【正文】 ∵ AC=BD,∴ BD=? +? . 當 A、 C、 D三點順次共線時 ,如圖 , 12 3222OA OE? 22 32 2??? ????132132 12132 12? 由上述方法可知 ,此時 BD=AC=? ? . (4)PC的最大值為 3,最小值為 ? 1. 提示 :在旋轉過程中 ,點 C在以點 O為圓心 ,OC為半徑的圓上 ,當點 A、 O、 C順次共線 ,且點 P與點 A重合時 ,PC取最大值 ,為 3。當點 P位于 AB的中點 ,且點 O、 C、 P順次共線時 ,PC取最小值 ,為 ? 1.) 132 1233 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∠ BAC=60176。,AB=8,半徑為 ? 的☉ M與射線 BA相切 ,切點為 N,且 AN=3,將 Rt△ ABC繞點 A順時針旋轉 ,設旋轉角為 α(0176?！?α≤ 180176。) (1)當 α為 時 ,AC和☉ M相切 。 (2)當 AC落在 AN上時 ,設點 B,C的對應點分別是點 D,E. ①畫出旋轉后的 Rt△ ADE。(草圖即可 ) ② Rt△ ADE 的直角邊 DE被☉ M截得的弦 PQ的長為 。 ③判斷 Rt△ ADE的斜邊 AD所在的直線與☉ M的位置關系 ,并說明理由 。 ? (3)設點 M與 AC的距離為 x,在旋轉過程中 ,當邊 AC與☉ M有一個公共點時 ,直接寫出 x的取值 . 3解析 (1)60176。,120176。.旋轉到如圖所示的位置時 ,AC39。與☉ M相切于 G, 連接 MG,MN,∴∠ AGM=90176。, ∵ AN與☉ M相切于 N,∴∠ ANM=90176。, 連接 AM,∴∠ GAN=2∠ MAN,在 Rt△ AMN中 ,MN=? ,AN=3, ∴ tan∠ MAN=? =? ,∴∠ MAN=30176。,∴∠ GAN=60176。, ∵∠ BAC=60176。,∴ α=∠ CAC39。=180176。60176。60176。=60176。 3MNAN 33當 AC與 AN重合時 ,AN與☉ M也相切 ,所以 α=120176。. (2)①如圖 ,Rt△ ADE就是要畫的圖形 , ② 2? .連接 MQ,過 M點作 MF⊥ DE,垂足為 F, 在 Rt△ ABC中 ,∠ BAC=60176。,AB=8,∴ AC=? AB=4, 根據旋轉可知 AC=AE=4, NE=AEAN=43=1, 在 Rt△ MFQ中 ,FQ=? =? =? , 故弦 PQ的長度為 2? . 21222MQ MF? 22( 3) 1? 22③ AD與☉ M相切 . 證明 :過點 M作 MH⊥ AD于 H,連接 MN,MA,則 MN⊥ AE,且 MN=? , 由 (1)知 ∠ MAN=30176。, ∵∠ DAE=∠ BAC=60176。,∴∠ MAD=30176。, ∴∠ MAN=∠ MAD=30176。,∴ MH=MN,∴ AD與☉ M相切 . (3)在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∠ BAC=60176。,AB=8,∴ AC=4, 連接 MN,在 Rt△ AMN 中 ,MN=? ,AN=3,∴ AM=2? , 33 3∴ ☉ M上的點到點 A的最大距離為 2? +? =3? 4, ∵ 邊 AC與☉ M有一個公共點 ,∴ AC和☉ M 相切或點 C在☉ M內 , ① AC與☉ M相切時 ,x是☉ M的半徑 ,∴ x=? , ②當點 C剛好落在☉ M上時 , 如圖 ,連接 C‘ M,AM,過點 M作 MG⊥ AC’ , 在 Rt△ C39。MG中 ,GM2=C39。M2C39。G2, ∵ AC39。=AG+C39。G=4,∴ GM2=C39。M2(4AG)2, 在 Rt△ AMG中 ,GM2=AM2AG2,∴ C39。M2(4AG)2=AM2AG2, 3 3 33∴ (? )2(4AG)2=(2? )2AG2,∴ AG=? , ∴ x=MG=? =? ,∴ 0≤ x? 或 x=? . 3 325822 25(2 3 )8???????1438 1438 3思路分析 (1)先利用切線的性質得出 ∠ GAN=2∠ MAN,再利用三角函數(shù)求出 ∠ MAN,進而得 出 α的值 .(2)①把三角形 ABC繞 A旋轉 120176。就能得到圖形 .