【正文】 167。 圓的綜合問題 中考數(shù)學(xué) (河北專用 ) 一、與圓相關(guān)的翻折問題 好題精練 1.(2022邯鄲一模 ,25)如圖 1,已知以 AE為直徑的半圓圓心為 O,半徑為 5,矩形 ABCD的頂點(diǎn) B在直 徑 AE上 ,頂點(diǎn) C在半圓上 ,AB=8,點(diǎn) P為半圓上一點(diǎn) . (1)矩形 ABCD的邊 BC的長為 。 (2)將矩形沿直線 AP折疊 ,使點(diǎn) B落在點(diǎn) B39。處 . ①點(diǎn) B39。 到直線 AE的最大距離是 。 ②當(dāng)點(diǎn) P與點(diǎn) C重合時 ,如圖 2所示 ,AB39。交 DC于點(diǎn) M,求證 :四邊形 AOCM是菱形 ,并通過證明判斷 CB39。與半圓的位置關(guān)系 。 ③當(dāng) EB39?！?BD時 ,直接寫出 EB39。的長 . 圖 1 圖 2 解析 (1)4. 連接 OC,∵ OB=85=3,OC=5,∴ BC=? =4. (2)① 8. (提示 :當(dāng) AB39。⊥ AE時 ,點(diǎn) B39。到直線 AE的距離最大 ,最大距離是 8.) ②證明 :由折疊可知 ∠ OAC=∠ MAC. ∵ OA=OC,∴∠ OAC=∠ OCA, ∴∠ OCA=∠ MAC,∴ OC∥ AM, 又 ∵ CM∥ OA,∴ 四邊形 AOCM是平行四邊形 , 又 ∵ OA=OC,∴ ?AOCM是菱形 . 結(jié)論 :CB39。與半圓相切 . 證明 :由折疊可知 ∠ AB39。C=∠ ABC=90176。. ∵ OC∥ AM,∴∠ AB39。C+∠ B39。CO=180176。, ∴∠ B39。CO=90176。,∴ CB39?！?OC, ∵ OC為半圓的半徑 ,∴ CB39。與半圓相切 . 2253?③ 4? +2? 或 4? 2? . ? 提示 :過點(diǎn) B39。作 B39。G⊥ AE. 若 EB39?！?BD,則有 ∠ ABD=∠ AEB39。. ∵ tan∠ ABD=? =? =? ,∴ tan∠ AEB39。=? =? . 設(shè) B39。G=x,EG=2x,則 AG=102x. 在 Rt△ AB39。G中 ,AB39。2=AG2+B39。G2,∴ 82=(102x)2+x2, 解得 x=4177。? ,∴ EB39。=? =? x=4? 177。2? .? 5 11 5 11ADAB 48 1239。BGEG 122 5 552239。BG EG? 5 5 11 ,☉ O的半徑為 6,AB為弦 ,將☉ O沿弦 AB所在的直線折疊后 ,? 上的點(diǎn) H與圓心 O重合 . (1)求弦 AB的長度 。 (2)點(diǎn) E是 ? 上的動點(diǎn) ,過點(diǎn) E作 ? 的切線交☉ O于 C、 D兩點(diǎn) . ①當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn) O重合時 ,判斷 CD與 AB的位置關(guān)系 ,并說明理由 。 ②當(dāng)點(diǎn) C與點(diǎn) A重合時 ,判斷 CD與 AB的數(shù)量關(guān)系 ,并說明理由 。 ③請直接寫出線段 CD的長度的范圍 . ? AB︵AOB︵ AOB︵解析 (1)如圖 ,連接 OH,交 AB于 M,連接 BO, ∵ ☉ O的半徑為 6,沿 AB折疊 ,H和 O重合 , ∴ OM=HM=3,OH⊥ AB, 由勾股定理得 BM=? =3? , 由垂徑定理得 AB=2BM=6? . (2)①當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn) O重合時 ,CD∥ AB, 理由如下 :如圖 1,連接 HE, ∵ OH是半徑 ,CD切☉ H于 E,∴ OH⊥ CD, ∵ OH⊥ AB,∴ CD∥ AB. 2263? 33②如圖 2,當(dāng)點(diǎn) C與點(diǎn) A重合時 ,CD=AB=6? . 理由如下 :連接 HD, ∵ CD切☉ H于 A,∴ HA⊥ CD,∴∠ HAD=90176。,∴ HD為直徑 , 即 HD=26=12, ∵ AH=6,∴ 在 Rt△ DAH中 ,AD=? =6? ,即 CD=AB=6? . ③ 6? ≤ CD≤ 12. 32212 6? 3 33思路分析 (1)連接 OH,交 AB于 M,連接 BO,根據(jù)勾股定理求出 BM,根據(jù)垂徑定理求出 AB=2BM, 得出弦 AB 的長 。(2)①連接 EH,根據(jù)折疊得出 AB⊥ OH,根據(jù)切線的性質(zhì)定理得出 OH⊥ CD,可推 出 CD與 AB的位置關(guān)系 。②先判斷 HD為☉ O的直徑 ,然后在 Rt△ DAH中求出 AD的長 ,即可得出 CD=AB。③當(dāng)點(diǎn) C和 A或 B重合時 ,CD=AB,當(dāng)和 A、 B不重合時 ,根據(jù)直徑是最長的弦 ,得 CD=12, 從而可得出線段 CD的長度的范圍 . 