【正文】 ∵ AC=BD,∴ BD=? +? . 當(dāng) A、 C、 D三點(diǎn)順次共線時(shí) ,如圖 , 12 3222OA OE? 22 32 2??? ????132132 12132 12? 由上述方法可知 ,此時(shí) BD=AC=? ? . (4)PC的最大值為 3,最小值為 ? 1. 提示 :在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 ,點(diǎn) C在以點(diǎn) O為圓心 ,OC為半徑的圓上 ,當(dāng)點(diǎn) A、 O、 C順次共線 ,且點(diǎn) P與點(diǎn) A重合時(shí) ,PC取最大值 ,為 3。當(dāng)點(diǎn) P位于 AB的中點(diǎn) ,且點(diǎn) O、 C、 P順次共線時(shí) ,PC取最小值 ,為 ? 1.) 132 1233 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∠ BAC=60176。,AB=8,半徑為 ? 的☉ M與射線 BA相切 ,切點(diǎn)為 N,且 AN=3,將 Rt△ ABC繞點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 α(0176?！?α≤ 180176。) (1)當(dāng) α為 時(shí) ,AC和☉ M相切 。 (2)當(dāng) AC落在 AN上時(shí) ,設(shè)點(diǎn) B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) D,E. ①畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的 Rt△ ADE。(草圖即可 ) ② Rt△ ADE 的直角邊 DE被☉ M截得的弦 PQ的長(zhǎng)為 。 ③判斷 Rt△ ADE的斜邊 AD所在的直線與☉ M的位置關(guān)系 ,并說(shuō)明理由 。 ? (3)設(shè)點(diǎn) M與 AC的距離為 x,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 ,當(dāng)邊 AC與☉ M有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí) ,直接寫(xiě)出 x的取值 . 3解析 (1)60176。,120176。.旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí) ,AC39。與☉ M相切于 G, 連接 MG,MN,∴∠ AGM=90176。, ∵ AN與☉ M相切于 N,∴∠ ANM=90176。, 連接 AM,∴∠ GAN=2∠ MAN,在 Rt△ AMN中 ,MN=? ,AN=3, ∴ tan∠ MAN=? =? ,∴∠ MAN=30176。,∴∠ GAN=60176。, ∵∠ BAC=60176。,∴ α=∠ CAC39。=180176。60176。60176。=60176。 3MNAN 33當(dāng) AC與 AN重合時(shí) ,AN與☉ M也相切 ,所以 α=120176。. (2)①如圖 ,Rt△ ADE就是要畫(huà)的圖形 , ② 2? .連接 MQ,過(guò) M點(diǎn)作 MF⊥ DE,垂足為 F, 在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=60176。,AB=8,∴ AC=? AB=4, 根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知 AC=AE=4, NE=AEAN=43=1, 在 Rt△ MFQ中 ,FQ=? =? =? , 故弦 PQ的長(zhǎng)度為 2? . 21222MQ MF? 22( 3) 1? 22③ AD與☉ M相切 . 證明 :過(guò)點(diǎn) M作 MH⊥ AD于 H,連接 MN,MA,則 MN⊥ AE,且 MN=? , 由 (1)知 ∠ MAN=30176。, ∵∠ DAE=∠ BAC=60176。,∴∠ MAD=30176。, ∴∠ MAN=∠ MAD=30176。,∴ MH=MN,∴ AD與☉ M相切 . (3)在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∠ BAC=60176。,AB=8,∴ AC=4, 連接 MN,在 Rt△ AMN 中 ,MN=? ,AN=3,∴ AM=2? , 33 3∴ ☉ M上的點(diǎn)到點(diǎn) A的最大距離為 2? +? =3? 4, ∵ 邊 AC與☉ M有一個(gè)公共點(diǎn) ,∴ AC和☉ M 相切或點(diǎn) C在☉ M內(nèi) , ① AC與☉ M相切時(shí) ,x是☉ M的半徑 ,∴ x=? , ②當(dāng)點(diǎn) C剛好落在☉ M上時(shí) , 如圖 ,連接 C‘ M,AM,過(guò)點(diǎn) M作 MG⊥ AC’ , 在 Rt△ C39。MG中 ,GM2=C39。M2C39。G2, ∵ AC39。=AG+C39。G=4,∴ GM2=C39。M2(4AG)2, 在 Rt△ AMG中 ,GM2=AM2AG2,∴ C39。M2(4AG)2=AM2AG2, 3 3 33∴ (? )2(4AG)2=(2? )2AG2,∴ AG=? , ∴ x=MG=? =? ,∴ 0≤ x? 或 x=? . 3 325822 25(2 3 )8???????1438 1438 3思路分析 (1)先利用切線的性質(zhì)得出 ∠ GAN=2∠ MAN,再利用三角函數(shù)求出 ∠ MAN,進(jìn)而得 出 α的值 .(2)①把三角形 ABC繞 A旋轉(zhuǎn) 120176。就能得到圖形 .②先求出 NE的長(zhǎng) ,作 MF⊥ DE,在 Rt△ MFQ中 ,利用勾股定理可求出 QF,根據(jù)垂徑定理知 QF就是弦 PQ的一半 ,即可求出 PQ的長(zhǎng) .