【正文】 y ．…… 6分 （Ⅱ）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當 ??? ?? ???? .10 ,01000)(xy即 ??? ?? ??? .10 ,02060 2x xx …… 9分 解不等式得 310 ??x ． 答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例 x 應滿足 ?? x ． …… 12分 來源： 01 春季高考 題型：解答題，難度：中檔 已知二次函數(shù) )(xf 的二次項系數(shù)為負，對任意實數(shù) x都有 )2()2( xfxf ??? ，問當)21( 2xf ? 與 )21( 2xxf ?? 滿足什么條件時才有 2＜ x＜ 0？ 答案： 由已知 hxay ???? 2)2( ， )0( ?a ． ∴ )(xf 在（ ∞， ]2 上單增，在（ 2，＋∞）上單調(diào)． 又∵ 121 2 ?? x ， 22)1(21 22 ??????? xxx ． ∴ 需討論 221 x? 與 221 xx?? 的大?。? 由 )2()21(21 22 ?????? xxxxx 知 當 0)2( ??xx ，即 02 ??? x 時， 22 2121 xxx ???? ． 故 )21()21( 22 xfxxf ???? 時，應有 02 ??? x ． 來源： 題型：解答題，難度：中檔 經(jīng)市場調(diào)查分析知，某地 2020年從年初開始的前 n個月，對某種商品需求總量 f(n)(萬件 )近似地滿足下列關系 : f(n)= ,12)1,2,3,(n )235)(1(1501 ???? nnn (1)寫出 2020年第 n個月這種商品需求量 g(x)(萬件 )與月份 n的函數(shù)關系式，并求出哪幾個月的需求量超過 。 代入原方程組得 x2+x1=0，所以 x= 2 51?? . 又 0x1，所以 x=y=z= 2 51?? . 若 y0，則因為 1x20，所以 x2=1y1. 又 x=1z2≤ 1，所以 x1，所以 1z21，所以 z22. 又 z=1y21，所以 z1，所以 x, y, z0. 又 f(t)=1t2 在 (∞ , 0)上遞增，同理可得 x=y=z，代入原方程解得 x=y=z= .2 51?? 綜上可得方程組的解為 x=y=z= 2 51?? . 來源： 08 年數(shù)學競賽專題三 題型：解答題，難度：較難 某租賃公司擁有汽車 100輛 . 當每輛車的月租金為 3000元時，可全部租出 . 當每輛車的月租金每增加 50元時，未租出的車將會增加一輛 . 租出的車每輛每月需要維護費 150元，未租出的車每輛每月需要維護費 50元 . （Ⅰ）當每輛車的月租金定為 3600元時，能租出多少輛車？ （Ⅱ）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 答案： 解：（Ⅰ ）當每輛車的月租金定為 3600元時，未租出的車輛數(shù)為 125030003600 ??，所以這時租出了 88輛車 . （Ⅱ）設每輛車的月租金定為 x元，則租賃公司的月收益為50503000)150)(503000100()( ??????? xxxxf ， 整理得 3070 50)4050(5012100 016250)( 22 ???????? xxxxf所以，當 x=4050時， )(xf 最大，最大值為 307050)4050( ?f ， 即當每輛車的月租金定為 4050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為 307050元 . 來 源： 03 北京市春 題型：解答題，難度：中檔 試求 ? 分別是 900， 600時，弦 AB所掃過的面積 . 已知二次函數(shù) )(xgy? 的圖象經(jīng)過點（ 0,0 ）、（ 0,m ）與點（ 1,1 ?? mm ）， （ 1）求 )(xgy ? 的解析式；（ 2）設 )()()( xgnxxf ?? （ 0??nm ），且在 ax? 和bx? （ ab? ）處取到極值，①求證 manb ??? ；②若 22??nm ，則過原點且與曲線 )(xfy? 相切的兩條直線能否互相垂直，請證明你的結論 .③若 22??nm ，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線 )(xfy? 