【文章內(nèi)容簡介】 并分別得到 FH與 GH關(guān)于 x的方程 ,然后解方程求出☉ O的半徑 . 34 3419415.(2022東營 ,21,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,以 AB為直徑的☉ O交 BC于點(diǎn) D,過點(diǎn) D作☉ O的 切線 DE,交 AC于點(diǎn) E,AC的反向延長線交☉ O于點(diǎn) F. (1)求證 :DE⊥ AC。 (2)若 DE+EA=8,☉ O的半徑為 10,求 AF的長度 . ? 解析 (1)證明 :∵ OB=OD,∴∠ B=∠ ODB. ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ ACB.∴∠ ODB=∠ ACB,∴ OD∥ AC. ∵ DE是☉ O的切線 ,OD是☉ O的半徑 ,∴ DE⊥ OD. ∴ DE⊥ AC. (2)過點(diǎn) O作 OH⊥ AF,垂足為 H,則 ∠ ODE=∠ DEH=∠ OHE=90176。,∴ 四邊形 ODEH為矩形 ,∴ OD= EH,OH=DE. 設(shè) AH=x,∵ DE+EA=8,OD=10, ? ∴ AE=10x,OH=DE=8(10x)=x2. 在 Rt△ AOH中 ,由勾股定理知 :AH2+OH2=OA2, ∴ x2+(x2)2=102, 解得 x1=8,x2=6(不符合題意 ,舍去 ),∴ AH=8, ∵ OH⊥ AF,∴ AH=FH=? AF,∴ AF=2AH=28=16. 12思路分析 (1)由 AB=AC得到 ∠ B=∠ ACB,又由 OB=OD得到 ∠ B=∠ ODB,進(jìn)而得到 ∠ ODB=∠ ACB,所以 OD∥ AC,由切線性質(zhì)知道 DE⊥ OD,即可證得 DE⊥ AC.(2)過 O作 OH⊥ AF于 H,由垂徑 定理可知 AH=? AF,由矩形的判定易知四邊形 ODEH為矩形 ,即 OD=HE,OH= AH=x,則 AE =10x,OH=DE=8AE=8(10x)=x2,在 Rt△ AOH中 ,由勾股定理知 AH2+OH2=OA2,列方程即可求 得 x,進(jìn)而求得 AF. 12B組 2022— 2022年全國中考題組 考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念與性質(zhì) 1.(2022四川遂寧 ,9,4分 )如圖 ,☉ O的半徑為 4,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,連接 OB、 ∠ BAC與 ∠ BOC互補(bǔ) ,則弦 BC的長為 ? ( ) ? ? ? ? ? 3333答案 B ∵∠ BOC+∠ CAB=180176。,∠ BOC=2∠ CAB, ∴∠ BOC=120176。,作 OD⊥ BC交 BC于點(diǎn) D, ∴ BC=2BD. ∵ OB=OC, ∴∠ OBD=∠ OCD=? =30176。, ∴ BD=OBcos 30176。=2? , ∴ BC=2BD=4? ,故選 B. ? 180 2 BOC???332.(2022四川廣安 ,9,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,且經(jīng)過弦 CD的中點(diǎn) H,已知 cos∠ CDB=? ,BD=5, 則 OH的長度為 ? ( ) ? A.? B.? D.? 423 56 76答案 D 連接 BC, 根據(jù)題意 ,知 AB垂直平分 CD, ∴ BC=BD=5,∠ CDB=∠ BCD,∠ CHB=90176。, 在 Rt△ CHB中 ,CH=CBcos∠ BCD=5? =4, ∴ HB=? =? =3, ∴ sin∠ BCD=sin∠ CDB=? . ∵∠ CDB=∠ CAB, ∴ sin∠ CAB=? . ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ACB=90176。, 在 Rt△ ACB中 ,AB=? =? =? , ∴ OB=? AB=? , 45 22BC CH?2254?3535sin CBCAB?53525312256∴ OH=OBHB=? 3=? ,故選 D. 673.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,7,3分 )如圖 ,CD為☉ O的直徑 ,弦 AB⊥ CD,垂足為 AB=12,OM∶ MD =5∶ 8,則☉ O的周長為 ? ( ) ? C.? D.? 965?3 9 1 05 ?答案 B 連接 OA,設(shè) OM=5x(x0),則 MD=8x,∴ OA=OD=13x,又 ∵ AB=12,AB⊥ CD,∴ AM= Rt△ AOM中 ,(5x)2+62=(13x)2,解得 x=? (舍負(fù) ),∴ 半徑 OA=? ,∴ ☉ O的周長為 13π. 12 132方法規(guī)律 如圖 ,設(shè)圓 O的半徑為 r、弦長為 a、弦心距為 d,弓形的高為 h,則 ? +d2=r2(h=rd或 h=r+d).已知其中任意兩個(gè)量即可求出其余兩個(gè)量 . ? 22a??????4.