【正文】 ???????????xzzyyx2221.11 （在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)） 答案： 首先 x, y, z 均不為 0，否則設(shè) x=0，則 y=1, z=0，所以 x=0 矛盾。 代入原方程組得 x2+x1=0，所以 x= 2 51?? . 又 0x1，所以 x=y=z= 2 51?? . 若 y0，則因?yàn)?1x20，所以 x2=1y1. 又 x=1z2≤ 1，所以 x1，所以 1z21，所以 z22. 又 z=1y21，所以 z1，所以 x, y, z0. 又 f(t)=1t2 在 (∞ , 0)上遞增，同理可得 x=y=z，代入原方程解得 x=y=z= .2 51?? 綜上可得方程組的解為 x=y=z= 2 51?? . 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題三 題型：解答題，難度：較難 某租賃公司擁有汽車 100輛 . 當(dāng)每輛車的月租金為 3000元時(shí)，可全部租出 . 當(dāng)每輛車的月租金每增加 50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛 . 租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi) 150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi) 50元 . （Ⅰ）當(dāng)每輛車的月租金定為 3600元時(shí)，能租出多少輛車？ （Ⅱ）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 答案： 解：（Ⅰ ）當(dāng)每輛車的月租金定為 3600元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為 125030003600 ??，所以這時(shí)租出了 88輛車 . （Ⅱ）設(shè)每輛車的月租金定為 x元，則租賃公司的月收益為50503000)150)(503000100()( ??????? xxxxf ， 整理得 3070 50)4050(5012100 016250)( 22 ???????? xxxxf所以，當(dāng) x=4050時(shí)， )(xf 最大，最大值為 307050)4050( ?f ， 即當(dāng)每輛車的月租金定為 4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大月收益為 307050元 . 來(lái) 源： 03 北京市春 題型：解答題，難度：中檔 試求 ? 分別是 900， 600時(shí)，弦 AB所掃過(guò)的面積 . 已知二次函數(shù) )(xgy? 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0,0 ）、（ 0,m ）與點(diǎn)（ 1,1 ?? mm ）， （ 1）求 )(xgy ? 的解析式；（ 2）設(shè) )()()( xgnxxf ?? （ 0??nm ），且在 ax? 和bx? （ ab? ）處取到極值，①求證 manb ??? ；②若 22??nm ，則過(guò)原點(diǎn)且與曲線 )(xfy? 相切的兩條直線能否互相垂直，請(qǐng)證明你的結(jié)論 .③若 22??nm ，且過(guò)原點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線與曲線 )(xfy? 均相切，求 )(xfy? 的方程 . 答案： 解：（ 1）設(shè) cbxaxxg ??? 2)( （ 0?a ），由題意得???????????1)1(002bmabmamc ，解得?????????01cmba ，所以 mxxxg ?? 2)( .┈ 4分 （ 2）① )()()( xgnxxf ?? m n xxnmx ???? 23 )( ，求導(dǎo)數(shù)得mnxnmxxf ????? )(23)( 2 ，由題意知 ba, 是二次方程 0)( ?? xf 的兩個(gè)實(shí)根 .因?yàn)?)0( ??? mnf ， 0)()( ???? mnnnf ， 0)()( ???? nmmmf ，故兩根 ax? 和 bx?分布在區(qū)間（ n,0 ）和（ mn, ）內(nèi)，必有 manb ??? ；┈ 7分 ②設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與曲線 )(xfy? 相切的直線的切點(diǎn)為（ 00,yx ），則0y 02030 )( m n xxnmx ???? ，切線的斜率為 mnxnmxxf ????? 0200 )(23)( ，切線方程為 ))(( 000 xxxfyy ???? .因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則有 )0)((0 000 xxfy ???? ，即02030 )( m nxxnmx ??? ))(23( 0200 mnxnmxx ???? ，整理為 0)](2[ 020 ??? nmxx ，解得 00?x 或 20 nmx ??