均相切，求 )(xfy? 的方程 . 答案： 解：（ 1）設 cbxaxxg ??? 2)( （ 0?a ），由題意得???????????1)1(002bmabmamc ，解得?????????01cmba ，所以 mxxxg ?? 2)( .┈ 4分 （ 2）① )()()( xgnxxf ?? m n xxnmx ???? 23 )( ，求導數(shù)得mnxnmxxf ????? )(23)( 2 ，由題意知 ba, 是二次方程 0)( ?? xf 的兩個實根 .因為0)0( ??? mnf ， 0)()( ???? mnnnf ， 0)()( ???? nmmmf ，故兩根 ax? 和 bx?分布在區(qū)間（ n,0 ）和（ mn, ）內(nèi)，必有 manb ??? ；┈ 7分 ②設過原點且與曲線 )(xfy? 相切的直線的切點為（ 00,yx ），則0y 02030 )( m n xxnmx ???? ，切線的斜率為 mnxnmxxf ????? 0200 )(23)( ，切線方程為 ))(( 000 xxxfyy ???? .因為切線經(jīng)過原點，則有 )0)((0 000 xxfy ???? ，即02030 )( m nxxnmx ??? ))(23( 0200 mnxnmxx ???? ，整理為 0)](2[ 020 ??? nmxx ，解得 00?x 或 20 nmx ??，代入 mnxnmxxf ????? 0200 )(23)( 得兩條切線的斜率分別為 mnk ?1 ， mnnmk ???? 4 )( 22.由于 22??nm ，則 8)( 2 ??nm ，從而mnmnnmk ??????? 24 )( 22 ，在不等式 mnk ??? 22 兩邊同乘以正數(shù) 1k 得11)1()2( 221 ????????? mnmnmnkk ，即 121 ???kk ，所以兩條切線不可能垂直 . ┈ 10分 ③由②，由于 22??nm ，則 8)( 2 ??nm ，由 mnk ??? 22 得11)1()2( 221 ????????? mnmnmnkk ，兩條切線垂直即 121 ???kk ，所以必有22??nm 且 1?mn ，解?????? 1 22mn nm可得????? ?? 122 122nm，所以 )(xfy? 的方程為)122)(122( ????? xxxy .┈ 13分 來源： 題型：解答題，難度：較難 隨著我國加入 WTO,某企業(yè)決定從甲、乙兩種暢銷產(chǎn)品中選擇一種進行投資生產(chǎn) ,打入國際市場已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有 關數(shù)據(jù)如下表 (單位 :萬美元 ) 年固定成本 每件產(chǎn)品成本 每件產(chǎn)品 銷售價 每年最多生產(chǎn)的件數(shù) 甲產(chǎn)品 30 a 10 200 乙產(chǎn)品 50 8 18 120 其中年固定成本與生產(chǎn)的件數(shù)無關 ,a為常數(shù) ,且 4≤a≤8 另外 ,年銷售 x件乙產(chǎn)品時需上交 . (1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤 y1,y2與生產(chǎn)相應產(chǎn)品的件數(shù))( Nxx ? 之間的函數(shù)關系式； (2)分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大年利潤； ⑶ 如何決定投資可獲最大年利潤 ? 答案： 項 目 類 別 解： (1) 依題： Nxxxay ?????? ,2020,30)10(1 …… (2 分 ) Nxxxxy ??????? ,1 2 00, 22 …… (4 分 ) (2) ∵ ,010 ??a ∴ ?? 上是增函數(shù)在 2 0 0,0,30)10(1 ??? xay ∴ aay 2 0 01 9 7 0302 0 0)10(1 ??????最大 …… (6 分 ) ∵ 4 5 0)1 0 0( 22 ???? xy ∴ 當 450,]120,0[100 2 ??? 