【正文】 (1)說明△ PBC是等邊三角形 . 【數(shù)學(xué)思考】 (2)如圖④ ,小明畫出了圖③的矩形 ABCD和等邊三角形 ,在矩形 ABCD中把△ PBC 經(jīng)過圖形變化 ,可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形 .請描述圖形變化的過程 . (3)已知矩形一邊長為 3 cm,其鄰邊長為 a a的值 ,在矩形中都能畫出最大 的等邊三角形 .請畫出不同情形的示意圖 ,并寫出對應(yīng)的 a的取值范圍 . 【問題解決】 (4)用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為 4 cm和 1 cm的直角三角形鐵片 ,所需正方形鐵片 的邊長的最小值為 cm. 解析 (1)證明 :由折疊可知 PB=PC,BP=BC, 因此△ PBC是等邊三角形 . (2)本題答案不唯一 ,下列解法供參考 . 如圖 ,以點 B為中心 ,在矩形 ABCD中把△ PBC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?,得到△ P1BC1。再以 點 B為位似中心 ,將△ P1BC1放大 ,使點 C1的對應(yīng)點 C2落在 CD上 ,得到△ P2BC2. ? (3)本題答案不唯一 ,下列解法供參考 . (4)? . 如圖 ,△ CEF是直角三角形 ,∠ CEF=90176。,CE=4 cm,EF=1 cm. 165∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴∠ A=∠ D=90176。. 易證 Rt△ AEF∽ Rt△ DCE, ∴ ? =? =? , ∴ 設(shè) AE=x cm,CD=4x cm,則 DE=3x cm. 在 Rt△ CDE中 ,CE=5x=4 cm, ∴ x=? ,∴ AD=4x=? cm, ∴ 所需正方形邊長最小值為 ? cm. AECDEFCE1445 165165思路分析 (1)由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出 PB=PC,PB=CB,得出△ PBC是等邊三角 形 。(2)依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和位似的性質(zhì)即可得出答案 。(3)利用等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形 的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計算 ,即可畫出圖形 。(4)證明△ AEF∽ △ DCE,得出 ? =? =? ,設(shè) AE=x cm,則 AD=CD=4x cm,DE=ADAE=3x cm,在 Rt△ CDE 中 ,由勾股定理得出方程 ,進(jìn)而得出邊長的 最小值 . AEDCEFCE14三、實踐與探究 (2022山西 ,22,12分 )綜合與實踐 問題情境 在綜合與實踐課上 ,老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動 .如圖 1,將一張 菱形紙片 ABCD(∠ BAD90176。)沿對角線 AC剪開 ,得到△ ABC和△ ACD. ? 操作發(fā)現(xiàn) (1)將圖 1中的△ ACD以 A為旋轉(zhuǎn)中心 ,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角 α,使 α=∠ BAC,得到如圖 2所示的△ AC39。D,分別延長 BC和 DC39。交于點 E,則四邊形 ACEC39。的形狀是 。 (2)創(chuàng)新小組將圖 1中的△ ACD以 A為旋轉(zhuǎn)中心 ,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角 α,使 α=2∠ BAC,得到如圖 3 所示的△ AC39。D,連接 DB,C39。C,得到四邊形 BCC39。D,發(fā)現(xiàn)它是矩形 .請你證明這個結(jié)論 。 實踐探究 (3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上 ,量得圖 3中 BC=13 cm,AC=10 cm,然后提出一個問 題 :將△ AC39。D沿著射線 DB方向平移 a cm,得到△ A39。C″D39。,連接 BD39。,CC″,使四邊形 BCC″D39。恰 好為正方形 ,求 a的值 .請你解答此問題 。 (4)請你參照以上操作 ,將圖 1中的△ ACD在同一平面內(nèi)進(jìn)行一次平移 ,得到△ A39。C39。D,在圖 4中畫 出平移后構(gòu)造出的新圖形 ,標(biāo)明字母 ,說明平移及構(gòu)圖方法 ,寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 ,不必證明 . 圖 4 解析 (1)菱形 . (2)證明 :如圖 ,作 AE⊥ CC39。于點 E. ? 