【正文】 ∵ ☉ C與 OI相切于點(diǎn) I, ∴∠ COI=∠ COD=30176。. ∴∠ HOJ=∠ COI+∠ COD=60176。. ∵ 直線 l:y=? x+4? 分別與 x軸 ,y軸交于點(diǎn) G,H, ∴ G(4,0),H(0,4? ). ∴ tan∠ OHG=? =? . ∴∠ OHG=30176。. ∴∠ OJH=180176。∠ HOJ∠ OHJ=90176。. ∴ HG⊥ OJ. ∵ ☉ E與直線 OJ相切 ,∴ 切點(diǎn)為點(diǎn) J. ∴ EJ=? . ∵ 在 Rt△ OHJ中 ,HJ=OHcos∠ OHJ=6, 3 33OGOH 3332∴ HE=HJEJ=? . ∴ KE=? HE=? . 此時(shí)點(diǎn) E的橫坐標(biāo)為 ? . 可知 ,點(diǎn) E在直線 l上 ,從情況一中的位置運(yùn)動(dòng)到情況二中的位置時(shí) ,都滿足題意 ,所以點(diǎn) E的橫坐 標(biāo)的取值范圍是 ? ≤ xE≤ ? . (3)? . 詳解 :連接 OM與☉ M的交點(diǎn)即為點(diǎn) M的切線 OH、 OI,切點(diǎn)為 H、 I,連接 MH、 MI,分別作 N關(guān)于 OH、 OI的對(duì)稱點(diǎn) N39。,N″,連接 N39。N″,分別交 OH、 OI于 Q、 T,連接 NQ、 NT,此時(shí)△ NQT的 周長(zhǎng)最小 . 9212 949432 949625? 由 OM=5,MI=MN=3,可得 OI=4,ON=2. 由△ OMI∽ △ ONJ,可得 NJ=? ,所以 NN″=? . ∵∠ OMI=∠ KNN″,sin∠ KNN″=? =? , sin∠ OMI=? =? , ∴ ? =? , 65 125KNNN??125KN?OIOM 45125KN?45∴ KN″=? ,∴ N39。N″=? , ∴ △ NQT的周長(zhǎng)最小值為 ? . 4825 96259625思路分析 (1)① 根據(jù)新定義判斷 .② 用相似解決 .(2)分情況討論 ,以臨界點(diǎn)為突破口 .(3)在 (2)的 基礎(chǔ)上利用對(duì)稱求最短距離 . 解題關(guān)鍵 第一要準(zhǔn)確理解“陽(yáng)光點(diǎn)”“陰影點(diǎn)”的概念 。第二熟練應(yīng)用相似的相關(guān)知識(shí) 。第 三能根據(jù)新定義畫出符合題意的圖形 ,并進(jìn)行計(jì)算 . 24.(2022北京海淀一模 ,29)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,☉ C的半徑為 r,P是與圓心 C不重合的點(diǎn) , 點(diǎn) P關(guān)于☉ C的限距點(diǎn)的定義如下 :若 P39。為直線 PC與☉ C的一個(gè)交點(diǎn) ,滿足 r≤ PP39?！?2r,則稱 P39。為 點(diǎn) P關(guān)于☉ C的限距點(diǎn) .下圖為點(diǎn) P及其關(guān)于☉ C的限距點(diǎn) P39。的示意圖 . ? (1)當(dāng)☉ O的半徑為 1時(shí) , ① 分別判斷點(diǎn) M(3,4),N? ,T(1,? )關(guān)于☉ O的限距點(diǎn)是否存在 .若存在 ,求其坐標(biāo) 。 ② 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (2,0),DE,DF分別切☉ O于點(diǎn) E,點(diǎn) F,點(diǎn) P在△ DEF的邊上 .若點(diǎn) P關(guān)于☉ O的限距 點(diǎn) P39。存在 ,求點(diǎn) P39。的橫坐標(biāo)的取值范圍 。 (2)保持 (1)中 D,E,F三點(diǎn)不變 ,點(diǎn) P在△ DEF的邊上沿 E→ F→ D→ E的方向運(yùn)動(dòng) ,☉ C的圓心 C的坐 標(biāo)為 (1,0),半徑為 . 5 ,02??????2問(wèn)題 1 問(wèn)題 2 若點(diǎn) P關(guān)于☉ C的限距點(diǎn) P39。存在 ,且 P39。隨點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長(zhǎng)為 π r,則 r的最小值為 . 若點(diǎn) P關(guān)于☉ C的限距點(diǎn) P39。不存在 ,則 r的取值范圍為 . 解析 (1)① 點(diǎn) M,點(diǎn) T關(guān)于☉ O的限距點(diǎn)不存在 。 