【正文】 012 xybkxy ①與???? ?? ???? bkxy yxx 05224 2 ②均無解，由①得 ?01)12( 222 ????? bxkbxk ③。由引理可知， A的全部二元子集可分為 2k1組，每組是 A的一個(gè)分劃。 2? 。因此，所有 2m個(gè)這 樣的朋友集的元素個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 {1， 2，?， 3n}可以劃分成 n 個(gè)互不相交的三元集合 },{ zyx ，其中 zyx 3?? ，求滿足條件的最小正整數(shù) 答案： 設(shè)其中第 i 個(gè)三元集為 ,2,1},{ nizyx ii ?? 則 1+2+? + ???ni izn 1 ,43 所以 ???? ni iznn142)13(3 。 答案： 所給集合的元素個(gè)數(shù)的最小值為 100。又由于（ a1+b1, a1） =1, （ a1+b1, b1） =1, 因此 a1+b1|c。 答案： 將集合 {1， 2，?， 1989}中的數(shù)從小到大順次分成 17 段，每段含 117 個(gè)數(shù)，從第 4 段數(shù)開始，將偶數(shù)段的數(shù)從小到大依次放入 A1， A2， ?， A117 中，并將奇數(shù)段的數(shù)從大到小依次放入這 117 個(gè)子集中，易見，所有集合中的 14 個(gè)數(shù)之 和都相等，于是問題歸結(jié)為如何將前三段數(shù) {1， 2，?， 351}的每 3 個(gè)一組分別放入每個(gè)集中，且使每組 3 個(gè)數(shù)之和都相等。 所以由抽屜原理可知必有 1 個(gè)元素出現(xiàn)在三個(gè)五元子集中，不 妨設(shè) 1 出現(xiàn)在 A1， A2，A3中，則 0， 1 同時(shí)出現(xiàn)在 3 個(gè)子集中，不滿足題意，故五元子集數(shù) ≤8。故此情況不成立。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 S 是 Q 的子集且滿足：若 Qr? ，則 0, ???? rSrSr 恰有一個(gè)成立，并且若SbSa ?? , ，則 SbaSab ??? , ，試確定集合 S。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 已知 S 是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足 1） 2。 綜上所述，假設(shè)不成立。 只需分 m=6k+1, 6k+3, 6k+5 三類討論即可。 解得 a=0 或 a=1。下面確定 n 與 m、 k的關(guān)系。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：中檔 設(shè)集合 P={1， 2， 3， 4， 5}，對(duì)任意 k∈ P 和正整數(shù) m，記 f(m， k)=?? ?????? ??51 11i ikm ，其中 [a]表示不大于 a的最大整數(shù)。 ． 答案： （Ⅰ）由 2 02? ??xx 得 22x? ? ? .∴ ? ?22A x x? ? ? ?. 由 21x??.得 13x??.∴ ? ?13B x x? ? ? . （Ⅱ）∵ ? ?22A x x? ? ? ?， U?R ， ∴ ? ? ? ?, 2 2 ,U A ? ?? ? ??240。求證：對(duì)任意正整數(shù) n，存在 k∈ P 和正整數(shù) m，使得 f(m， k)=n。從而 n=?? ????????51 11i ikm =f(m， k)。 答案： ?。┤?0?a ，則由 )}0,0{(0 ????? ?? BACxyy ?得； ⅱ）若 0?a ，由??????axyxay 得 )0(,)1( ??? xaxa 或 )0()1( ???? xaxa ； 所以當(dāng)且僅當(dāng) 11 ??? a 時(shí)， C 為單元素集。 （ 2）若 r=4,5，從 m, m+1 中的奇數(shù)開始分 組，最后余下至少 3 個(gè)數(shù)，且以奇數(shù)開頭。 答案： 構(gòu)造數(shù)表表 表 2 如下。 答案： 首先aa ??11（否則 012 ???aa ，但 041 ???? ），由 SaSa ??? 1 1,得Saa?????11111 1，且 aa??11（理由同上）。 