【正文】 BP39。作 AB的垂線 ,交 AB于 F,交 CD于 E, 同理得 P39。最 小 。作 AB的垂線 ,交 AB于 F,交 CD 于 E,先由勾股定理得出 AP39。 (3)當(dāng)☉ P與矩形 ABCD的邊所在直線相切時(shí) ,求 t的值 . ? 3解析 (1)30176。=30176。, 即 PC⊥ BC(此時(shí)直線 BC與☉ P相切 ), 3過點(diǎn) P作 PN⊥ OM于 N,∴∠ PNB=∠ NBC=∠ BCP=90176。②當(dāng)☉ P與矩形 ABCD的邊 AD所在的直線相切時(shí) ,根據(jù) AN+ NO=AO列式可得 t的值 。,∠ DCP=90176。1。,∠ ABC=45176。62+? 66=(18+9π)cm2. (3)如圖 2,當(dāng)☉ O與邊 AB所在的直線相切時(shí) (點(diǎn) O在點(diǎn) B左側(cè) ),易知 OH=BH=6 cm,OB=6? cm, 12214 122OC=(126? )cm,∴ x=? =(93? )s. ? 圖 2 如圖 3,當(dāng)☉ O與邊 AB所在的直線相切時(shí) (點(diǎn) O在點(diǎn) B右側(cè) ),易知 OH=BH=6 cm, OB=6? cm,OC=(12+6? )cm, ∴ x=? =(9+3? )s. 2 6 12 6 22?? 22 26 12 6 22?? 2? 圖 3 如圖 1,x=6 s時(shí) ,☉ O與 AC所在的直線相切 . 易知當(dāng) x=0 s時(shí) ,☉ O與 AC所在的直線相切 .綜上所述 ,當(dāng) x=0或 (93? )或 6或 (9+3? )s時(shí) ,半圓 O 所在的圓與△ ABC的邊所在的直線相切 . 2 22.(2022石家莊二模 ,26)如圖 1,已知點(diǎn) A(0,9),B(24,9),C(22+3? ,0),半圓 P的直徑 MN=6? ,且 P、 A 重合時(shí),點(diǎn) M、 N在 AB上 ,過點(diǎn) C的直線 l與 x軸的夾角 α為 60176。=45176。60176。915176。,求得 t=? =6,所以 PA的長(zhǎng)為 6。, ∠ NPQ=180176。, ∴ t=? =6,∴ PA的長(zhǎng)為 6. (2)MN所在直線經(jīng)過原點(diǎn) , 理由 :當(dāng) t=9時(shí) ,∠ APN=180176。,∴ HC=HB, ∴ OH⊥ BC,OH=OB=OC=6 cm, ∴ S=S扇形 OHC+S△ OHB=? ),BD有最小值 1,進(jìn)而得出當(dāng) B、 A、 D三點(diǎn) 在同一條直線上時(shí) (∠ PBC=135176。,AD=BP=1, ∴∠ BDA=∠ CDA∠ CDP=90176。 (4)BD的最小值為 ,此時(shí) tan∠ CBP= 。 ③當(dāng)☉ P與矩形 ABCD的邊 CD所在的直線相切時(shí) ,如圖 4, ? 圖 4 過 P作 PM⊥ DC于 M,交 OA于 H,則 PM=OP=2t, PH=? t, ∵ PM+PH=BC,∴ 2t+? t=2,t=42? , 綜上所述 ,當(dāng)☉ P與矩形 ABCD的邊所在直線相切時(shí) ,t的值是 ? 或 ? 或 42? . 123 4 2 33?33 3233 4 2 33? 3思路分析 (1)在直角△ OBC中 ,先根據(jù)銳角的正切求 ∠ BOC的度數(shù) 。+30176。=? , ∴ AP=? (4+2? )=2? +3. 3BCOB 223333APOA32 3 3故 PA的最小值是 2? +3. (2)如圖 2,由題意得 :OP=r=2t, ? 圖 2 設(shè)☉ P與 OA的另一個(gè)交點(diǎn)為 M, 連接 PC、 PM,則 PC=PM=PO=r=2t, ∴∠ POC=∠ PCO=∠ BOP∠ BOC=60176。.動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) O出發(fā) ,以每秒 2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線 OE方向運(yùn)動(dòng) ,以 P為圓心 ,OP為 半徑作☉ P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒 . (1)∠ BOC= ,PA的最小值是 。、 CP39。=DP=3. 思考 :(1)當(dāng) PD⊥ AD時(shí) ,△ APD的面積最大 =? 53=。、 CP39。B=∠ APD=90176。90176。,∴ PP39。≌ △ ADP(SAS),∴ BP39。=90176。的大小不變 ,BP39。P,則易證四邊形 OCO39。=? =2? , ∴ OM=? OO39。恰好與半徑 OA相切于 C點(diǎn) ,∴ O39。C、 O39。 (2)將扇形 OAB沿 PQ對(duì)折 ,使折疊后的弧 QB39。20176。,則 ∠ BDC=? ( ) ? 176。 (3)如圖 4,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn) B與☉ O的圓心 O重合 ,☉ O的半徑為 3,將它沿☉ O的圓周做無(wú)滑動(dòng) 的滾動(dòng) ,當(dāng)它第 n 次回到起始位置時(shí) ,點(diǎn) I所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為 .