【正文】 AD,BC交于 M,N,則劣弧 MN的長(zhǎng)度 a的取值范圍是 . ? 答案 ? π≤ aπ 23解析 ∵ O是邊 AB上一動(dòng)點(diǎn) , ∴ 觀察題圖可知 ,扇形 OMN的圓心角 ∠ MON最大時(shí) ,點(diǎn) O與點(diǎn) A或點(diǎn) B重合 ,此時(shí) ∠ MON=90176。, ∠ MON最小時(shí) ,點(diǎn) O為 AB的中點(diǎn) ,此時(shí) ∠ MON=60176。, ①當(dāng) ∠ MON=90176。時(shí) ,a=? =π, ②當(dāng) ∠ MON=60176。時(shí) ,a=? =? π, ∴ ? π≤ aπ. 90 2180???62323解題關(guān)鍵 本題考查正方形的性質(zhì)、扇形的弧長(zhǎng)公式等知識(shí) ,解題的關(guān)鍵是確定圓心角 ∠ MON的最大值和最小值 ,對(duì)特殊位置進(jìn)行分析 ,在點(diǎn) O的運(yùn)動(dòng)過程中 ,∠ MON先減小后增大 , 且對(duì)稱變化 ,屬于中考?？碱}型 . 4.(2022陽(yáng)江江城模擬 ,11)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC=4,BC=2,分別以 AC,BC為直徑畫半 圓 ,則圖中陰影部分的面積為 (結(jié)果保留 π). ? 答案 ? π4 52解析 設(shè)各個(gè)部分的面積為 S S S S S5,如圖所示 , ? ∵ 兩個(gè)半圓的面積和是 S1+S5+S4+S2+S3+S4,△ ABC的面積是 S3+S4+S5,陰影部分的面積是 S1+S2+S4, ∴ 圖中陰影部分的面積為兩個(gè)半圓的面積減去三角形的面積 , 即陰影部分的面積 =? π4+? π142247。2=? π4. 212 52解題關(guān)鍵 此題的關(guān)鍵是看出圖中陰影部分的面積為兩個(gè)半圓的面積減去三角形的面積 . 5.(2022深圳十校二模 ,14)如圖 ,三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為 1,則圖中陰影部分面積的和是 (結(jié)果保留 π). ? 答案 ? π 38解析 由分析知 ,陰影部分可拼成一個(gè)半徑為 1,圓心角為 135176。的扇形 ,∴ S陰影 =? π12=? π. 13536038思路分析 利用圖形的旋轉(zhuǎn)、平移 ,陰影部分可拼成一個(gè)半徑為 1,圓心角為 135176。的扇形 . 解題關(guān)鍵 觀察發(fā)現(xiàn) :由三個(gè)正方形構(gòu)成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線下方的兩個(gè)扇形 ,圓心角的度數(shù)之 和為 90176。,左上方的扇形的圓心角為 45176。,且三個(gè)扇形的半徑均為 1. 6.(2022汕尾二模 ,12)如圖 ,菱形 OABC中 ,∠ A=120176。,OA=1,將菱形 OABC繞點(diǎn) O按順時(shí)針方向旋 轉(zhuǎn) 90176。,則圖中由 ? 39。,B39。A39。,?, CB圍成的陰影部分的面積是 (結(jié)果保留 π). ? BB︵ 39。AC︵答案 ? π? 23 32解析 ∵∠ A=120176。, ∴∠ AOC=∠ A39。OC39。=60176。. ∵ 旋轉(zhuǎn)角為 90176。,∴∠ A39。OC=30176。, ∴ 扇形 A39。OC的面積為 ? =? . 連接 OB、 OB39。,則 ∠ BOB39。=90176。, OB=? , ∴ 扇形 BOB39。的面積為 ? =? π, △ OBC與△ A39。OB39。的面積之和為菱形 AOCB的面積 , 即為 ? ? 1=? , ∴ 陰影部分的面積為 ? π? ? =? π? . 