【正文】 2r. ∴ EC+FC≤ 4r. 又 ∵ EC+FC≥ EF(當點 C在線段 EF上時 ,等號成立 ), ∴ 4r≥ EF. ∵ E(0,2),F(2? ,0), ∴ EF=4. ∴ r≥ 1. 333事實上 ,當點 C是 EF的中點時 ,對所有 r≥ 1的☉ C,線段 EF上的所有點都是☉ C的關聯(lián)點 . 綜上所述 ,r≥ 1. 6.(2022北京東城一模 ,28)給出如下定義 :對于☉ O的弦 MN和☉ O外一點 P(M,O,N三點不共線 ,且 P,O在直線 MN的異側 ),當 ∠ MPN+∠ MON=180176。時 ,稱點 P是線段 MN關于點 O的關聯(lián)點 .圖 1是 點 P為線段 MN關于點 O的關聯(lián)點的示意圖 . ? 在平面直角坐標系 xOy中 ,☉ O的半徑為 1. (1)如圖 2,M? ,N? .在 A(1,0),B(1,1),C(? ,0)三點中 ,是線段 MN關于點 O的關聯(lián) 點的是 。 (2)如圖 3,M(0,1),N? ,點 D是線段 MN關于點 O的關聯(lián)點 . ① ∠ MDN的大小為 176。 ② 在第一象限內有一點 E(? m,m),點 E是線段 MN關于點 O的關聯(lián)點 ,判斷△ MNE的形狀 ,并直接 寫出點 E的坐標 。 ③ 點 F在直線 y=? x+2上 ,當 ∠ MFN≥ ∠ MDN時 ,求點 F的橫坐標 xF的取值范圍 . 22,??????22,???????231,22???????333解析 (1)C. (2)① 60176。. ②△ MNE是等邊三角形 ,點 E的坐標為 (? ,1). ③ 直線 y=? x+2交 y軸于點 K(0,2),交 x軸于點 T(2? ,0). ∴ OK=2,OT=2? . ∴∠ OKT=60176。. ? 作 OG⊥ KT于點 G,連接 MG,NG. 33333∵ M(0,1), ∴ OM=1, ∴ M為 OK的中點 . 又在 Rt△ OKG中 , KG=? OK=1, ∴ △ MKG為等邊三角形 , ∴ MG=MK=OM=1. ∴∠ MGO=∠ MOG=30176。,OG=? . ∴ G? . ∵∠ MON=120176。, ∴∠ GON=90176。. 又 OG=? ,ON=1, ∴∠ OGN=30176。. 12333,22??????3∴∠ MGN=60176。. ∴ G是線段 MN關于點 O的關聯(lián)點 . 由②知點 E(? ,1)也是線段 MN關于點 O的關聯(lián)點 , 經驗證 ,點 E(? ,1)在直線 y=? x+2上 . 結合圖象可知 ,當點 F在線段 GE上時 ,符合題意 . ∵ xG≤ xF≤ xE, ∴ ? ≤ xF≤ ? . 33333237.(2022北京西城一模 ,28)對于平面內的☉ C和☉ C外一點 Q,給出如下定義 :若過點 Q的直線與 ☉ C存在公共點 ,記為點 A,B,設 k=? ,則稱點 A(或點 B)是☉ C的“ k相關依附點” .特別地 , 當點 A和點 B重合時 ,規(guī)定 AQ=BQ,k=? ? .已知在平面直角坐標系 xOy中 ,Q(1,0),C(1, 0),☉ C的半徑為 r. (1)如圖 ,當 r=? 時 , ① 若 A1(0,1)是☉ C的“ k相關依附點” ,則 k的值為 。 ② A2(1+? ,0)是不是☉ C的“ 2相關依附點” ?答 : (選“是”或“否” )。 (2)若☉ C上存在“ k相關依附點” M, ① 當 r=1,直線 QM與☉ C相切時 ,求 k的值 。 ② 當 k=? 時 ,求 r的取值范圍 。 (3)若存在 r使得直線 y=? x+b與☉ C有公共點 ,且公共點是☉ C的“ ? 相關依附點” ,直接寫 出 b的取值范圍 . AQ BQCQ?2 AQCQ 2 BQCQ??????或2233 3? 解析 (1)① ? . ② 是 . (2)① 如圖 1,當 r=1時 ,不妨設直線 QM與☉ C相切的切點 M在 x軸上方 (切點 M在 x軸下方時同理 ), 連接 CM,則 QM⊥ CM. ? 圖 1 ∵ Q(1,0),C(1,0),r=1, ∴ CQ=2,CM=1, ∴ MQ=? . 