點(diǎn) N關(guān)于☉ O的限距點(diǎn)存在 ,坐標(biāo)為 (1,0). ② ∵ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (2,0),☉ O的半徑為 1,DE,DF分別切☉ O于點(diǎn) E,點(diǎn) F, ∴ 切點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ,? . 如圖所示 ,不妨設(shè)點(diǎn) E的坐標(biāo)為 ? ,點(diǎn) F的坐標(biāo)為 ? .連接 EO,FO,EO,FO的延長(zhǎng)線分 別交☉ O于點(diǎn) E39。,F39。,則 E39。? ,F39。? . ? 13,22??????13,22???????13,22??????13,22???????13,22????????13,22???????設(shè)點(diǎn) P關(guān)于☉ O的限距點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x. P在線段 EF(包括端點(diǎn) )上時(shí) ,直線 PO與 ? 的交點(diǎn) P39。滿足 1≤ PP39?！?2,故點(diǎn) P關(guān)于☉ O的限 距點(diǎn)存在 ,其橫坐標(biāo) x滿足 1≤ x≤ ? . P在線段 DE,DF(不包括端點(diǎn) )上時(shí) ,直線 PO與☉ O的交點(diǎn) P39。滿足 0PP39。1或 2PP39。3,故點(diǎn) P關(guān)于☉ O的限距點(diǎn)不存在 . P與點(diǎn) D重合時(shí) ,直線 PO與☉ O的交點(diǎn) P39。(1,0)滿足 PP39。=1,故點(diǎn) P關(guān)于☉ O的限距點(diǎn)存在 ,其 橫坐標(biāo) x=1. 綜上所述 ,點(diǎn) P關(guān)于☉ O的限距點(diǎn)的橫坐標(biāo) x的范圍為 1≤ x≤ ? 或 x=1. (2)問(wèn)題 1:? . 問(wèn)題 2:0r? . 問(wèn)題 1: 若點(diǎn) P在圓 C的外部 ,且 P的限距點(diǎn) P39。存在 , 則 r≤ PP39?！?2r,∴ 2r≤ CP≤ 3r. 39。39。EF︵12123916∵ P39。隨點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長(zhǎng)為 πr,且△ DEF為等邊三角形 , ∴ P在一邊上運(yùn)動(dòng) ,P39。隨之運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長(zhǎng)為 ? πr. ∴ ? =? πr,∴ n=60, 當(dāng) CP=3r時(shí) ,C到 DE的距離為 ? , ? ≥ ? ,∴ r≥ ? , ∴ r的最小值為 ? . ? 13180nr? 13332 r332 r 123939問(wèn)題 2: 當(dāng) 3r? ,即 r? 時(shí) ,P關(guān)于☉ C的限距點(diǎn) P39。不存在 . 12 161.(2022江西 ,23,12分 )小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問(wèn)題時(shí) ,經(jīng)歷了如下過(guò)程 : 求解體驗(yàn) (1)已知拋物線 y=x2+bx3經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,0),則 b= ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,該拋物線關(guān)于點(diǎn) (0, 1)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是 . 抽象感悟 我們定義 :對(duì)于拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0),以 y軸上的點(diǎn) M(0,m)為中心 ,作該拋物線關(guān)于點(diǎn) M對(duì)稱 的拋物線 y39。,則我們又稱拋物線 y39。為拋物線 y的“衍生拋物線” ,點(diǎn) M為“衍生中心” . (2)已知拋物線 y=x22x+5關(guān)于點(diǎn) (0,m)的衍生拋物線為 y39。,若這兩條拋物線有交點(diǎn) ,求 m的取值范 圍 . 問(wèn)題解決 (3)已知拋物線 y=ax2+2axb(a≠ 0). ① 若拋物線 y的衍生拋物線為 y39。