30360?12?3290 ( 3 )360?3412 3 3243212?23327.(2022茂名三模 ,14)如圖 ,半圓 O的直徑 AE=4,點(diǎn) B,C,D均在半圓上 ,若 AB=BC,CD=DE,連接 OB, OD,則圖中陰影部分的面積為 . ? 答案 π 解析 連接 OC, ∵ AB=BC, ∴ ? =?, ∴∠ AOB=∠ BOC, 同理 ,∠ COD=∠ EOD, ∵∠ AOE=180176。, ∴∠ AOB+∠ EOD=90176。, ∴ 陰影部分的面積為 ? π22=π. ︵ ︵14思路分析 先利用弦的相等關(guān)系導(dǎo)出 ∠ AOB與 ∠ EOD的和 ,再求陰影部分的面積 . 解題關(guān)鍵 求出 ∠ AOB與 ∠ EOD的和 . 8.(2022深圳二十校第三次聯(lián)考 ,14)如圖 ,四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,☉ O的半徑為 2,∠ B =135176。,則 ? 的長(zhǎng)為 . ? AC︵答案 π 解析 連接 OA、 OC, ∵ 四邊形 ABCD為圓內(nèi)接四邊形 , ∴∠ B+∠ D=180176。, ∵∠ B=135176。, ∴∠ D=45176。, ∴∠ AOC=90176。, ∴ ? 的長(zhǎng)為 ? 4π=π. AC︵ 14思路分析 利用圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) ,求出 ∠ D,再求 ∠ AOC,進(jìn)而得 ? 的長(zhǎng) . AC︵解題關(guān)鍵 求 ? 所對(duì)圓心角 ∠ AOC的度數(shù) . ︵三、解答題 (共 40分 ) 9.(2022廣東東莞模擬 ,24)如圖 ,在☉ O中 ,直徑 AB垂直弦 CD于 E,過點(diǎn) A作 ∠ DAF=∠ DAB,過點(diǎn) D 作 AF的垂線 ,垂足為 F,交 AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P,連接 CO并延長(zhǎng)交☉ O于點(diǎn) G,連接 EG. (1)求證 :DF是☉ O的切線 。 (2)若 AD=DP,OB=3,求 ? 的長(zhǎng)度 。 (3)若 DE=4,AE=8,求線段 EG的長(zhǎng) . ? BD︵解析 (1)證明 :連接 OD,如圖 1所示 . ∵ OA=OD, ∴∠ DAB=∠ ADO, ∵∠ DAF=∠ DAB, ∴∠ ADO=∠ DAF, ∴ OD∥ AF, 又 ∵ DF⊥ AF, ∴ DF⊥ OD, ∴ DF是☉ O的切線 . ? 圖 1 (2)∵ AD=DP, ∴ 設(shè) ∠ P=∠ DAF=∠ DAB=x, ∴∠ P+∠ DAF+∠ DAB=3x=90176。, ∴ x=30176。, ∴∠ BOD=60176。, ∴ ? 的長(zhǎng)度 =? =π. (3)連接 DG、 OD,如圖 2所示 . ∵ AB⊥ CD, ∴ DE=CE=4, ∴ CD=DE+CE=8, 設(shè) OD=OA=x,則 OE=8x, 在 Rt△ ODE中 , 由勾股定理得 OE2+DE2=OD2, 即 (8x)2+42=x2, ? BD︵60 3180? ?圖 2 解得 x=5, ∴ CG=2OA=10, ∵ CG是☉ O的直徑 , ∴∠ CDG=90176。, ∴ DG=? =? =6, ∴ EG=? =? =2? . 22CG CD?10 8?D DE?2264?1310.(2022佛山順德模擬 ,24)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。,O是 BC邊上一點(diǎn) ,以 O為圓心的半圓與 AB邊相切于點(diǎn) D,與 AC、 BC邊分別交于點(diǎn) E、 F、 G,連接 OD,已知 BD=2,AE=3,tan∠ BOD=? . (1)求☉ O的半徑 OD。 (2)求證 :AE是☉ O的切線 。 (3)求圖中兩部分陰影面積的和 . ? 23解析 (1)∵ AB與半圓 O相切 , ∴ OD⊥ AB, 在 Rt△ BDO中 ,BD=2,tan∠ BOD=? =? , ∴ OD=3. (2)證明 :連接 OE, ? ∵ AE=OD=3,AE∥ OD, ∴ 四邊形 AEOD為平行四邊形 , ∴ AD∥ EO, BD23∵ DA⊥ AE, ∴ OE⊥ AC, 又 ∵ OE為圓 O的半徑 , ∴ AE為圓 O的切線 . (3)∵ OD∥ AC, ∴ ? =? ,即 ? =? , ∴ AC=, ∴ EC=ACAE==, ∴ S陰影 =S△ BDO+S△ OECS扇形 FODS扇形 EOG =? 23+? 3? =3+? ? =? . BDAB223?31 12290 3360? ?27494?39 94 ??解題關(guān)鍵 此題的關(guān)鍵是看出圖中陰影部分的面積為兩個(gè)三角形的面積減兩個(gè)扇形的面積 . 11.(2022中山二模 ,22)如圖 ,已知 AB是半圓 O的直徑 ,C在半圓 O上 ,CD⊥ AB于 D,E在 CD上 ,☉ E與 AB相切于點(diǎn) D,與半圓 O相切于點(diǎn) F,若 AB=6,CD=? .求 : (1)☉ E的半徑 。 (2)陰影部分的面積 . ? 6解析 (1)設(shè)☉ E的半徑為 r,連接 OF, ∵ ☉ E與☉ O相切于 F, ∴ OF過點(diǎn) E,∴ OE=OFEF=3r. ∵ CD⊥ AB于 D,☉ E與 AB相切于 D,∴ DE=r, 連接 AC、 BC. ∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。, 在 Rt△ ACB中 ,由 CD⊥ AB得 CD2=ADBD, ∴ (? )2=(6BD)BD,∴ BD=3177。? . ∵ BDOB=3,∴ BD=3? ,∴ OD=? . ∵ OD2+DE2=OE2,∴ 3+r2=(3r)2,∴ r=1, ∴ ☉ E的半徑為 1. 6 333? (2)∵ r=1,∴ OE=31=2, 又 ∠ ODE=90176。, ∴∠ EOB=30176。,∠ FED=120176。. ∴ S陰影 =S扇形 BOFS△ OEDS扇形 DEF =? ? ? 1? =? π? ? =? ? . 230 3360???12 32120 1360???34 323?512?212.(2022深圳二十校聯(lián)考 ,22)如圖 ,點(diǎn) O為 Rt△ ABC斜邊 AB上一點(diǎn) ,以 OA為半徑的☉ O與 BC切 于點(diǎn) D,與 AC交于點(diǎn) E,連接 AD. ? (1)求證 :AD平分 ∠ BAC。 (2)若 ∠ BAC=60176。,OA=2,求陰影部分的面積 (結(jié)果保留 π). 解析 (1)證明 :∵ BC切☉ O于 D, ∴ OD⊥ BC, ∵ AC⊥ BC,∴ AC∥ OD, ∴∠ CAD=∠ ADO, ∵ OA=OD, ∴∠ OAD=∠ ADO, ∴∠ CAD=∠ OAD, 即 AD平分 ∠ BAC. (2)連接 OE,ED. ? ∵∠ BAC=60176。,OE=OA, ∴ △ OAE為等邊三角形 , ∴ OA=AE,又 OA=OD,∴ AE=OD, 由 (1)知 AC∥ OD, ∴ 四邊形 AODE是平行四邊形 , ∴ ED∥ AO, ∴ S△ AED=S△ OED, 又 ∠ EOD=∠ AEO=60176。, ∴ 陰影部分的面積 S=S扇形 DOE=? =? π. 60 4360???23思路分析 (1)利用 AC∥ OD和 OA=OD證得 ∠ CAD=∠ OAD.(2)證 DE∥ OA,將△ ADE的面積轉(zhuǎn) 化為△ ODE的面積 ,即可得陰影部分的面積等于扇形 ODE的面積 . 解題關(guān)鍵 (1)利用切線的性質(zhì)并結(jié)合已知證 AC∥ OD. (2)利用等底等高的兩個(gè)三角形的面積相等將陰影部分轉(zhuǎn)化為扇形 .