所以若 r∈ Q,則設(shè) ,mnr? m,n∈ N+. 因?yàn)?n∈ S， m1 ∈ S，所以 r∈ S，所以 Q+? S。 （ 4） C 由四個(gè)元素 xyzt 構(gòu)成，必有 x=1,否則 xyzt≥2345=120yzt=54yzt,2≤yzt。 答案： 證明：由已知，若 x∈ S， y∈ Sj，則 yx∈ Sk, (yx)y=x∈ Si, 所以每個(gè)集合 中均有非負(fù)元素。由此可見，放入每個(gè) Ai的 3 個(gè)數(shù)之和都是 528。 令 M={6， 12， 15， 18， 20， 21， 24， 35， 40， 42， 45， 48}，則上述 23個(gè)數(shù)對(duì)中的每一個(gè)數(shù)都至少包含 M 中的 1個(gè)元素。 若存在一個(gè)使所給集合的元素個(gè)數(shù)小于 100 的集合 S={a1, a2,? ,a10}，我們計(jì)算 S 的“好子集” {x,y,z,w}的個(gè)數(shù)，這里 xy≤ zw， 且 x+w=y+z. 對(duì) S 中滿足 bc 的數(shù)對(duì)（ b,c）（共 190 對(duì)），考慮它們的差 bc，由于至多有 99 個(gè)不同的差（這里用反證法假設(shè)），故必須至少 91 個(gè)數(shù)對(duì)（ b, c），使得存在 b’, c’ ∈ S， 滿足 b’b, c’c, 且 bc=b’c’，對(duì)這樣的 91 個(gè)數(shù)對(duì)（ b, c），它與其相應(yīng)的 b’, c’ 形成 S 的一個(gè) 4 元集 {b, c, b’, c’}，可得到 S的一個(gè)“好子集” {x, y, z, w}，且至多兩個(gè)數(shù)對(duì)（ b, c）形成相同的子集 {x, y ,z, w}（只能是（ b,c） =(w, z)和（ w, y）），故 S 的“好子集”至少有 46 個(gè)。求證：其中必定有兩個(gè)人，他們的公共朋友的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 ??? NkkX },6,2,1{ ? ，試作出 X 的三元子集族 amp。 引理的證明：如圖所示，將 1， 2，?， 2n1個(gè)數(shù)按順時(shí)針方向放到一個(gè)正 2n1 邊形的頂點(diǎn)上，數(shù) 2n 放在外接圓圓心上。 上面得到的 k2k3=6k2個(gè) X 的三元子集組成的族 amp。由②得 05)(224 2 ????? bkxxx ，即025)1(24 2 ????? bxkx 無解，所以 0)25(16)1(439。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設(shè) A={1， 2， 3， 4， 5， 6}， B={7， 8， 9，??， n}，在 A中取三個(gè)數(shù)， B 中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合 iA ， .201,2,20,2,1 ????? jiAAi ji ?? 求 n 的最小值。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求所有自然數(shù) )2( ?nn ，使得存在實(shí)數(shù) naaa , 21 ? 滿足： }.2 )1(,2,1{}1}{ ?????? nnnjiaa ji ? 答案： 當(dāng) 2?n 時(shí)， 1,0 21 ?? aa ；當(dāng) 3?n 時(shí)， 3,1,0 321 ??? aaa ；當(dāng) 4?n 時(shí)， 1,5,2,0 4321 ???? aaaa 。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求 1， 2， 3，?， 100 中不能被 2， 3， 5 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。 答案： (Ⅰ )∵ ]4,2[??A ， ],3[ mmB ?? ]4,2[??BA , ∴ ??? ? ??4 23mm ∴ 5?m (Ⅱ ) },3{ mxmxxBC R ???? 