最大時 yx …… (8 分 ) (3)令 4502020970 ?? a ,得 a= …… (9 分 ) ∴ 當 4≤a 時 ,投資甲產(chǎn)品 …… (10 分 ) 當 a≤8 時 ,投資乙產(chǎn)品 …… (11 分 ) 當 a= 時 ,投資甲乙兩產(chǎn)品均可 …… (12 分 ) (由 4502020 9 7 04502020 9 7 0 ???? aa 或也可 ) 來源： 題型：解答題，難度：中檔 已知 ),(42)( 2 Rcbacbxaxxf ???? （Ⅰ）當 0?a 時，若函數(shù) f (x)的圖象與直線 xy ?? 均無公共點，求證 。 ∴ ??x 。 1?mm +c=0，設 f(x)=ax2+bx+c. 若 a=0，則 01 ??????? ?mmf結論成立。 8 分 (3)解： f(x)=??? ???? ???? 96 ,5)7(2 64 ,1532 xxxx . 12 分 來源： 題型：解答題，難度：較難 若 abcd，求證：對任意實數(shù) t? 1, 關于 x的方程 (xa)(xc)+t(xb)(xd)=0 都有兩個不等的實根。因為 f(6)=2，所以 a+3=2，所以 a=1. 所以x∈ [3, 6]時 f(x)=(x5)2+3=x2+10x22，所以 f(3)=1，所以 3k=1，所以 31??k 。 來源： 08 年數(shù)學競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 對于函數(shù) 1)( 2 ??? bxaxxf （ a＞ 0），如果方程 xxf ?)( 有相異兩根 1x ， 2x ． （ 1）若 21 1 xx ?? ，且 )(xf 的圖象關于直線 x＝ m對稱．求證：21?m； （ 2）若 20 1??x 且 2|| 21 ??xx ，求 b的取值范圍； （ 3） ? 、 ? 為區(qū)間 1[x ， ]2x 上的兩個不同的點，求證： 02))(1(2 ????? ???? ba ． 答案： （ 1） 1)1()()( 2 ?????? xbaxxxfxg ，且 a＞ 0．因為 21 1 xx ?? ，所以0)1)(1( 21 ??? xx ，即 12121 ??? xxxx ，于是 )11(212 aababmx ??????? )(21 21 xx ?? 21]1)[(21)(2121 212121 ??????? xxxxxx ． （ 2 ）由方程2)( axxg ? 01)1( ???? xb ，可知 0121 ??axx ，所以 1x 、 2x 同號．由 20 1??x ，則212 ??xx ， 所 以 02 12 ??? xx ， 所 以 0)2( ?g ，即 4a ＋ 2b1 ＜ 0 ，又44)1()( 2 2212 ????? aabxx ，所以 1)1(12 2 ???? ba ，（因為 a＞ 0）代入①式得：bb 231)1(2 2 ???? ，解之得 41?b ． （ 3）由條件得 abxx ??? 121 ， axx 121 ? ，不妨設 ??? ，則)(20 1x?? ? ))((222)(22)( 2121212 ????????? ????????? xxxxxxx 212 xx????????? axxxxxx 22))((22))(( 212121 ????????? 2))(1( ???? ??b ，故02))(1(2 ????? ???? ba ． 來源： 題型：解答題，難度：較難 求函數(shù) f(x)= 11363 2424 ?????? xxxxx 的最大值。 f(x1,x2,… ,xn)≤ max{f(a,x2,… ,xn),f(a+1,x2,… ,xn)}。 求最大的 m(m1)，使得存在 t∈ R，只要 x∈ [1, m]就有 f(x+t)≤ x. 答案： 因為 f(x4)=f(2x),令 t=x3，則 f(1+t)=f(1t)，所以 1 為 f(x)圖象的對稱軸， 由（ 3）可知 a0，并可設 f(x)=a(x+1)2(a0), 由（ 1）得 f(1)≥ 1，由（ 2）得 f(1)≤ 1,所以 f(1)=1, 所以 a=41 ,所以 f(x)=41 (x+1)2. 又 f(x+t)≤ x? 41 (x+t+1)2≤ x? x2+2(t1)x+(t+1)2≤ 0 ① 當 t=4 時，方程 x2+2(t1)x+(t+1)2=0 ②的兩根為 1 和 9。 來源： 08 年數(shù)學競賽專題二 題型：解答題，難度：較難 某地區(qū)地理環(huán)境偏僻，嚴重制約著經(jīng)濟的發(fā)展，某種土特產(chǎn)只能在本地區(qū)銷售，該地區(qū)政府每年投資 x萬元，所獲