【正文】 T在△ ABC的左側(cè)時 ,d(☉ T,△ ABC)=1, 此時 t=4。 ②☉ T在△ ABC的內(nèi)部時 ,d(☉ T,△ ABC)=1, 此時 0≤ t≤ 42? 。 ③☉ T在△ ABC的右側(cè)時 ,d(☉ T,△ ABC)=1, 此時 t=4+2? . 綜上所述 ,t=4或 0≤ t≤ 42? 或 t=4+2? . 2222 22? 圖 2 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要從點(diǎn)到點(diǎn)的距離中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線的距離和平行線間的距離 . 7.(2022陜西 ,25,12分 )問題提出 (1)如圖① ,在△ ABC中 ,∠ A=120176。,AB=AC=5,則△ ABC的外接圓半徑 R的值為 . 問題探究 (2)如圖② ,☉ O的半徑為 13,弦 AB=24,M是 AB的中點(diǎn) ,P是☉ O上一動點(diǎn) ,求 PM的最大值 . 問題解決 (3)如圖③所示 ,AB、 AC、 ? 是某新區(qū)的三條規(guī)劃路 ,其中 ,AB=6 km,AC=3 km,∠ BAC=60176。,? 所對的圓心角為 60176。.新區(qū)管委會想在 ? 路邊建物資總站點(diǎn) P,在 AB、 AC路邊分別建物資分站 點(diǎn) E、 F,也就是 ,分別在 ? 、線段 AB和 AC上選取點(diǎn) P、 E、 資在各物資站點(diǎn)間按 P→ E→ F→ P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸 ,因此 ,要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路 PE、 EF和 、環(huán)保和節(jié)約成本 ,要使得線段 PE、 EF、 FP之和最短 ,試求 PE+EF+FP的最 小值 .(各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì) ) BC︵ BC︵︵︵解析 (1)5? (2分 ) 詳解 :如圖 ,設(shè) O是△ ABC的外接圓的圓心 , ? ∴ OA=OB=OC,又 AB=AC,∴ △ AOB≌ △ AOC, ∴∠ BAO=∠ CAO, ∵∠ BAC=120176。,∴∠ BAO=60176。, ∴ △ ABO是等邊三角形 ,∴ AB=OA=OB=5. 即△ ABC的外接圓半徑 R的值為 5. (2)如圖 ,連接 MO,并延長與☉ O相交于點(diǎn) P39。,連接 OA,OP. ? ∵ M是弦 AB的中點(diǎn) , ∴ OM⊥ AB,AM=? AB=12. 在 Rt△ AOM中 ,OM=? =5.? (4分 ) ∵ PM≤ OM+OP=OM+OP39。=MP39。=18, ∴ 當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動到 P39。時 ,PM取得最大值 ,為 18.? (5分 ) (3)如圖 ,設(shè) P39。為 ? 上任意一點(diǎn) ,分別作點(diǎn) P39。關(guān)于直線 AB、 AC的對稱點(diǎn) P39。 P39。2,連接 P39。1P39。2,分別 與 AB、 AC相交于點(diǎn) E39。、 F39。,連接 P39。E39。,P39。F39。, ? ∴ △ P39。E39。F39。的周長 =P39。1E39。+E39。F39。+P39。2F39。=P39。1P39。2, 對于點(diǎn) P39。及分別在 AB、 AC上的任意點(diǎn) E、 F,有△ P39。EF的周長 ≥ △ P39。E39。F39。的周長 =P39。1P39。2. 即△ P39。EF周長的最小值為 P39。1P39。2的長 .? (7分 ) 連接 AP39。1,AP39。,AP39。2, 1 22AO AM?BC︵則 AP39。1=AP39。=AP39。2,∠ P39。1AB=∠ P39。AB,∠ P39。2AC=∠ P39。AC, ∴∠ P39。1AP39。2=2∠ BAC=120176。,∴ P39。1P39。2=? AP39。1=? AP39。.? (8分 ) ∴ 要使 P39。1P39。2最短 ,只要 AP39。最短即可 . 設(shè) O為 ? 所在圓的圓心 ,連接 OB、 OC、 OP39。、 OA,且 OA與 ? 相交于點(diǎn) P, 則 AP39。+P39。O≥ AO. ∴ AP39?！?AP.? (9分 ) 連接 BC,易證△ ACB為直角三角形 ,且 ∠ ABC=30176。,∠ ACB=90176。, ∴ BC=ACtan 60176。=3? km. ∵∠ BOC=60176。,OB=OC, ∴ BO=BC=3? km,∠ OBC=60176。,∠ ABO=∠ ABC+∠ OBC=90176。. 