【正文】 種 ,正確畫(huà)出其中一種即可 ) ? 9.(2022山西 ,22,12分 )綜合與實(shí)踐 問(wèn)題情境 在綜合與實(shí)踐課上 ,老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng) .如圖 1,將一張 菱形紙片 ABCD(∠ BAD90176。)沿對(duì)角線 AC剪開(kāi) ,得到△ ABC和△ ACD. ? 操作發(fā)現(xiàn) (1)將圖 1中的△ ACD以 A為旋轉(zhuǎn)中心 ,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 α,使 α=∠ BAC,得到如圖 2所示的 △ AC39。D,分別延長(zhǎng) BC和 DC39。交于點(diǎn) E,則四邊形 ACEC39。的形狀是 。 (2)創(chuàng)新小組將圖 1中的△ ACD以 A為旋轉(zhuǎn)中心 ,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 α,使 α=2∠ BAC,得到如圖 3 所示的△ AC39。D,連接 DB,C39。C,得到四邊形 BCC39。D,發(fā)現(xiàn)它是矩形 .請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論 。 實(shí)踐探究 (3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上 ,量得圖 3中 BC=13 cm,AC=10 cm,然后提出一個(gè)問(wèn) 題 :將△ AC39。D沿著射線 DB方向平移 a cm,得到△ A39。C″D39。,連接 BD39。,CC″,使四邊形 BCC″D39。恰 好為正方形 ,求 a的值 .請(qǐng)你解答此問(wèn)題 。 (4)請(qǐng)你參照以上操作 ,將圖 1中的△ ACD在同一平面內(nèi)進(jìn)行一次平移 ,得到△ A39。C39。D,在圖 4中畫(huà) 出平移后構(gòu)造出的新圖形 ,標(biāo)明字母 ,說(shuō)明平移及構(gòu)圖方法 ,寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 ,不必證明 . ? 圖 4 解析 (1)菱形 . (2)證明 :如圖 ,作 AE⊥ CC39。于點(diǎn) E. ? 由旋轉(zhuǎn)得 AC39。=AC,∴∠ CAE=∠ C39。AE=? α=∠ BAC. 由題意知 BA=BC,∴∠ BCA=∠ BAC. ∴∠ CAE=∠ BCA,∴ AE∥ BC. 同理 ,AE∥ DC39。,∴ BC∥ DC39。. 又 ∵ BC=DC39。,∴ 四邊形 BCC39。D是平行四邊形 . 又 ∵ AE∥ BC,∠ CEA=90176。, ∴∠ BCC39。=180176?！?CEA=90176。, ∴ 四邊形 BCC39。D是矩形 . (3)過(guò)點(diǎn) B作 BF⊥ AC,垂足為 F. 12∵ BA=BC,∴ CF=AF=? AC=? 10=5(cm). 在 Rt△ BCF中 ,BF=? =? =12(cm). 在△ ACE和△ CBF中 ,∵∠ CAE=∠ BCF,∠ CEA=∠ BFC=90176。,∴ △ ACE∽ △ CBF. ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 CE=? . 當(dāng)四邊形 BCC″D39。恰好為正方形時(shí) ,分兩種情況 : ① 點(diǎn) C″在邊 C39。C上 ,a=C39。C13=? 13=? . ② 點(diǎn) C″在 C39。C的延長(zhǎng)線上 ,a=C39。C+13=? +13=? . 綜上所述 ,a的值為 ? 或 ? . (4)答案不唯一 . 例 :如圖 . 12 1222BC CF? 2213 5?CEBF ACBC 12CE1013 1202224013 711324013 409137113 40913? 平移及構(gòu)圖方法 :將△ ACD沿著射線 CA方向平移 ,平移距離為 ? AC的長(zhǎng)度 ,得到△ A39。C39。D,連接 A39。B,DC. 結(jié)論 :四邊形 A39。BCD是平行四邊形 . 1210.(2022山東青島 ,23,10分 )問(wèn)題提出 :如何將邊長(zhǎng)為 n(n≥ 5,且 n為整數(shù) )的正方形分割為一些 1 5或 23的矩形 (ab的矩形指邊長(zhǎng)分別為 a,b的矩形 )? 問(wèn)題探究 :我們先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始研究解決 ,再把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題 . 探究一 : 如圖① ,當(dāng) n=5時(shí) ,可將正方形分割為五個(gè) 15的矩形 . 如圖② ,當(dāng) n=6時(shí) ,可將正方形分割為六個(gè) 23的矩形 . 如圖③ ,當(dāng) n=7時(shí) ,可將正方形分割為五個(gè) 15的矩形和四個(gè) 23的矩形 . 如圖④ ,當(dāng) n=8時(shí) ,可將正方形分割為八個(gè) 15的矩形和四個(gè) 23的矩形 . 如圖⑤ ,當(dāng) n=9時(shí) ,可將正方形分割為九個(gè) 15的矩形和六個(gè) 23的矩形 . ? 探究二 : 當(dāng) n=10,11,12,13,14時(shí) ,分別將正方形按下列方式分割 : ? 