，代入 mnxnmxxf ????? 0200 )(23)( 得兩條切線的斜率分別為 mnk ?1 ， mnnmk ???? 4 )( 22.由于 22??nm ，則 8)( 2 ??nm ，從而mnmnnmk ??????? 24 )( 22 ，在不等式 mnk ??? 22 兩邊同乘以正數(shù) 1k 得11)1()2( 221 ????????? mnmnmnkk ，即 121 ???kk ，所以兩條切線不可能垂直 . ┈ 10分 ③由②，由于 22??nm ，則 8)( 2 ??nm ，由 mnk ??? 22 得11)1()2( 221 ????????? mnmnmnkk ，兩條切線垂直即 121 ???kk ，所以必有22??nm 且 1?mn ，解?????? 1 22mn nm可得????? ?? 122 122nm，所以 )(xfy? 的方程為)122)(122( ????? xxxy .┈ 13分 來(lái)源： 題型：解答題，難度：較難 隨著我國(guó)加入 WTO,某企業(yè)決定從甲、乙兩種暢銷產(chǎn)品中選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn) ,打入國(guó)際市場(chǎng)已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有 關(guān)數(shù)據(jù)如下表 (單位 :萬(wàn)美元 ) 年固定成本 每件產(chǎn)品成本 每件產(chǎn)品 銷售價(jià) 每年最多生產(chǎn)的件數(shù) 甲產(chǎn)品 30 a 10 200 乙產(chǎn)品 50 8 18 120 其中年固定成本與生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān) ,a為常數(shù) ,且 4≤a≤8 另外 ,年銷售 x件乙產(chǎn)品時(shí)需上交 . (1)寫(xiě)出該廠分別投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn) y1,y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù))( Nxx ? 之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)； ⑶ 如何決定投資可獲最大年利潤(rùn) ? 答案： 項(xiàng) 目 類 別 解： (1) 依題： Nxxxay ?????? ,2020,30)10(1 …… (2 分 ) Nxxxxy ??????? ,1 2 00, 22 …… (4 分 ) (2) ∵ ,010 ??a ∴ ?? 上是增函數(shù)在 2 0 0,0,30)10(1 ??? xay ∴ aay 2 0 01 9 7 0302 0 0)10(1 ??????最大 …… (6 分 ) ∵ 4 5 0)1 0 0( 22 ???? xy ∴ 當(dāng) 450,]120,0[100 2 ??? 最大時(shí) yx …… (8 分 ) (3)令 4502020970 ?? a ,得 a= …… (9 分 ) ∴ 當(dāng) 4≤a 時(shí) ,投資甲產(chǎn)品 …… (10 分 ) 當(dāng) a≤8 時(shí) ,投資乙產(chǎn)品 …… (11 分 ) 當(dāng) a= 時(shí) ,投資甲乙兩產(chǎn)品均可 …… (12 分 ) (由 4502020 9 7 04502020 9 7 0 ???? aa 或也可 ) 來(lái)源： 題型：解答題，難度：中檔 已知 ),(42)( 2 Rcbacbxaxxf ???? （Ⅰ）當(dāng) 0?a 時(shí)，若函數(shù) f (x)的圖象與直線 xy ?? 均無(wú)公共點(diǎn)，求證 。 （ 1）要使工廠有贏利，產(chǎn)量 x應(yīng)控制在什么范圍？ （ 2）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最多？ （ 3）求贏利最多時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)。 ∴ ??x 。 答案： 由函數(shù)解析式得 (y1)x2+3(y+1)x+4y4=0. ① 當(dāng) y? 1 時(shí)，①式是關(guān)于 x 的方程有實(shí)根。 1?mm +c=0，設(shè) f(x)=ax2+bx+c. 若 a=0，則 01 ??????? ?mmf結(jié)論成立。mmm22 2?+b 8 分 (3)解： f(x)=??? ???? ???? 96 ,5)7(2 64 ,1532 xxxx . 12 分 來(lái)源： 題型：解答題，難度：較難 若 abcd，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù) t? 1, 關(guān)于 x的方程 (xa)(xc)+t(xb)(xd)=0 都有兩個(gè)不等的實(shí)根。 