(請(qǐng)用含 n的式子表示 ) AC︵ CB︵ BA︵解析 (1)∵ 等邊△ ABC的邊長(zhǎng)為 3, ∴∠ ABC=∠ ACB=∠ BAC=60176。,∴ OP=? , 連接 OR,則 RP=? =? ,∴ RT=2PR=? . (3)①如圖 5,當(dāng)半圓與 AC相切時(shí) ,設(shè)切點(diǎn)為 K,則 CK=CE,作 KU⊥ DE于 U, 5222 532??? ???? 11211? 圖 5 ∵∠ KOE=45176。,AB∥ MN,BH⊥ MN 于點(diǎn) H,BH=8,點(diǎn) C 在 MN上 , 點(diǎn) D在 AC上 ,DE⊥ MN于點(diǎn) E,半圓的圓心為點(diǎn) O,直徑 DE=6,G為 ? 的中點(diǎn) ,F是 ? 上的動(dòng)點(diǎn) . 發(fā)現(xiàn) : CF的最小值是 ,CF的最大值為 . 探究 : 沿直線 MN 向右平移半圓 . (1)當(dāng) G落在△ ABC的邊上時(shí) ,求半圓與△ ABC重合部分的面積 。,又 ∵ PO=? ,∴ OF=? , 點(diǎn) P到 OF的距離為 ? . ∴ S弓形 =S扇形 OPFS△ OPF=? ? ? ? =? π? 或 S弓形 =S扇形 OCF+S△ OPF=? +? 332 92334233120 2360? ????????12 92 33494 2 7 316233240 2360? ????????12圖 3 ? ? =? π+? . (3)☉ P不可能與 AB所在直線相切 . 當(dāng)☉ P與 AC所在直線相切時(shí) ,切點(diǎn)為點(diǎn) C(如圖 4). ∵∠ ACO=90176。,OB=BC, ∴∠ AOC=∠ BCO=30176。G=4,∴ GM2=C39。, ∴∠ MAN=∠ MAD=30176。60176。.旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí) ,AC39。,AB=8,半徑為 ? 的☉ M與射線 BA相切 ,切點(diǎn)為 N,且 AN=3,將 Rt△ ABC繞點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 α(0176。 (4)拓展 :P是線段 AB上任意一點(diǎn) ,在扇形 COD的旋轉(zhuǎn)過程中 ,請(qǐng)直接寫出 PC的最大值與最小值 . 解析 (1)60176。=d=4? . 從圖 3開始半圓弧與直線 CD有一個(gè)交點(diǎn) , 當(dāng)點(diǎn) B39。.? =? ,∴ ? =? ,∴ AM=? . (2)如圖 2,連接 NO并延長(zhǎng)交 BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q,連接 OP. 22AB BC?ABAM 39。M, ? 圖 1 在 Rt△ ABC中 ,AB=4,BC=3, ∴ AC=? =5, ∵ AB39。 ②當(dāng)點(diǎn) C與點(diǎn) A重合時(shí) ,判斷 CD與 AB的數(shù)量關(guān)系 ,并說(shuō)明理由 。2=AG2+B39。與半圓相切 . 2253?③ 4? +2? 或 4? 2? . ? 提示 :過點(diǎn) B39。C=∠ ABC=90176。交 DC于點(diǎn) M,求證 :四邊形 AOCM是菱形 ,并通過證明判斷 CB39。 圓的綜合問題 中考數(shù)學(xué) (河北專用 ) 一、與圓相關(guān)的翻折問題 好題精練 1.(2022邯鄲一模 ,25)如圖 1,已知以 AE為直徑的半圓圓心為 O,半徑為 5,矩形 ABCD的頂點(diǎn) B在直 徑 AE上 ,頂點(diǎn) C在半圓上 ,AB=8,點(diǎn) P為半圓上一點(diǎn) . (1)矩形 ABCD的邊 BC的長(zhǎng)為 ?！?BD時(shí) ,直接寫出 EB39。CO=180176?！?BD,則有 ∠ ABD=∠ AEB39。=? =? x=4? 177。(2)①連接 EH,根據(jù)折疊得出 AB⊥ OH,根據(jù)切線的性質(zhì)定理得出 OH⊥ CD,可推 出 CD與 AB的位置關(guān)系 。. ∵∠ AMB39。, 又 ∵ OA=OP,∴ △ APO為等邊三角形 , ∴∠ AOP=60176。(3)弄 清半圓弧與直線 CD的交點(diǎn)情況的界點(diǎn)即可得 d的取值范圍 . AP︵2.(2022保定蓮池一模 ,25)在等邊△ AOB中 ,將扇形 COD按圖 1擺放 ,使其半徑 OC、 OD分別與 OA、 OB重合 ,OA=OB=2,OC=OD=1,等邊三角形 AOB不動(dòng) ,讓扇形 COD繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,線段 AC、 BD也隨之變化 ,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 α(0176。,AO=OB, 又 ∵∠ AOC=60176。 (2)當(dāng) AC落在 AN上時(shí) ,設(shè)點(diǎn) B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn) D,E. ①畫出旋轉(zhuǎn)后的 Rt△ ADE。, 連