②先求出 NE的長 ,作 MF⊥ DE,在 Rt△ MFQ中 ,利用勾股定理可求出 QF,根據垂徑定理知 QF就是弦 PQ的一半 ,即可求出 PQ的長 .③過 M作 AD的垂線 ,垂足為 H,先判斷 ∠ MAN=∠ MAD,然后利用角平分線的性質定理可得 MN=MH 進而得解 .(3)分兩種情況 AC與☉ M相切或點 C在☉ M內部 ,利用勾股定理即可得出結論 . 三、與圓相關的平移與滾動問題 1.(2022秦皇島海港一模 ,25)如圖 ,在等邊△ ABC中 ,AB=3,點 O在 AB的延長線上 ,OA=6,且 ∠ AOE =30176。.動點 P從點 O出發(fā) ,以每秒 ? 個單位的速度沿射線 OE方向運動 ,以 P為圓心 ,OP為半徑作 ☉ P,同時點 Q從點 B出發(fā) ,以每秒 1個單位的速度沿折線 BCA向點 A運動 ,Q與 A重合時 ,P,Q同時 停止運動 .設 P的運動時間為 t秒 . (1)當△ POB是直角三角形時 ,求 t的值 。 (2)當☉ P過點 C時 ,求☉ P與線段 OA圓成的封閉圖形的面積 。 (3)當☉ P與△ ABC的邊所在直線相切時 ,求 t的值 。 (4)當線段 OQ與☉ P只有一個公共點時 ,直接寫出 t的取值范圍 . ? 3解析 (1)連接 OC,∵∠ ABC=60176。,OB=BC, ∴∠ AOC=∠ BCO=30176。, ∴ OE經過點 C,∠ ACO=90176。, 當 ∠ PBO=90176。時 ,OP=? =2? (如圖 1). 所以 t=? =2. cos 30OB?3233 圖 1 當 ∠ BPO=90176。時 ,OP=OBcos 30176。=? (如圖 2). 所以 t=? =? . 所以 ,當 t=? 或 t=2時 ,△ POB是直角三角形 . (2)當點 P運動到 OC中點時 ,☉ P過點 C,設☉ P交 OA于點 F, 3323323 3232圖 2 ∵ PO=PF,∴∠ POF=∠ PFO=30176。, ∴∠ OPF=120176。,又 ∵ PO=? ,∴ OF=? , 點 P到 OF的距離為 ? . ∴ S弓形 =S扇形 OPFS△ OPF=? ? ? ? =? π? 或 S弓形 =S扇形 OCF+S△ OPF=? +? 332 92334233120 2360? ????????12 92 33494 2 7 316233240 2360? ????????12圖 3 ? ? =? π+? . (3)☉ P不可能與 AB所在直線相切 . 當☉ P與 AC所在直線相切時 ,切點為點 C(如圖 4). ∵∠ ACO=90176。, ∴ 當點 P運動到 OC中點時 , ☉ P與 AC邊所在直線相切 , 92 334 92 2 7 316圖 4 此時 t=? . 當☉ P與 BC的邊所在直線相切時 ,切點為點 B(如圖 5). ∵∠ PBC=90176。,PB=OP=PCsin 30176。=? PC,∴ OP=? . 此時 t=1,∴ 當 t=1或 t=? 時 ,☉ P與△ ABC的邊所在直線相切 . (4)t的取值范圍是 ? t≤ 6. 32123323 3 32 ?圖 5 詳解 :開始運動后 ,OQ與☉ P有兩個公共點 , 一直到☉ P過點 Q(如圖 6). 從這個時刻后一直到停止運動 , OQ與☉ P只有一個公共點 . ∵ OP=? t,OC=3? ,BQ=t,BC=3. ∴ ? =? ,∴ PQ∥ OB.∴∠ QPC=∠ BOC=30176。, 3 3OPOCBQBC圖 6 ∴∠ QPC=∠ OCB=30176。, ∴ PQ=CQ,∴ ? t=3t,解得 t=? .∴ t的取值范圍為 ? t≤ 6. 3 3 3 32 ? 3 3 32 ?2.(2022邢臺模擬 ,25)如圖 ,∠ A=45176。,∠ ABC=60176。,AB∥ MN,BH⊥ MN 于點 H,BH=8,點 C 在 MN上 , 點 D在 AC上 ,DE⊥ MN于點 E,半圓的圓心為點 O,直徑 DE=6,G為 ? 的中點 ,F是 ? 上的動點 . 發(fā)現(xiàn) : CF的最小值是 ,CF的最大值為 . 探究 : 沿直線 MN 向右平移半圓 . (1)當 G落在△ ABC的邊上時 ,求半圓與△ ABC重合部分的面積 。 (2)當點 E與點 H重合時 ,求半圓在 BC上截得的線段長 。 (3)當半圓與△ ABC的邊相切時 ,求 CE的長 . DE︵ DE︵