23此時 k=? =? . ② 如圖 2,若直線 QM與☉ C不相切 ,設直線 QM與☉ C的另一個交點為 N,不妨設點 M,N均在 x軸上 方 ,且 QNQM(QNQM,點 N,M在 x軸下方時同理 ). 作 CD⊥ QM于點 D,則 MD=ND. ? 圖 2 ∴ MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ. ∵ CQ=2, 2 MQCQ 3∴ k=? =? =DQ. ∴ 當 k=? 時 ,DQ=? . 此時 CD=?=1. ∴ r≥ 1. 假設☉ C經過點 Q,此時 r=2. ∵ 點 Q在☉ C外 ,∴ r的取值范圍是 1≤ r2. (3)1b3? . MQ NQCQ? 2 DQCQ3 322CQ DQ?38.(2022北京海淀一模 ,28)在平面直角坐標系 xOy中 ,對于點 P和☉ C,給出如下定義 :若☉ C上存 在一點 T(不與 O重合 ),使點 P關于直線 OT的對稱點 P39。在☉ C上 ,則稱 P為☉ C的反射點 .☉ C的反 射點 P的示意圖如圖所示 . (1)已知點 A的坐標為 (1,0),☉ A的半徑為 2, ① 在點 O(0,0),M(1,2),N(0,3)中 ,☉ A的反射點是 。 ② 點 P在直線 y=x上 ,若 P為☉ A的反射點 ,求點 P的橫坐標的取值范圍 。 (2)☉ C的圓心在 x軸上 ,半徑為 2,y軸上存在點 P是☉ C的反射點 ,直接寫出圓心 C的橫坐標 x的取 值范圍 . ? 解析 (1)①☉ A的反射點是 M,N. ② 設直線 y=x與以原點為圓心 ,1和 3為半徑的兩個圓的交點從左至右依次為 D,E,F,G,過點 D作 DH⊥ x軸于點 H,如圖 . ? 可求得點 D的橫坐標為 ? . 同理可求得點 E,F,G的橫坐標分別為 ? ,? ,? . 點 P是☉ A的反射點 ,則☉ A上存在一點 T,使點 P關于直線 OT的對稱點 P39。在☉ A上 ,則 OP=OP39。. ∵ 1≤ OP39?！?3,∴ 1≤ OP≤ 3. 32222 22 322反之 ,若 1≤ OP≤ 3,☉ A上存在點 Q,使得 OP=OQ,故線段 PQ的垂直平分線經過原點 ,且與☉ A相 交 .因此點 P是☉ A的反射點 . ∴ 點 P的橫坐標 x的取值范圍是 ? ≤ x≤ ? 或 ? ≤ x≤ ? . (2)圓心 C的橫坐標 x的取值范圍是 4≤ x≤ 4. 提示 :OT與 y軸正半軸的夾角 ∠ POT越小 ,則 OP39。與 OC的夾角 ∠ COP39。越大 ,當 OP39。與圓 C相切時 ∠ COP39。最大 ,如圖 ,此時 ∠ COP39。=∠ COT=? ∠ POT,又因為 ∠ POT+∠ COT=90176。,所以 3∠ COT=90176。, ∠ COT=30176。,又圓 C的半徑為 2,故此時 OC為 y軸左側時同理 .故圓心 C的橫坐標 x的取值 范圍是 4≤ x≤ 4. ? 322 22 22 322129.(2022北京朝陽一模 ,28)對于平面直角坐標系 xOy中的點 P和線段 AB,其中 A(t,0)、 B(t+2,0),給 出如下定義 :若在線段 AB上存在一點 Q,使得 P,Q兩點間的距離小于或等于 1,則稱 P為線段 AB的 伴隨點 . (1)當 t=3時 , ① 在點 P1(1,1),P2(0,0),P3(2,1)中 ,線段 AB的伴隨點是 。 ② 在直線 y=2x+b上存在線段 AB的伴隨點 M、 N,且 MN=? ,求 b的取值范圍 。 (2)線段 AB的中點關于點 (2,0)的對稱點是 C,將射線 CO以點 C為中心 ,順時針旋轉 30176。得到射線 l, 若射線 l上存在線段 AB的伴隨點 ,直接寫出 t的取值范圍 . 5解析 (1)① 線段 AB的伴隨點是 P2,P3. ② 如圖 1,當直線 y=2x+b經過點 (3,1)時 ,b=5,此時 b取得最大值 . 如圖 2,當直線 y=2x+b經過點 (1,1)時 ,b=3,此時 b取得最小值 . ∴ b的取值范圍是 3≤ b≤ 5. ? (2)t的取值范圍是 ? ≤ t≤ 2. 提示 :線段 AB中點的坐標是 (t+1,0),關于點 (2,0)的對稱點 C的坐標為 (3t,0),根據 30176。