所以 ,當(dāng) n=10,11,12,13,14時(shí) ,均可將正方形分割為一個(gè) 55的正方形、一個(gè) (n5)(n5)的正方形 和兩個(gè) 5(n5)的矩形 .顯然 ,55的正方形和 5(n5)的矩形均可分割為 15的矩形 ,而 (n5)(n5) 的正方形是邊長(zhǎng)分別為 5,6,7,8,9的正方形 ,用探究一的方法可分割為一些 15或 23的矩形 . 探究三 : 當(dāng) n=15,16,17,18,19時(shí) ,分別將正方形按下列方式分割 : ? 請(qǐng)按照上面的方法 ,分別畫(huà)出邊長(zhǎng)為 18,19的正方形分割示意圖 . 所以 ,當(dāng) n=15,16,17,18,19時(shí) ,均可將正方形分割為一個(gè) 1010的正方形、一個(gè) (n10)(n10)的正 方形和兩個(gè) 10(n10)的矩形 .顯然 ,1010的正方形和 10(n10)的矩形均可分割為 15的矩形 , 而 (n10)(n10)的正方形又是邊長(zhǎng)分別為 5,6,7,8,9的正方形 ,用探究一的方法可分割為一些 1 5或 23的矩形 . 問(wèn)題解決 :如何將邊長(zhǎng)為 n(n≥ 5,且 n為整數(shù) )的正方形分割為一些 15或 23的矩形 ?請(qǐng)按照上面 的方法畫(huà)出分割示意圖 ,并加以說(shuō)明 . 實(shí)際應(yīng)用 :如何將邊長(zhǎng)為 61的正方形分割為一些 15或 23的矩形 ?(只需按照探究三的方法畫(huà) 出分割示意圖即可 ) 解析 探究三 : ? 問(wèn)題解決 : 當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為 n(n≥ 5,且 n為整數(shù) )時(shí) ,按下圖方式 ,均可將正方形分割為一個(gè) 5m5m的正方 形、一個(gè) (n5m)(n5m)的正方形和兩個(gè) 5m(n5m)的矩形 .顯然 ,5m5m的正方形和 5m(n5m) 的矩形均可分割為 15的矩形 ,而 (n5m)(n5m)的正方形又是邊長(zhǎng)分別為 5,6,7,8,9的正方形 ,用 探究一的方法可分割為一些 15或 23的矩形 . ? 實(shí)際應(yīng)用 : ? 思路分析 n=1 1 17時(shí) ,發(fā)現(xiàn)規(guī)律 :左上 1010,左下 10(n10),右上 10(n10),右下 (n10)(n 10),從而畫(huà)出 n=1 19時(shí)的分割示意圖 .進(jìn)而得到一般規(guī)律 ,解決其他問(wèn)題 . 解題關(guān)鍵 通過(guò)前面的示例發(fā)現(xiàn)規(guī)律 ,并利用規(guī)律解決問(wèn)題 . 11.(2022福建福州 ,24,12分 )定義 :長(zhǎng)寬比為 ? ∶ 1(n為正整數(shù) )的矩形稱為 ? 矩形 . 下面 ,我們通過(guò)折疊的方式折出一個(gè) ? 矩形 ,如圖①所示 . 操作 1:將正方形 ABCD沿過(guò)點(diǎn) B的直線折疊 ,使折疊后的點(diǎn) C落在對(duì)角線 BD上的點(diǎn) G處 ,折痕為 BH. 操作 2:將 AD沿過(guò)點(diǎn) G的直線折疊 ,使點(diǎn) A,點(diǎn) D分別落在邊 AB,CD上 ,折痕為 EF. 則四邊形 BCEF為 ? 矩形 . ? 圖① 證明 :設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 1,則 BD=? =? . 由折疊性質(zhì)可知 BG=BC=1,∠ AFE=∠ BFE=90176。,則四邊形 BCEF為矩形 , ∴∠ A=∠ BFE. n n222211? 2∴ EF∥ AD. ∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ BF=? . ∴ BC∶ BF=1∶ ? =? ∶ 1. ∴ 四邊形 BCEF為 ? 矩形 . 閱讀以上內(nèi)容 ,回答下列問(wèn)題 : (1)在圖①中 ,所有與 CH相等的線段是 ,tan∠ HBC的值是 。 (2)已知四邊形 BCEF為 ? 矩形 ,模仿上述操作 ,得到四邊形 BCMN,如圖② ,求證 :四邊形 BCMN是 ? 矩形 。 (3)將圖②中的 ? 矩形 BCMN沿用 (2)中的方式操作 3次后 ,得到一個(gè)“ ? 矩形” ,則 n的值是 . BGBD BFAB 12 1BF121222233 n? 圖② 解析 (1)GH,DG。? 1. (2)證明 :∵ BF=? ,BC=1,∴ BE=? =? . 由折疊性質(zhì)可知 BP=BC=1,∠ FNM=∠ BNM=90176。, 則四邊形 BCMN為矩形 , ∴∠ BNM=∠ F. ∴ MN∥ EF. ∴ ? =? ,即 BPBF=BEBN. ∴ ? BN=? .∴ BN=? . ∴ BC∶ BN=1∶ ? =? ∶ 1. ∴ 四邊形 BCMN是 ? 矩形 . (3)6. 22222BF BC?62BPBE BNBF62 22 131333思路分析 (1)通過(guò)折疊可得 GH=HC,通過(guò)證△ DGH是等腰直角三角形可得 GD=GH.(2)根據(jù) 題中證明過(guò)程可證 .(3)利用折疊性質(zhì)得到相等的線段 ,相等的角 ,進(jìn)而證明四邊形 BCMN為矩 形 ,利用平行線分線段成比例求矩形的長(zhǎng)寬比 ,即得 n的值 . 解題關(guān)鍵 要關(guān)注矩形的長(zhǎng)和寬的數(shù)量關(guān)系 .