【文章內(nèi)容簡介】 形 ,大扇形、小扇形 的面積分別為 S ? =? ≈ ,則稱分成的 ? 為“黃金扇形” .生活中的折扇 (如圖 2)大致是“黃金扇形” ,則“黃金扇形”的圓心角約為 176。.(精確到 ) ? 1SS 21S ???小 扇 形答案 解析 ()360176?！?176。. 9.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,20,8分 )如圖 ,以△ ABC的邊 AB為直徑畫☉ O,交 AC于點 D,半徑 OE∥ BD,連接 BE,DE,BD,設(shè) BE交 AC于點 F,若 ∠ DEB=∠ DBC. (1)求證 :BC是☉ O的切線 。 (2)若 BF=BC=2,求圖中陰影部分的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ADB=90176。, ∴∠ A+∠ ABD=90176。,? (1分 ) 又 ∵∠ A=∠ DEB, ∠ DEB=∠ DBC, ∴∠ A=∠ DBC,? (2分 ) ∴∠ DBC+∠ ABD=90176。, ∴ BC是☉ O的切線 .? (3分 ) (2)∵ BF=BC=2且 ∠ ADB=90176。, ∴∠ CBD=∠ FBD,? (4分 ) 又 ∵ OE∥ BD, ∴∠ FBD=∠ OEB, ∵ OE=OB, ∴∠ OEB=∠ OBE,? (5分 ) ∴∠ CBD=∠ FBD=∠ OBE=? ∠ ABC=? 90176。=30176。.? (6分 ) ∴∠ C=60176。, ∴ AB=? BC=2? , ∴ ☉ O的半徑為 ? .? (7分 ) 如圖 ,連接 OD, ? ∴ 陰影部分面積為 S扇形 OBDS△ OBD=? π(? )2? ? (? )2=? ? .? (8分 ) 13 1333316 312 323?33410.(2022河北 ,25,10分 )如圖 ,半圓 O的直徑 AB=4,以長為 2的弦 PQ為直徑 ,向點 O方向作半圓 M,其 中 P點在 ? 上且不與 A點重合 ,但 Q點可與 B點重合 . 發(fā)現(xiàn) ? 的長與 ? 的長之和為定值 l,求 l。 思考 點 M與 AB的最大距離為 ,此時點 P,A間的距離為 。點 M與 AB的最小距 離為 ,此時半圓 M的弧與 AB所圍成的封閉圖形面積為 。 探究 當(dāng)半圓 M與 AB相切時 ,求 ? 的長 . ? ? AQ︵AP︵QB︵ AP︵63: ,cos35 ,cos5533????? ??????注 結(jié) 果 保 留解析 發(fā)現(xiàn) 連接 OP,OQ,則 OP=OQ=PQ=2. ∴∠ POQ=60176。. ∴ ? 的長 =? =? . ∴ l=? π4? =? .? (2分 ) 思考 ? 。2。? 。? ? .? (6分 ) 探究 半圓 M與 AB相切 ,分兩種情況 : ①如圖 1,半圓 M與 AO切于點 T時 ,連接 PO,MO,TM, 則 MT⊥ AO,OM⊥ PQ. ? PQ︵60 2180? ?23?1223?43?3 326? 34圖 1 在 Rt△ POM中 ,sin∠ POM=? , ∴∠ POM=30176。.? (7分 ) 在 Rt△ TOM中 ,TO=? =? , ∴ cos∠ AOM=? ,即 ∠ AOM=35176。.? (8分 ) ∴∠ POA=35176。30176。=5176。, ∴ ? 的長 =? =? .? (9分 ) ②如圖 2,半圓 M與 BO切于點 S時 ,連接 QO,MO,SM. ? 12 22( 3) 1?263AP︵ 52180? ?18?圖 2 由對稱性 ,同理得 ? 的長 =? . 由 l=? ,得 ? 的長 =? ? =? . 綜上 ,? 的長為 ? 或 ? .? (10分 ) BQ︵18?43?AP︵ 43??23?︵ ? ?11.(2022河北 ,23,9分 )如圖 ,AB=16,O是 AB中點 ,點 C在線段 OB上 (不與點 O,B重合 ),將 OC繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 270176。后得到扇形 COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧 ? 于點 P,Q,且點 P,Q在 AB異側(cè) ,連接 OP. (1)求證 :AP=BQ。 (2)當(dāng) BQ=4? 時 ,求優(yōu)弧 ? 的長 (結(jié)果保留 π)。 (3)若△ APO的外心在扇形 COD的內(nèi)部 ,求 OC的取值范圍 . ? CD︵3QD︵解析 (1)證明 :連接 OQ.? (1分 ) ∵ AP,BQ分別與優(yōu)弧 ? 相切 , ∴ OP⊥ AP,OQ⊥ BQ,即 ∠ APO=∠ Q=90176。. 又 OA=OB,OP=OQ, ∴ Rt△ APO≌ Rt△ BQO.? (3分 ) ∴ AP=BQ.? (4分 ) (2)∵ BQ=4? ,OB=? AB=8,∠ Q=90176。, ∴ sin∠ BOQ=? .∴∠ BOQ=60176。.? (5分 ) ∵ OQ=8cos 60176。=4, ∴ 優(yōu)弧 ? 的長為 ? =? .? (7分 ) (3)設(shè)點 M為 Rt△ APO的外心 ,則 M為 OA的中心 ,∴ OM=4. 當(dāng)點 M在扇形 COD的內(nèi)部時 ,OMOC,∴ 4OC8.? (9分 ) CD︵312 32QD︵(270 60) 4180 ???143?思路分析 (1)連接 ∠ APO=∠ Q=90176。,由 HL得出 Rt△ APO≌ Rt△ BQO, 即可得 AP=BQ。