=bx22bx+a2(b≠ 0),兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn) ,且恰好是它們的頂點(diǎn) , 求 a,b的值及衍生中心的坐標(biāo) 。 ② 若拋物線 y關(guān)于點(diǎn) (0,k+12)的衍生拋物線為 y1,其頂點(diǎn)為 A1。關(guān)于點(diǎn) (0,k+22)的衍生拋物線為 y2, 教師專用題組 其頂點(diǎn)為 A2?！?。關(guān)于點(diǎn) (0,k+n2)的衍生拋物線為 yn,其頂點(diǎn)為 An?！?(n為正整數(shù) ).求 AnAn+1的長(zhǎng) (用含 n的式子表示 ). ? (備用圖 ) 解析 (1)4。(2,1)。y=(x2)2+1(或 y=x24x+5). (2)易知拋物線 y=x22x+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,6), 且點(diǎn) (1,6)關(guān)于點(diǎn) (0,m)的對(duì)稱點(diǎn)為 (1,2m6), ∴ 衍生拋物線的解析式為 y39。=(x1)2+2m6. 由 y=(x+1)2+6,y39。=(x1)2+2m6,y=y39。, 得 x2+m5=0,即 x2=5m. ∴ 當(dāng) 5m≥ 0,即 m≤ 5時(shí) ,方程有解 . ∴ m的取值范圍為 m≤ 5. (3)① ∵ 拋物線 y=ax2+2axb的頂點(diǎn)為 (1,ab), 拋物線 y39。=bx22bx+a2的頂點(diǎn)為 (1,b+a2), 由兩拋物線的交點(diǎn)恰好是它們的頂點(diǎn) ,得 a23a=0,a2+a+4b=0, 解得 a1=0,b1=0(舍去 ),a2=3,b2=3. ∴ 拋物線 y的頂點(diǎn)為 (1,0),拋物線 y39。的頂點(diǎn)為 (1,12). ∴ 兩拋物線的衍生中心坐標(biāo)為 (0,6). ② ∵ y=ax2+2axb=a(x+1)2ab, ∴ y1=a(x1)2+2k+2+a+b,頂點(diǎn) A1為 (1,2k+2+a+b), y2=a(x1)2+2k+8+a+b,頂點(diǎn) A2為 (1,2k+8+a+b),…… , yn=a(x1)2+2k+2n2+a+b,頂點(diǎn) An為 (1,2k+2n2+a+b), yn+1=a(x1)2+2k+2(n+1)2+a+b,頂點(diǎn) An+1為 (1,2k+2(n+1)2+a+b), ∴ AnAn+1=[2k+2(n+1)2+a+b](2k+2n2+a+b)=2(n+1)22n2=4n+2. 思路分析 (1)將 (1,0)代入拋物線 y=x2+bx3求得 b值 ,將拋物線解析式配方得出頂點(diǎn)坐標(biāo) ,先求 出頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于點(diǎn) (0,1)成中心對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo) ,再根據(jù)開(kāi)口方向相反求得該拋物線關(guān)于點(diǎn) (0,1)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式 。(2)首先確定拋物線 y=x22x+5關(guān)于點(diǎn) (0,m)的衍生拋物線 y39。,然 后聯(lián)立兩個(gè)解析式得出 x2=5m,若這兩條拋物線有交點(diǎn) ,則 5m≥ 0,從而得出 m的取值范圍 。(3)① 先求出拋物線 y=ax2+2axb(a≠ 0)的頂點(diǎn) (1,ab),拋物線 y的衍生拋物線 y39。=bx22bx+a2(b≠ 0)的 頂點(diǎn) (1,b+a2),依據(jù)兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn) ,且恰好是它們的頂點(diǎn) ,把 (1,ab)代入 y39。=bx22bx+a2(b ≠ 0),把 (1,b+a2)代入 y=ax2+2axb(a≠ 0)得出 a2+a+4b=0和 a23a=0,解得 a和 b值 ,進(jìn)而得出衍生中 心的坐標(biāo) 。② 先求出頂點(diǎn) A1,A2的坐標(biāo) ,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn) An的坐標(biāo) ,根據(jù)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同這一特點(diǎn) 求出 AnAn+1的長(zhǎng) . 