同時(shí) (x1 － 21 )2－ 41 取最小值 0，∴－ 2≤ a≤ 0. ∵ a≠ 0，∴－ 2≤ a＜ 0. 14 分 來(lái)源： 題型：解答題，難度：較難 已知 y=f(x)是定義域?yàn)?[6， 6]的奇 函數(shù)，且當(dāng) x∈ [0， 3]時(shí)是一次函數(shù)，當(dāng) x∈ [3， 6]時(shí)是二次函數(shù)，又 f(6)=2，當(dāng) x∈ [3， 6]時(shí)， f(x)≤ f(5)=3。因?yàn)?f(6)=2，所以 a+3=2，所以 a=1. 所以x∈ [3, 6]時(shí) f(x)=(x5)2+3=x2+10x22，所以 f(3)=1，所以 3k=1，所以 31??k 。 綜合?。?、ⅱ）可得 n≤ 5. 若 p30q3，則由?????????233233 qqp pqp 可知 p2q20，從而 0p1q1。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題二 題型：解答題，難度：較難 對(duì)于函數(shù) 1)( 2 ??? bxaxxf （ a＞ 0），如果方程 xxf ?)( 有相異兩根 1x ， 2x ． （ 1）若 21 1 xx ?? ，且 )(xf 的圖象關(guān)于直線 x＝ m對(duì)稱．求證：21?m； （ 2）若 20 1??x 且 2|| 21 ??xx ，求 b的取值范圍； （ 3） ? 、 ? 為區(qū)間 1[x ， ]2x 上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證： 02))(1(2 ????? ???? ba ． 答案： （ 1） 1)1()()( 2 ?????? xbaxxxfxg ，且 a＞ 0．因?yàn)?21 1 xx ?? ，所以0)1)(1( 21 ??? xx ，即 12121 ??? xxxx ，于是 )11(212 aababmx ??????? )(21 21 xx ?? 21]1)[(21)(2121 212121 ??????? xxxxxx ． （ 2 ）由方程2)( axxg ? 01)1( ???? xb ，可知 0121 ??axx ，所以 1x 、 2x 同號(hào)．由 20 1??x ，則212 ??xx ， 所 以 02 12 ??? xx ， 所 以 0)2( ?g ，即 4a ＋ 2b1 ＜ 0 ，又44)1()( 2 2212 ????? aabxx ，所以 1)1(12 2 ???? ba ，（因?yàn)?a＞ 0）代入①式得：bb 231)1(2 2 ???? ，解之得 41?b ． （ 3）由條件得 abxx ??? 121 ， axx 121 ? ，不妨設(shè) ??? ，則)(20 1x?? ? ))((222)(22)( 2121212 ????????? ????????? xxxxxxx 212 xx????????? axxxxxx 22))((22))(( 212121 ????????? 2))(1( ???? ??b ，故02))(1(2 ????? ???? ba ． 來(lái)源： 題型：解答題，難度：較難 求函數(shù) f(x)= 11363 2424 ?????? xxxxx 的最大值。求 l(a)的最大值及相應(yīng) a 的值。 f(x1,x2,… ,xn)≤ max{f(a,x2,… ,xn),f(a+1,x2,… ,xn)}。 而不等式組的解集為 ?????? ???????? 2 1,2 1 aa ∪ ?????? ???????? 2 1,2 1 aa ， 若 m 存在，則 11 ????? ≥ 2 或??????????????11211 ，所以 △ ≤ 2。 求最大的 m(m1)，使得存在 t∈ R，只要 x∈ [1, m]就有 f(x+t)≤ x. 答案： 因?yàn)?f(x4)=f(2x),令 t=x3，則 f(1+t)=f(1t)，所以 1 為 f(x)圖象的對(duì)稱軸， 由（ 3）可知 a0，并可設(shè) f(x)=a(x+1)2(a0), 由（ 1）得 f(1)≥ 1，由（ 2）得 f(1)≤ 1,所以 f(1)=1, 所以 a=41 ,所以 f(x)=41 (x+1)2. 又 f(x+t)≤ x? 41 (x+t+1)2≤ x? x2+2(t1)x+(t+1)2≤ 0 ① 當(dāng) t=4 時(shí)，方程 x2+2(t1)x+(t+1)2=0 ②的兩根為 1 和 9。 解得 x1= 633? , x1= .633? 故找到 x1x2，使得 f(x1)f(x2)=f(x1)[f(x1)]=f2(x1)≤ 0 成立。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題二 題型：解答題，難度：較難 某地區(qū)地理環(huán)境偏僻，嚴(yán)重制約著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，某種土特產(chǎn)只能在本地區(qū)銷售，該地區(qū)政府每年投資 x萬(wàn)元，所獲