(2)由 BQ=4? ,OB=8,確定出 ∠ BOQ的度數(shù)及 OQ的長 ,進而根據(jù)弧長公式求出 優(yōu)弧 ? 的長 。(3)△ APO的外心是 OA的中點 ,OA=8,從而可由△ APO的外心在扇形 COD的 內(nèi)部求出 OC的取值范圍 . 3QD︵解題技巧 遇到含有切線的解答題 ,首先要想到的是作輔助線 ,由此獲得更多能夠證明題目要 求的條件 .一般作輔助線的方法為“見切點 ,連圓心” ,從而構(gòu)造直角三角形 (垂直 )進行證明或 計算 . 12.(2022四川綿陽 ,22,11分 )如圖 ,O是△ ABC的內(nèi)心 ,BO的延長線和△ ABC的外接圓相交于點 D, 連接 DC、 DA、 OA、 OC,四邊形 OADC為平行四邊形 . (1)求證 :△ BOC≌ △ CDA。 (2)若 AB=2,求陰影部分的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ O為△ ABC的內(nèi)心 , ? ∴∠ 2=∠ 3,∠ 5=∠ 6, ∵∠ 1=∠ 2,∴∠ 1=∠ 3,? (3分 ) ∵ 四邊形 OADC為平行四邊形 , ∴ AD?? CO,∴∠ 4=∠ 5,∴∠ 4=∠ 6, ∴ △ BOC≌ △ CDA(AAS).? (6分 ) (2)由 (1)得 BC=AC,∠ 3=∠ 4=∠ 6, ∴∠ ABC=∠ ACB,∴ AB=AC, ∴ △ ABC為等邊三角形 ,? (8分 ) ∴ △ ABC的內(nèi)心 O也是外心 ,∴ OA=OB=OC. 設(shè) E為 BD與 AC的交點 ,則 BE垂直平分 AC. 在 Rt△ OCE中 ,CE=? AC=? AB=1,∠ OCE=30176。, ∴ OA=OB=OC=? ? ,∵∠ AOB=120176。, ∴ S陰影 =S扇形 AOBS△ AOB=? ? ? 2? =? .? (11分 ) 121223 3120360? 22 33??????12 334 3 39? ?13.(2022貴州貴陽 ,23,10分 )如圖 ,PA ,PB分別與☉ O相切于點 A,B,∠ APB=60176。,連接 AO,BO. (1)? 所對的圓心角 ∠ AOB= 度 。 (2)求證 :PA =PB。 (3)若 OA=3,求陰影部分的面積 . ? AB︵解析 (1)120.? (3分 ) (2)證明 :連接 OP,如圖 .? (4分 ) ? ∵ PA ,PB分別切☉ O于點 A,B, ∴∠ OAP=∠ OBP=90176。. ∵ OA=OB,OP=OP, ∴ Rt△ OAP≌ Rt△ OBP, ∴ PA =PB.? (6分 ) (3)由 (2)知 Rt△ OAP≌ Rt△ OBP,則 ∠ OPA=∠ OPB=? ∠ APB=30176。. 在 Rt△ OAP中 ,OA=3,∴ AP=3? , 123∴ S△ OPA=? 33? =? ,? (8分 ) ∴ S陰影 =2? ? =9? 3π.? (10分 ) 12 393222120 3360? ?3考點二 圓內(nèi)接正多邊形 1.(2022山西 ,10,3分 )如圖 ,正方形 ABCD內(nèi)接于☉ O,☉ O的半徑為 2,以點 A為圓心 ,以 AC長為半 徑畫弧交 AB的延長線于點 E,交 AD的延長線于點 F,則圖中陰影部分的面積是 ? ( ) ? 答案 A ∵ 四邊形 ABCD為正方形 ,∴∠ BAD=90176。,因為圓和正方形是中心對稱圖形 ,∴ S陰影 = S扇形 AEFS△ ABD=? ? =? ? =4π4,故選 A. 290 4360? ?2AO BD290 4360? ?242?2.(2022貴州貴陽 ,13,4分 )如圖 ,點 M,N分別是正五邊形 ABCDE的兩邊 AB,BC上的點 ,且 AM=BN, 點 O是正五邊形的中心 ,則 ∠ MON的度數(shù)是 度 . ? 答案 72 解析 解法一 :連接 OA,OB,∵ O為正五邊形 ABCDE的中心 , ∴∠ OAM=∠ OBN,又 ∵ OA=OB,AM=BN,∴ △ OAM≌ △ OBN,∴∠ AOM=∠ BON,∴∠ MON= ∠ AOB=? =72176。. ? 解法二 :特殊位置法 ,當(dāng) OM⊥ AB,ON⊥ BC時 ,∠ MON=180176。∠ B=72176。. ? 解法三 :作 OP⊥ AB,OQ⊥ BC,如圖所示 . 3605 ?? 易證 Rt△ OPM≌ Rt△ OQN,則 ∠ POM=∠ QON, ∴∠ MON=∠ POQ=180176?！?B=72176。. 3.(2022山東煙臺 ,17,3分 )如圖所示 ,正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于☉ O,若☉ O的半徑為 4,則陰影部 分的面積等于 . ? 答案 ? π 163解析 連接 OD,由題意易知陰影部分的面積等于扇形 OBCD的面積 , 所以陰影部分的面積 S=? =? π. 2120 4360? ?163考點一 弧長、扇形面積的計算 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 1.(2022澄海模擬 ,9)如圖 ,菱形 ABCD中 ,∠ B=70176。,AB=3,以 AD為直徑的☉ O交 CD于點 E,則弧 DE 的長為 ? ( ) ? A.? π B.? π C.? π D.? π 13 2376 43答案 A 連接 OE,如圖所示 . ? ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴∠ ADE=∠ B=70176。,AD