【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解析 發(fā)現(xiàn) :如圖 1, 圖 1 ①當(dāng) F與 E重合時(shí) ,CF的最小值為 CE的長(zhǎng) =6. ②當(dāng) CF經(jīng)過(guò)圓心時(shí) ,CF的長(zhǎng)最大 , 最大值 =OC+OF=? +3=3? +3. 探究 :(1)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) G落在 AC邊上時(shí) ,點(diǎn) E與 C重合 ,連接 OG, 2236? 5? 圖 2 ∵ G為 ? 的中點(diǎn) ,則 ∠ DOG=∠ GOC=90176。,半圓與△ ABC重合部分的面積 =扇形 ODG的面積 +△ OCG的面積 =? ? π32+? 33=? π+? . 如圖 3,當(dāng)點(diǎn) G落在 BC上 , DE︵12 12 12 94 92圖 3 ∵ OG∥ MN,∴∠ BGO=∠ BCE=60176。,設(shè) BC與半圓相交的另一個(gè)點(diǎn)為 S,連接 OS, ∵ OS=OG,∴ △ OSG是等邊三角形 , ∴ 半圓與△ ABC重疊部分的面積 =扇形 OGS的面積 △ OGS的面積 =? π32? 32=? π? . 綜上 ,當(dāng) G落在△ ABC的邊上時(shí) ,半圓與△ ABC重合部分的面積為 ? π+? 或 ? π? . (2)點(diǎn) E與 H重合時(shí) ,BH=8,OE=3,BO=5,設(shè) BC交半圓于 R、 T,OP⊥ RT于點(diǎn) P,則 PT=PR, 60360 34 3293494 92 32 934? 圖 4 ∵∠ CBE=30176。,∴ OP=? , 連接 OR,則 RP=? =? ,∴ RT=2PR=? . (3)①如圖 5,當(dāng)半圓與 AC相切時(shí) ,設(shè)切點(diǎn)為 K,則 CK=CE,作 KU⊥ DE于 U, 5222 532??? ???? 11211? 圖 5 ∵∠ KOE=45176。,OK=3,∴ KU=OU=? ? ,EU=3? ? , 作 KL⊥ MN于 L,可得 KL=EU, ∵∠ KCL=45176。,∴ CK=CE=? KL=? EU=3? 3. ②如圖 6,當(dāng)半圓與 BC相切時(shí) ,設(shè)切點(diǎn)為 W,連接 OW,則 CE=CW,∠ OCE=∠ OCW=30176。, 3223222 2 2圖 6 ∵ OE=3,∴ tan 30176。=? ,∴ CE=3? . 所以當(dāng)半圓與△ ABC的邊相切時(shí) ,CE=3? 3或 3? . 3CE 32 3思路分析 發(fā)現(xiàn) :①當(dāng) F與 E重合時(shí) ,CF的最小值為 CE的長(zhǎng) .②當(dāng) CF經(jīng)過(guò)圓心時(shí) ,CF的長(zhǎng)最大 .探 究 :(1)分兩種情形 ,當(dāng)點(diǎn) G落在 AC邊上時(shí) ,點(diǎn) E與 C重合 ,半圓與△ ABC重合部分的面積 =扇形 ODG的面積 +△ OCG的面積 。當(dāng)點(diǎn) G落在 BC上時(shí) ,重疊部分的面積 =扇形 OGS的面積 △ OGS的 面積 .(2)點(diǎn) E與 H重合時(shí) ,BH=8,OE=3,BO=5,作 OP⊥ RT,先求出 OP的長(zhǎng) ,然后利用勾股定理求得 PR,即可求出 RT的長(zhǎng) .(3)①當(dāng)半圓與 AC相切時(shí) ,設(shè)切點(diǎn)為 K,則 CK=CE,作 KU⊥ DE于 U,根據(jù) CK= ? EU得解 。②當(dāng)半圓與 BC相切時(shí) ,設(shè)切點(diǎn)為 W,連接 OW,則 CE=CW,在 Rt△ COE中 ,解直角三角 形即可 . 23.(2022石家莊模擬 ,24)如圖 1,等邊△ ABC的邊長(zhǎng)為 3,分別以頂點(diǎn) B、 A、 C為圓心 ,BA長(zhǎng)為半徑 作 ? 、 ? 、 ? ,我們把這三條弧所組成的圖形稱作萊洛三角形 ,顯然萊洛三角形仍然是軸對(duì) 稱圖形 ,設(shè)點(diǎn) I為對(duì)稱軸的交點(diǎn) . (1)如圖 2,將這個(gè)圖形在線段 MN上做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng) ,當(dāng)它滾動(dòng)一周后點(diǎn) A與端點(diǎn) N重合 ,則線段 MN的長(zhǎng)為 。 (2)如圖 3,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn) A與等邊△ DEF的頂點(diǎn) D重合 ,且 AB⊥ DE,DE=2π,將它沿等邊△ DEF的邊做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng) ,當(dāng)它第一次回到起始位置時(shí) ,求這個(gè)圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所掃過(guò)的區(qū) 域的面積 。 (3)如圖 4,將這個(gè)圖形的頂點(diǎn) B與☉ O的圓心 O重合 ,☉ O的半徑為 3,將它沿☉ O的圓周做無(wú)滑動(dòng) 的滾動(dòng) ,當(dāng)它第 n 次回到起始位置時(shí) ,點(diǎn) I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 .(請(qǐng)用含 n的式子表示 ) AC︵ CB︵ BA︵解析 (1)∵ 等邊△ ABC的邊長(zhǎng)為 3, ∴∠ ABC=∠ ACB=∠ BAC=60176。