方法指導(dǎo) 數(shù)形結(jié)合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、 數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái) ,通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形” ,即抽象 思維與形象思維的結(jié)合 ,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化 ,抽象問(wèn)題具體化 ,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的 . 2.(2022重慶 ,25,10分 )對(duì)任意一個(gè)四位數(shù) n,如果千位與十位上的數(shù)字之和為 9,百位與個(gè)位上的 數(shù)字之和也為 9,則稱 n為“極數(shù)” . (1)請(qǐng)任意寫出三個(gè)“極數(shù)” 。并猜想任意一個(gè)“極數(shù)”是不是 99的倍數(shù) ,請(qǐng)說(shuō)明理由 。 (2)如果一個(gè)正整數(shù) a是另一個(gè)正整數(shù) b的平方 ,則稱正整數(shù) a是完全平方數(shù) .若四位數(shù) m為“極 數(shù)” ,記 D(m)=? .求滿足 D(m)是完全平方數(shù)的所有 m. 33m解析 (1)4 158,6 237,9 900.? (2分 ) 任意一個(gè)“極數(shù)”是 99的倍數(shù) .理由 :設(shè)任意一個(gè)“極數(shù)” n的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y(其中 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y為整數(shù) ),則十位上的數(shù)字為 9x,個(gè)位上的數(shù)字為 為 n=1 000x+100y+10(9x)+9y. 化簡(jiǎn) ,得 n=990x+99y+99=99(10x+y+1). ∵ 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y為整數(shù) ,∴ 10x+y+1為整數(shù) . ∴ 任意一個(gè)“極數(shù)”都是 99的倍數(shù) .? (4分 ) (2)由 (1)可知 ,設(shè)任意一個(gè)“極數(shù)” m的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y(其中 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9,且 x,y 為整數(shù) ),則“極數(shù)” m可表示為 m=99(10x+y+1). ∴ D(m)=? =3(10x+y+1).? (5分 ) ∵ 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9, ∴ 11≤ 10x+y+1≤ 100. ∴ 33≤ 3(10x+y+1)≤ 300. 33m∵ D(m)為完全平方數(shù)且 D(m)是 3的倍數(shù) , ∴ D(m)=36或 81或 144或 225.? (6分 ) 當(dāng) D(m)=36時(shí) ,得 10x+y=11,解得 x=1,y= ,m=1 188. 當(dāng) D(m)=81時(shí) ,得 10x+y=26,解得 x=2,y= ,m=2 673. 當(dāng) D(m)=144時(shí) ,得 10x+y=47,解得 x=4,y= ,m=4 752. 當(dāng) D(m)=225時(shí) ,得 10x+y=74,解得 x=7,y= ,m=7 425. 綜上 ,滿足條件的 m為 1 188,2 673,4 752,7 425.? (10分 ) 思路分析 (1)設(shè)“極數(shù)” n的千位數(shù)字為 x,百位數(shù)字為 y,則極數(shù) n=1 000x+100y+10(9x)+9y, 化簡(jiǎn)得 n=99(10x+y+1),顯然是 99的倍數(shù) 。(2)根據(jù) (1)得出的極數(shù) m=99(10x+y+1),進(jìn)而得出 D(m)= 3(10x+y+1),進(jìn)一步得出 D(m)的取值范圍 ,根據(jù)完全平方數(shù)的定義推出 D(m)=36或 81或 144或 225, 最后得出極數(shù) m的值 . 易錯(cuò)警示 易忽略 x,y的取值范圍及所得關(guān)系式的自身特征而致錯(cuò) . 3.(2022江西 ,23,1