在 Rt△ ABO中 ,AO=? =? =3? km.? (11分 ) ∴ ? AP=? (AOOP)=? (3? 3? )=(3? 9)km. ∴ P39。1P39。2的最小值為 ? AP=(3? 9)km. ∴ PE+EF+FP的最小值為 (3? 9)km.? (12分 ) 33︵ BC︵33 22AB BO?6 (3 3)?73 37321321思路分析 (1)設(shè) O是△ ABC的外接圓的圓心 ,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)和圓的半徑相等 可證△ ABO是等邊三角形 ,所以 AB=OA=OB=5。(2)當(dāng) PM⊥ AB時 ,PM有最大值 ,根據(jù)垂徑定理可 得 AM=? AB=12,再根據(jù)勾股定理求得 OM=5,進(jìn)而由 PM≤ OM+OP=OM+OP39。=MP39。=18得解 。(3) 分別以 AB、 AC所在的直線為對稱軸 ,作出 P39。關(guān)于 AB的對稱點(diǎn)為 P39。1,關(guān)于 AC的對稱點(diǎn)為 P39。2,易得 △ P39。E39。F39。的周長為 P39。1P39。2的長 ,根據(jù) P39。1P39。2=? AP39。,可知要使 P39。1P39。2最短 ,只要 AP39。最短 ,OA與 ? 交于 點(diǎn) P,此時使得線段 PE、 EF、 FP之和最短 ,然后先判定△ ABC為直角三角形 ,求出 BC的長 ,在 Rt △ ABO中由勾股定理求出 AO的長 ,進(jìn)而求出 AP的值 ,最后求得 PE+EF+FP的最小值 . 12 3 ︵難點(diǎn)分析 本題難點(diǎn)在于第 (3)問如何確定 P點(diǎn)的位置及何時 PE+EF+FP取得最小值 .讀懂題 目信息也就明確了可以利用軸對稱確定最短路線問題 ,同時結(jié)合圓半徑和線段 OA的長度求出 AP的最小值 . 8.(2022江西 ,23,12分 )小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時 ,經(jīng)歷了如下過程 : 求解體驗(yàn) (1)已知拋物線 y=x2+bx3經(jīng)過點(diǎn) (1,0),則 b= ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,該拋物線關(guān)于點(diǎn) (0, 1)成中心對稱的拋物線表達(dá)式是 . 抽象感悟 我們定義 :對于拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0),以 y軸上的點(diǎn) M(0,m)為中心 ,作該拋物線關(guān)于點(diǎn) M對稱 的拋物線 y39。,則我們又稱拋物線 y39。為拋物線 y的“衍生拋物線” ,點(diǎn) M為“衍生中心” . (2)已知拋物線 y=x22x+5關(guān)于點(diǎn) (0,m)的衍生拋物線為 y39。,若這兩條拋物線有交點(diǎn) ,求 m的取值范 圍 . 問題解決 (3)已知拋物線 y=ax2+2axb(a≠ 0). ① 若拋物線 y的衍生拋物線為 y39。=bx22bx+a2(b≠ 0),兩拋物線有兩個交點(diǎn) ,且恰好是它們的頂點(diǎn) , 求 a,b的值及衍生中心的坐標(biāo) 。 ② 若拋物線 y關(guān)于點(diǎn) (0,k+12)的衍生拋物線為 y1,其頂點(diǎn)為 A1。關(guān)于點(diǎn) (0,k+22)的衍生拋物線為 y2, 其頂點(diǎn)為 A2?！?。關(guān)于點(diǎn) (0,k+n2)的衍生拋物線為 yn,其頂點(diǎn)為 An?！?(n為正整數(shù) ).求 AnAn+1的長 (用含 n的式子表示 ). ? (備用圖 ) 解析 (1)4。(2,1)。y=(x2)2+1(或 y=x24x+5). (2)易知拋物線 y=x22x+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,6), 且點(diǎn) (1,6)關(guān)于點(diǎn) (0,m)的對稱點(diǎn)為 (1,2m6), ∴ 衍生拋物線的解析式為 y39。=(x1)2+2m6. 由 y=(x+1)2+6,y39。=(x1)2+2m6,y=y39。, 得 x2+m5=0,即 x2=5m. ∴ 當(dāng) 5m≥ 0,即 m≤ 5時 ,方程有解 . ∴ m的取值范圍為 m≤ 5. (3)① ∵ 拋物線 y=ax2+2axb的頂點(diǎn)為 (1,ab), 拋物線 y39。=bx22bx+a2的頂點(diǎn)為 (1,b+a2), 由兩拋物線的交點(diǎn)恰好是它們的頂點(diǎn) ,得 a23a=0,a2+a+4b=0, 解得 a1=0,b1=0(舍去 ),a2=3,b2=3. ∴ 拋物線 y的頂點(diǎn)為 (1,0),拋物線 y39。的頂點(diǎn)為 (1,12). ∴ 兩拋