角和伴隨點 定義可知 ,當點 B在射線左側時 ,點 B橫坐標的最小值為 1t,令 1t=t+2,得 t=? 。當點 A在射線右側 時 ,點 A橫坐標的最大值為 (3t+1,令 3t+1=t,得 t= t的取值范圍是 ? ≤ t≤ 2. 12121210.(2022北京豐臺一模 ,28)對于平面直角坐標系 xOy中的點 M和圖形 W1,W2,給出如下定義 :點 P 為圖形 W1上一點 ,點 Q為圖形 W2上一點 ,當點 M是線段 PQ的中點時 ,稱點 M是圖形 W1,W2的“中 立點” .如果點 P(x1,y1),Q(x2,y2),那么“中立點” M的坐標為 ? .已知 ,點 A(3,0),B(0, 4),C(4,0). (1)連接 BC,在點 D? ,E(0,1),F? 中 ,可以成為點 A和線段 BC的“中立點”的是 。 (2)已知點 G(3,0),☉ G的半徑為 y=x+1上存在點 K可以成為點 A和☉ G的“中立點” , 求點 K的坐標 。 (3)以點 C為圓心 ,2為半徑作圓 .點 N為直線 y=2x+4上的一點 ,如果存在點 N,使得 y軸上的一點可 以成為點 N與☉ C的“中立點” ,直接寫出點 N的橫坐標 xN的取值范圍 . 1 2 1 2,22x x y y????????1 ,02?????? 10,2??????解析 (1)D,F. (2)點 A和☉ G的“中立點”在以點 O為圓心、 1為半徑的圓上 . 因為點 K在直線 y=x+1上 ,所以設點 K的坐標為 (x,x+1), 則 x2+(x+1)2=1,解得 x1=0,x2=1. 所以點 K的坐標為 (0,1)或 (1,0). ? (3)6≤ xN≤ 2. 提示 :點 N與☉ C的“中立點”在以線段 NC的中點 P為圓心、 1為半徑的圓上 .圓 P與 y軸相切時 , 符合題意 ,當點 P的坐標為 (1,4)時 ,yPC=? x? ,與 y=2x+4聯(lián)立 ,可解得 x= P的坐標為 (1,0) 時 ,可得 xN= N的橫坐標的取值范圍為 6≤ xN≤ 2. ? 45 16511.(2022北京石景山一模 ,29)對于平面上兩點 A,B,給出如下定義 :以點 A或點 B為圓心 ,AB長為 半徑的圓稱為點 A,B的“確定圓” .如圖為點 A,B的“確定圓”的示意圖 . ? (1)已知點 A的坐標為 (1,0),點 B的坐標為 (3,3),則點 A,B的“確定圓”的面積為 。 (2)已知點 A的坐標為 (0,0),若直線 l:y=x+b上只存在一個點 B,使得點 A,B的“確定圓”的面積為 9π,求點 B的坐標 。 (3)已知點 A在以 P(m,0)為圓心 ,1為半徑的圓上 ,點 B在直線 y=? x+? 上 ,若要使所有點 A,B的 “確定圓”的面積都不小于 9π,直接寫出 m的取值范圍 . 333解析 (1)25π. (2)∵ 直線 l:y=x+b上只存在一個點 B,使得點 A,B的“確定圓”的面積為 9π, ∴ ☉ A的半徑 AB=3且直線 l:y=x+b與☉ A相切于點 B,如圖 . ? ① 當 b0時 ,點 B在第二象限 . 過點 B作 BE⊥ x軸于點 E, ∵ 在 Rt△ BEA中 ,∠ BAE=45176。,AB=3, ∴ BE=AE=? . 322∴ B? . ② 當 b0時 ,點 B39。在第四象限 . 同理可得 B39。? . 綜上所述 ,點 B的坐標為 ? 或 ? . (3)m≤ 5或 m≥ 11. 提示 :易得 A、 B兩點間距離的最小值為 4,直線 y=? x+? 與 x軸的夾角為 30176。,所以 m≤ 38或 m ≥ 3+8,即 m≤ 5或 m≥ 11. 3 2 3 2,22???????3 2 3 2,22???????3 2 3 2,22???????3 2 3 2,22???????33312.(2022北京通州一模 ,28)在平面直角坐標系 xOy中有不重合的兩個點 Q(x1,y1)與 P(x2,y2).若 Q,P 為某個直角三角形的兩個銳角頂點 ,且該直角三角形的直角邊均與 x軸或 y軸平行 (或重合 ),則 我們將該直角三角形的兩條直角邊的邊長之和稱為點 Q與點 P之間的“直距” ,記作 DPQ,特別 地 ,當 PQ與某條坐標軸平行 (或重合 )時 ,線段 PQ的長即為點 Q與點 P