二、與圓相關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題 1.(2022保定競秀一模 ,25)已知矩形 ABCD,AB=4,BC=3,以 AB為直徑的半圓 O在矩形 ABCD的外 部 (如圖 1),將半圓 O繞點(diǎn) A順時針旋轉(zhuǎn) α度 (0≤ α≤ 180). (1)半圓的直徑落在對角線 AC上時 ,如圖 2所示 ,半圓與 AB的交點(diǎn)為 M,求 AM的長 。 (2)半圓與直線 CD相切時 ,切點(diǎn)為 N,與線段 AD的交點(diǎn)為 P,如圖 3所示 ,求劣弧 AP的長 。 (3)在旋轉(zhuǎn)過程中 ,半圓弧與直線 CD只有一個交點(diǎn)時 ,設(shè)此交點(diǎn)與點(diǎn) C的距離為 d,直接寫出 d的 取值范圍 . ? 解析 (1)如圖 1,連接 B39。M, ? 圖 1 在 Rt△ ABC中 ,AB=4,BC=3, ∴ AC=? =5, ∵ AB39。為直徑 ,∴∠ AMB39。=90176。. ∵∠ AMB39。=∠ ABC39。=90176。,∠ B39。AM=∠ CAB, ∴ △ ABC∽ △ AMB39。.? =? ,∴ ? =? ,∴ AM=? . (2)如圖 2,連接 NO并延長交 BA的延長線于點(diǎn) Q,連接 OP. 22AB BC?ABAM 39。ACAB 4AM 54 165? 圖 2 ∵ 半圓弧與直線 CD相切于點(diǎn) N, ∴ ON⊥ CN,∴ NQ=AD=3,ON=2,OQ=1. ∴ 在 Rt△ OAQ中 ,sin∠ OAQ=? =? , ∴∠ OAQ=30176。,∴∠ PAO=60176。, 又 ∵ OA=OP,∴ △ APO為等邊三角形 , ∴∠ AOP=60176。,∴ ? 的長度 =? =? . (3)4? ≤ d4或 d=4+? . 詳解 :當(dāng) B39。第一次落在 CD上時 (如圖 3), OQOA 12AP︵ 60 2180??? 23?7 3半圓弧開始與直線 CD有交點(diǎn) . 此時 AD=3,AB39。=AB=4, ∴ DB39。=? =? ,∴ CB39。=d=4? . 從圖 3開始半圓弧與直線 CD有一個交點(diǎn) , 當(dāng)點(diǎn) B39。第二次落在直線 CD上時 (如圖 4), 半圓弧開始與直線 CD有兩個交點(diǎn) . 此時半圓弧與直線 CD的交點(diǎn)與點(diǎn) D重合并且出現(xiàn)第二個交點(diǎn) ,即 d=4. 當(dāng)半圓弧與直線 CD相切時 (如圖 2),半圓弧與直線 CD只有一個交點(diǎn) , 2243? 7 7此時 ,AQ=DN=? ,CN=4+? . ∴ d的取值范圍是 4? ≤ d4或 d=4+? . 3 37 3思路分析 (1)利用圓周角定理和相似三角形的性質(zhì)引出含有 AM的等式得解 。(2)利用切線的 性質(zhì)先求得 OQ的長 ,進(jìn)而得出 ∠ OAQ和 ∠ PAO的大小 ,最后利用弧長公式求出 ? 的長 。(3)弄 清半圓弧與直線 CD的交點(diǎn)情況的界點(diǎn)即可得 d的取值范圍 . AP︵2.(2022保定蓮池一模 ,25)在等邊△ AOB中 ,將扇形 COD按圖 1擺放 ,使其半徑 OC、 OD分別與 OA、 OB重合 ,OA=OB=2,OC=OD=1,等邊三角形 AOB不動 ,讓扇形 COD繞點(diǎn) O逆時針旋轉(zhuǎn) ,線段 AC、 BD也隨之變化 ,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 α(0176。α≤ 360176。). (1)當(dāng) OC∥ AB時 ,旋轉(zhuǎn)角 α= 。 (2)發(fā)現(xiàn) :線段 AC與 BD有何數(shù)量關(guān)系 ?請根據(jù)圖 2給出證明 。 (3)應(yīng)用 :當(dāng) A、 C、 D三點(diǎn)共線時 ,求 BD的長 。 (4)拓展 :P是線段 AB上任意一點(diǎn) ,在扇形 COD的旋轉(zhuǎn)過程中 ,請直接寫出 PC的最大值與最小值 . 解析 (1)60176?；?240176。. (2)AC=BD. 證明 :∵ △ AOB為等邊三角形 , ∴∠ AOB=∠ COD=60176。,AO=OB, 又 ∵∠ AOC=60176?！?AOD,∠ BOD=60176。∠ AOD, ∴∠ AOC=∠ BOD, 在△ AOC與△ BOD中 ,? ∴ △ AOC≌ △ BOD(SAS), ∴ AC=BD. (3)當(dāng) A、 D、 C三點(diǎn)順次共線時 ,如圖 , 連接 CD,過點(diǎn) O作 OE⊥ CD,垂足為 E, ,O A O BA O C B O DO C O D???? ? ??? ??易知△ COD為等邊三角形 ,∵ OC=OD=1, ∴ CE=DE=? ,OE=? , 在 Rt△ AOE中 ,AE=? =? =? , ∴ AC=AE+CE=? +? .