或 ∵ ? BA R? ∴ 43,2 ???? mm 或 ， ∴ 27 ??? mm 或 來源： 09 年江蘇南通月考一 題型：解答題，難度：較難 已知集合 ? ?12 ( 2)kA a a a k? ， ， ， ≥，其中 ( 1 2 )ia i k??Z ， ， ，由 A 中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合： ? ?()S a b a A b A a b A? ? ? ? ?， ， ， ? ?()T a b a A b A a b A? ? ? ? ?， ， ，. 其中 ()ab， 是有序數(shù)對(duì)，集合 S 和 T 中的元素個(gè)數(shù)分別為 m 和 n . 若對(duì)于任意的 aA? ，總有 aA?? ，則稱集合 A 具有性質(zhì) P . (1)檢驗(yàn)集合 ? ?0123， ， ， 與 ? ?123?， ， 是否具有性質(zhì) P 并對(duì)其中具有性質(zhì) P 的集合，寫出相應(yīng)的集合 S 和 T ； (2)對(duì)任何具有性質(zhì) P 的集合 A ，證明： ( 1)2kkn ?≤ ； (3)判斷 m 和 n 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論 . 答案： (1)解：集合 ? ?0123， ， ， 不具有性質(zhì) P . 集合 ? ?123?， ， 具有性質(zhì) P ，其相應(yīng)的集合 S 和 T 是 ? ?( 1 3) (3 1)S ? ? ?， ， ， ， ? ?(2 1) 2 3T ? ? ? ?， ， ， . (2)證明：首先，由 A 中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì) ()ijaa， 共有 2k 個(gè) . 因?yàn)?0 A? ，所以 ( ) ( 1 2 )iia a T i k??， ， ， ，； 又因?yàn)楫?dāng) aA? 時(shí)， aA?? 時(shí)， aA?? ，所以當(dāng) ()ija a T?， 時(shí)，( ) ( 1 2 )jia a T i j k??， ， ， ， ，. 從而，集合 T 中元素的個(gè)數(shù)最多為 21 ( 1)()22kkkk ??? ， 即 ( 1)2kkn ?≤ . （ III）解： mn? ，證明如下： （ 1）對(duì)于 ()a b S?， ，根據(jù)定義， aA? ， bA? ，且 a b A?? ，從而 ()a b b T??， . 如果 ()ab， 與 ()cd， 是 S 的不同元素，那么 ac? 與 bd? 中至少有一個(gè)不成立，從而 a b c d? ? ? 與 bd? 中也至少有一個(gè)不成立 . 故 ()abb? ， 與 ()c d d? ， 也是 T 的不同元素 . 可見， S 中元素的個(gè)數(shù)不多于 T 中元素的個(gè)數(shù)，即 mn≤ ， （ 2）對(duì)于 ()a b T?， ，根據(jù)定義， aA? ， bA? ，且 a b A?? ，從而 ()a b b S??， .如果 ()ab， 與 ()cd， 是 T 的不同元素，那么 ac? 與 bd? 中至少有一個(gè)不成立，從而a b c d? ? ? 與 bd? 中也不至少有一個(gè)不成立， 故 ()a b b? ， 與 ()c d d? ， 也是 S 的不同元素 . 可見 ， T 中元素的個(gè)數(shù)不多于 S 中元素的個(gè)數(shù)，即 nm≤ ， 由（ 1）（ 2）可知， mn? . 來源： 07 年高考北京卷 題型：解答題，難度：較難 已知集合 }|{},102|{},73|{ axxCxxBxxA ???????? 求：（ 1） BA? ；（ 2） BACR ?)( ；（ 3）若 ??CA? ，求 a 的取值范圍。 來源： 09 年高考上海卷 題型：填空題，難度：中檔 集合 }1,12,3{},3,1,{ 22 ??????? mmmNmmM ，若 }3{??NM ? ，則?m _______。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：填空題，難度：中檔 集合 M 由正整數(shù)的平方組成，即 }25,16,9,4,1{ ???M ，若對(duì)某集合中的任意兩個(gè)元素進(jìn)行某種運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍在此集合中，則稱此集合對(duì)該運(yùn)算是封閉的。 ④⑤⑥ 由④，⑤得 3+6aa22+4aa2，即 a2