxxx x2+x+1≤ 45 , 當(dāng) 1≤ x≤ 0 時， |F(x)≤ ??????? 222 122 xxxxx x2+x+1≤ 45 , 綜上所述， |F(x)|≤ 45 .當(dāng) F(x)=x2+x+1 且 x=21 時 |F(x)|max= .45 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 已知 f(x)=x2+ax+b，若存在實數(shù) m，使得 |f(m)|≤41,|f(m+1)|≤41,求 △ =a24b 的最大值和最小值。 而不等式組的解集為 ?????? ???????? 2 1,2 1 aa ∪ ?????? ???????? 2 1,2 1 aa ， 若 m 存在，則 11 ????? ≥ 2 或??????????????11211 ，所以 △ ≤ 2。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 設(shè)二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈ R, a? 0)滿足下列條件： 1）當(dāng) x∈ R 時， f(x4)=f(2x)，且 f(x)≥ x； 2）當(dāng) x∈ (0, 2)時， f(x)≤ 221?????? ?x。 求最大的 m(m1)，使得存在 t∈ R，只要 x∈ [1, m]就有 f(x+t)≤ x. 答案： 因為 f(x4)=f(2x),令 t=x3，則 f(1+t)=f(1t)，所以 1 為 f(x)圖象的對稱軸， 由（ 3）可知 a0，并可設(shè) f(x)=a(x+1)2(a0), 由（ 1）得 f(1)≥ 1，由（ 2）得 f(1)≤ 1,所以 f(1)=1, 所以 a=41 ,所以 f(x)=41 (x+1)2. 又 f(x+t)≤ x? 41 (x+t+1)2≤ x? x2+2(t1)x+(t+1)2≤ 0 ① 當(dāng) t=4 時，方程 x2+2(t1)x+(t+1)2=0 ②的兩根為 1 和 9。 答案： 證明：當(dāng) a=0 時，方程變?yōu)?2bx=b，則無論 b(b? 0)為何值，總有根 x=21∈ (0,1). 當(dāng) a? 0 時，記 f(x)=3ax2+2bx(a+b)，下面找出 x1x2，使得 f(x1)f(x2)≤ 0。 解得 x1= 633? , x1= .633? 故找到 x1x2，使得 f(x1)f(x2)=f(x1)[f(x1)]=f2(x1)≤ 0 成立。 若 f(x1)f(x2)0，由一元二次方程的圖象即知 f(x)=3ax2+2bx(a+b)在 (x1,x2)上與 x軸有一交點 ，而這即表明原方程在 (x1,x2)上有一實根，故原方程在（ 0， 1）上有一實根，命題成立。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 某地區(qū)地理環(huán)境偏僻，嚴(yán)重制約著經(jīng)濟的發(fā)展，某種土特產(chǎn)只能在本地區(qū)銷售，該地區(qū)政府每年投資 x萬元，所獲