,? =?= ? , ∴ l? =l? =l? =? =π, ∴ 線段 MN的長(zhǎng)為 l? +l? +l? =3π. (2)如圖 , ? 由題意知 ,AG⊥ AF,又 AB⊥ DE, 等邊△ DEF的邊長(zhǎng)為 2π,等邊△ ABC的邊長(zhǎng)為 3, ∴ S矩形 AGHF=2π3=6π, 易知 ∠ BAG=120176。,∴ S扇形 BAG=? =3π, AC︵ BC︵ AB︵AC ︵ BC ︵ AB ︵60 3180? ?AC ︵ BC ︵ AB ︵2120 3360? ?∴ 圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所掃過(guò)的區(qū)域的面積為 3(S矩形 AGHF+S扇形 BAG)=3(6π+3π)=27π. (3)如圖 , ? 連接 BI并延長(zhǎng)交 AC于 D,連接 AI, ∵ I是△ ABC的外心也是內(nèi)心 ,∴∠ DAI=30176。,AD=? AC=? , ∴ OI=AI=? =? =? , ∴ 當(dāng)它第 1次回到起始位置時(shí) ,點(diǎn) I所經(jīng)過(guò)的路徑是以 O為圓心 ,OI為半徑的圓周長(zhǎng) , ∴ 當(dāng)它第 n次回到起始位置時(shí) ,點(diǎn) I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 n2π? =2? nπ. 12 32cosADDAI?32c o s 3 0 ? 33 3思路分析 (1)先求出 ? 的弧長(zhǎng) ,繼而得出萊洛三角形的周長(zhǎng)為 3π,即可得出 MN的長(zhǎng) 。(2)先判 斷出萊洛三角形繞等邊△ DEF一周掃過(guò)的面積的圖形 ,再求面積 。(3)先判斷出萊洛三角形的一 個(gè)頂點(diǎn)和 O重合旋轉(zhuǎn)一周點(diǎn) I的路徑 ,再用圓的周長(zhǎng)公式即可得出點(diǎn) I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng) . AC︵一、與圓相關(guān)的翻折問(wèn)題 教師專用題組 ,在☉ O中 ,AB為直徑 ,點(diǎn) C為圓上一點(diǎn) ,將劣弧 ? 沿弦 AC翻折 ,交 AB于點(diǎn) D,連接 CD,如果 ∠ BAC=20176。,則 ∠ BDC=? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 AC︵答案 B 如圖 ,連接 BC, ? ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。, ∵∠ BAC=20176。,∴∠ B=90176?！?BAC=90176。20176。=70176。. 根據(jù)翻折的性質(zhì) ,? 所對(duì)的圓周角為 ∠ B,? 所對(duì)的圓周角為 ∠ ADC,∴∠ ADC+∠ B=180176。,又 ∠ ADC+∠ BDC=180176。, ∴∠ BDC=∠ B=70176。,故選 B. AC︵ ABC︵思路分析 連接 BC,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出 ∠ B,再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到 ∠ ADC+∠ B =180176。,進(jìn)而推出 ∠ BDC=∠ B,即可得出結(jié)論 . ,扇形 OAB的半徑為 4,∠ AOB=90176。,P是半徑 OB上一動(dòng)點(diǎn) ,Q是弧 AB上的一動(dòng)點(diǎn) . (1)當(dāng) P是 OB中點(diǎn) ,且 PQ∥ OA時(shí) (如圖 1),弧 AQ的長(zhǎng)為 。 (2)將扇形 OAB沿 PQ對(duì)折 ,使折疊后的弧 QB39。恰好與半徑 OA相切于 C點(diǎn) (如圖 2).若 OP=3,則 O到 折痕 PQ的距離為 . ? 解析 (1)? ,連接 OQ,∵ P是 OB中點(diǎn) ,OB=4,∴ OP=2, ∵ PQ∥ OA,∴∠ BPQ=∠ AOB=90176。, ∵ OP=? OQ,∴∠ 1=30176。,∴∠ 2=∠ 1=30176。, 所以弧 AQ的長(zhǎng) =? =? π. ? (2)? .如圖 ,找點(diǎn) O關(guān)于 PQ的對(duì)稱點(diǎn) O39。,連接 OO39。、 O39。B、 O39。C、 O39。P,設(shè) OO39。與 PQ交于點(diǎn) M, 則 OM=O39。M,OO39?！?PQ,O39。P=OP=3,點(diǎn) O39。是 ? 所在圓的圓心 , ∴ O39。C=OB=4, ∵ 折疊后的弧 QB39。恰好與半徑 OA相切于 C點(diǎn) ,∴ O39。C⊥ AO, ∴ O39。C∥ OB,∴ 四邊形 OCO39。B是矩形 , 在 Rt△ O39。BP中 ,O39。B=? =2? , 231230 4180???23639。BQ︵2231? 2在 Rt△ OCO39。中 ,OO39。=? =2? , ∴ OM=? OO39。=? 2? =? , 即 O到折痕 PQ的距離為 ? . ? 224 (2 2)? 612 126 66思路分析 (1)連接 OQ,利用直角三角形直角邊是斜邊的一半 ,則這條直角邊所對(duì)的銳角為 30176。 及平行線的性質(zhì)求出 ∠ PQO=∠ AOQ=30176。,再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算得解 .(2)先找點(diǎn) O關(guān)于 PQ的對(duì) 稱點(diǎn) O39。,連接 OO39。、 O39。B、 O39。C、 O39。P,則易證四邊