③過(guò) M作 AD的垂線 ,垂足為 H,先判斷 ∠ MAN=∠ MAD,然后利用角平分線的性質(zhì)定理可得 MN=MH 進(jìn)而得解 .(3)分兩種情況 AC與☉ M相切或點(diǎn) C在☉ M內(nèi)部 ,利用勾股定理即可得出結(jié)論 . 三、與圓相關(guān)的平移與滾動(dòng)問(wèn)題 1.(2022秦皇島海港一模 ,25)如圖 ,在等邊△ ABC中 ,AB=3,點(diǎn) O在 AB的延長(zhǎng)線上 ,OA=6,且 ∠ AOE =30176。.動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) O出發(fā) ,以每秒 ? 個(gè)單位的速度沿射線 OE方向運(yùn)動(dòng) ,以 P為圓心 ,OP為半徑作 ☉ P,同時(shí)點(diǎn) Q從點(diǎn) B出發(fā) ,以每秒 1個(gè)單位的速度沿折線 BCA向點(diǎn) A運(yùn)動(dòng) ,Q與 A重合時(shí) ,P,Q同時(shí) 停止運(yùn)動(dòng) .設(shè) P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒 . (1)當(dāng)△ POB是直角三角形時(shí) ,求 t的值 。 (2)當(dāng)☉ P過(guò)點(diǎn) C時(shí) ,求☉ P與線段 OA圓成的封閉圖形的面積 。 (3)當(dāng)☉ P與△ ABC的邊所在直線相切時(shí) ,求 t的值 。 (4)當(dāng)線段 OQ與☉ P只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí) ,直接寫(xiě)出 t的取值范圍 . ? 3解析 (1)連接 OC,∵∠ ABC=60176。,OB=BC, ∴∠ AOC=∠ BCO=30176。, ∴ OE經(jīng)過(guò)點(diǎn) C,∠ ACO=90176。, 當(dāng) ∠ PBO=90176。時(shí) ,OP=? =2? (如圖 1). 所以 t=? =2. cos 30OB?3233 圖 1 當(dāng) ∠ BPO=90176。時(shí) ,OP=OBcos 30176。=? (如圖 2). 所以 t=? =? . 所以 ,當(dāng) t=? 或 t=2時(shí) ,△ POB是直角三角形 . (2)當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到 OC中點(diǎn)時(shí) ,☉ P過(guò)點(diǎn) C,設(shè)☉ P交 OA于點(diǎn) F, 3323323 3232圖 2 ∵ PO=PF,∴∠ POF=∠ PFO=30176。, ∴∠ OPF=120176。,又 ∵ PO=? ,∴ OF=? , 點(diǎn) P到 OF的距離為 ? . ∴ S弓形 =S扇形 OPFS△ OPF=? ? ? ? =? π? 或 S弓形 =S扇形 OCF+S△ OPF=? +? 332 92334233120 2360? ????????12 92 33494 2 7 316233240 2360? ????????12圖 3 ? ? =? π+? . (3)☉ P不可能與 AB所在直線相切 . 當(dāng)☉ P與 AC所在直線相切時(shí) ,切點(diǎn)為點(diǎn) C(如圖 4). ∵∠ ACO=90176。, ∴ 當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到 OC中點(diǎn)時(shí) , ☉ P與 AC邊所在直線相切 , 92 334 92 2 7 316圖 4 此時(shí) t=? . 當(dāng)☉ P與 BC的邊所在直線相切時(shí) ,切點(diǎn)為點(diǎn) B(如圖 5). ∵∠ PBC=90176。,PB=OP=PCsin 30176。=? PC,∴ OP=? . 此時(shí) t=1,∴ 當(dāng) t=1或 t=? 時(shí) ,☉ P與△ ABC的邊所在直線相切 . (4)t的取值范圍是 ? t≤ 6. 32123323 3 32 ?圖 5 詳解 :開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后 ,OQ與☉ P有兩個(gè)公共點(diǎn) , 一直到☉ P過(guò)點(diǎn) Q(如圖 6). 從這個(gè)時(shí)刻后一直到停止運(yùn)動(dòng) , OQ與☉ P只有一個(gè)公共點(diǎn) . ∵ OP=? t,OC=3? ,BQ=t,BC=3. ∴ ? =? ,∴ PQ∥ OB.∴∠ QPC=∠ BOC=30176。, 3 3OPOCBQBC圖 6 ∴∠ QPC=∠ OCB=30176。, ∴ PQ=CQ,∴ ? t=3t,解得 t=? .∴ t的取值范圍為 ? t≤ 6. 3 3 3 32 ? 3 3 32 ?2.(2022邢臺(tái)模擬 ,25)如圖 ,∠ A=45176。,∠ ABC=60176。,AB∥ MN,BH⊥ MN 于點(diǎn) H,BH=8,點(diǎn) C 在 MN上 , 點(diǎn) D在 AC上 ,DE⊥ MN于點(diǎn) E,半圓的圓心為點(diǎn) O,直徑 DE=6,G為 ? 的中點(diǎn) ,F是 ? 上的動(dòng)點(diǎn) . 發(fā)現(xiàn) : CF的最小值是 ,CF的最大值為 . 探究 : 沿直線 MN 向右平移半圓 . (1)當(dāng) G落在△ ABC的邊上時(shí) ,求半圓與△ ABC重合部分的面積 。 (2)當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn) H重合時(shí) ,求半圓在 BC上截得的線段長(zhǎng) 。 (3)當(dāng)半圓與△ ABC的邊相切時(shí) ,求 CE的長(zhǎng) . DE︵ DE︵