由旋轉(zhuǎn)得 AC39。=AC,∴∠ CAE=∠ C39。AE=? α=∠ BAC. 由題意知 BA=BC,∴∠ BCA=∠ BAC. ∴∠ CAE=∠ BCA,∴ AE∥ BC. 同理 ,AE∥ DC39。,∴ BC∥ DC39。. 又 ∵ BC=DC39。,∴ 四邊形 BCC39。D是平行四邊形 . 又 ∵ AE∥ BC,∠ CEA=90176。, ∴∠ BCC39。=180176?！?CEA=90176。, ∴ 四邊形 BCC39。D是矩形 . (3)過點 B作 BF⊥ AC,垂足為 F. 12∵ BA=BC,∴ CF=AF=? AC=? 10=5(cm). 在 Rt△ BCF中 ,BF=? =? =12(cm). 在△ ACE和△ CBF中 ,∵∠ CAE=∠ BCF,∠ CEA=∠ BFC=90176。,∴ △ ACE∽ △ CBF. ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 CE=? . 當(dāng)四邊形 BCC″D39。恰好為正方形時 ,分兩種情況 : ①點 C″在邊 C39。C上 ,a=C39。C13=? 13=? . ②點 C″在 C39。C的延長線上 ,a=C39。C+13=? +13=? . 綜上所述 ,a的值為 ? 或 ? . (4)答案不唯一 . 例 :如圖 . 12 1222BC CF? 2213 5?CEBF ACBC 12CE1013 1202224013 711324013 409137113 40913平移及構(gòu)圖方法 :將△ ACD沿著射線 CA方向平移 ,平移距離為 ? AC的長度 ,得到△ A39。C39。D,連接 A39。 B,DC. 結(jié)論 :四邊形 A39。BCD是平行四邊形 . 12一、拓展與探究 教師專用題組 1.(2022江西 ,23,12分 )我們定義 :如圖 1,在△ ABC中 ,把 AB繞點 A順時針旋轉(zhuǎn) α(0176。α180176。)得到 AB39。,把 AC繞點 A逆時針旋轉(zhuǎn) β得到 AC39。,連接 B39。C39。.當(dāng) α+β=180176。時 ,我們稱△ AB39。C39。是△ ABC的“旋 補三角形” ,△ AB39。C39。邊 B39。C39。上的中線 AD叫做△ ABC的“旋補中線” ,點 A叫做“旋補中心” . 特例感知 (1)在圖 2,圖 3中 ,△ AB39。C39。是△ ABC的“旋補三角形” ,AD是△ ABC的“旋補中線” . ①如圖 2,當(dāng)△ ABC為等邊三角形時 ,AD與 BC的數(shù)量關(guān)系為 AD= BC。 ②如圖 3,當(dāng) ∠ BAC=90176。,BC=8時 ,則 AD長為 . 猜想論證 (2)在圖 1中 ,當(dāng)△ ABC為任意三角形時 ,猜想 AD與 BC的數(shù)量關(guān)系 ,并給予證明 . ? 拓展應(yīng)用 (3)如圖 4,在四邊形 ABCD中 ,∠ C=90176。,∠ D=150176。,BC=12,CD=2? ,DA= 在點 P,使△ PDC是△ PAB的“旋補三角形” ?若存在 ,給予證明 ,并求△ PAB的“旋補中線”長 。 若不存在 ,說明理由 . ? 圖 4 3解析 (1)① ? .? (1分 ) ② 4.? (3分 ) (2)猜想 :AD=? BC.? (4分 ) 證明 :證法一 :如圖 ,延長 AD至 E,使 DE=AD,連接 B39。E,C39。E. ? ∵ AD是△ ABC的“旋補中線” , ∴ B39。D=C39。D, ∴ 四邊形 AB39。EC39。是平行四邊形 , ∴ EC39?！?B39。A,EC39。=B39。A, ∴∠ AC39。E+∠ B39。AC39。=180176。. 由定義可知 ∠ B39。AC39。+∠ BAC=180176。,B39。A=BA,AC=AC39。, 1212∴∠ AC39。E=∠ BAC,EC39。=BA. ∴ △ AC39。E≌ △ CAB. ∴ AE=CB.? (6分 ) ∵ AD=? AE,∴ AD=? BC.? (7分 ) 證法二 :如圖 ,延長 B39。A至 F,使 AF=B39。A,連接 C39。F. ? ∴∠ B39。AC39。+∠ C39。AF=180176。. 由定義可知 ∠ B39。AC39。+∠ BAC=180176。,B39。A=BA,AC=AC39。, ∴∠ CAB=∠ C39。AF,AB=AF, ∴ △ ABC≌ △ AFC39。, ∴ BC=FC39。.? (6分 ) 12 12∵ B39。D=C39。D,B39。A=AF, ∴ AD是△ B39。FC39。的中位線 , ∴ AD=? FC39。, ∴ AD=? BC.? (7分 ) 證法三 :如圖 ,將△ AB39。C39。繞點 A順時針旋轉(zhuǎn) ∠ C39。AC的度數(shù) ,得到△ AEC,此時 AC39。與 AC重合 ,設(shè) D的 對應(yīng)點為 D39。,連接 AD39。. ? 由定義可知 ∠ B39。AC39。+∠ BAC=180176。, 由旋轉(zhuǎn)得 ∠ B39。AC39。=∠ EAC, ∴∠ BAC+∠ EAC=180176。, ∴ E,A,B三點在