(2022河北 ,9,3分 )下圖為 44的網(wǎng)格圖 ,A,B,C,D,O均在格點(diǎn)上 ,點(diǎn) O是 ? ( ) ? A.△ ACD的外心 B.△ ABC的外心 C.△ ACD的內(nèi)心 D.△ ABC的內(nèi)心 答案 B 設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為 1,則 OA=OB=OC=? ,所以點(diǎn) O到△ ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離 都相等 ,所以點(diǎn) O在三角形 ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)上 ,故點(diǎn) O是△ ABC的外心 . 5評析 本題考查了勾股定理和三角形外心的定義 ,用勾股定理分別求出點(diǎn) O與三角形 ABC各 頂點(diǎn)的距離 ,再根據(jù)定義作出判斷即可 . 5.(2022北京 ,12,2分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C,D在☉ O上 ,?=?, ∠ CAD=30176。,∠ ACD=50176。,則 ∠ ADB= 176。. ? CB︵CD︵答案 70 解析 ∵ ?=?, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。.又 ∵∠ BDC=∠ BAC=30176。,∠ ACD=50176。,∴∠ ADB=180176。 30176。30176。50176。=70176。. CB︵CD︵6.(2022湖北黃岡 ,11,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,AB為☉ O的直徑 ,∠ CAB=60176。,弦 AD平分 ∠ CAB,若 AD=6,則 AC= . ? 答案 2? 3解析 連接 BD,因?yàn)?AB為☉ O的直徑 ,所以 ∠ ADB=90176。,因?yàn)?∠ CAB=60176。,弦 AD平分 ∠ CAB,所以 ∠ BAD=30176。,因?yàn)?? =cos 30176。,所以 AB=? =? =4? .在 Rt△ ABC中 ,AC=ABcos 60176。=4? ? =2? . ADcos 30AD?6 32312 37.(2022北京 ,14,3分 )如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,C,D為☉ O上的點(diǎn) ,? =?. 若 ∠ CAB=40176。,則 ∠ CAD = 176。. ? AD︵CD︵答案 25 解析 連接 BC,BD,∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。, ∴∠ ABC=90176?！?CAB=90176。40176。=50176。.∵ ? =? ,∴∠ ABD=∠ CBD=? ∠ ABC=25176。,∴∠ CAD=∠ CBD=25176。. ? AD︵CD︵ 18.(2022浙江湖州 ,12,4分 )如圖 ,已知在△ ABC中 ,AB=AC,以 AB為直徑作半圓 O,交 BC于點(diǎn) ∠ BAC=40176。,則 ? 的度數(shù)是 度 . ? AD︵答案 140 解析 ∵ AB=AC,∠ BAC=40176。, ∴∠ B=∠ C=70176。, ∴ ? 的度數(shù)為 270176。=140176。. AD︵9.(2022黑龍江龍東地區(qū) ,7,3分 )如圖 ,CD是☉ O的直徑 ,CD=4,∠ ACD=20176。,點(diǎn) B為弧 AD的中點(diǎn) ,點(diǎn) P是直徑 CD上的一個(gè)動點(diǎn) ,則 PA +PB的最小值為 . ? 答案 2 解析 如圖所示 ,作出點(diǎn) A關(guān)于 CD的對稱點(diǎn) M,則 ?=?, 連接 MB交 CD于點(diǎn) PA +PB的 值最小 ,PA +PB的值最小為 BM的長 . ? 作直徑 BN,連接 ∠ BMN=90176。. ∵∠ ACD=20176。,點(diǎn) B為弧 ? 的中點(diǎn) , ∴ 弧 ? 所對圓心角的度數(shù)為 60176。,∴∠ MNB=30176。. ∴ 在 Rt△ BMN中 ,BM=? BN=? CD=? 4=2. ∴ PA +PB的最小值為 2. AD︵MD︵AD︵MB︵ 12121210.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,☉ O為銳角△ ABC的外接圓 ,半徑為 5. (1)用尺規(guī)作圖作出 ∠ BAC的平分線 ,并標(biāo)出它與劣弧 ? 的交點(diǎn) E(保留作圖痕跡 ,不寫作法 )。 (2)若 (1)中的點(diǎn) E到弦 BC的距離為 3,求弦 CE的長 . ? BC︵解析 (1)尺規(guī)作圖如圖所示 . ? (2)連接 OE交 BC于 M,連接 OC. 因?yàn)?∠ BAE=∠ CAE,所以 ? =?, 易得 OE⊥ BC,所以 EM=3. Rt△ OMC中 ,OM=OEEM=53=2,OC=5, 所以 MC2=OC2OM2=254=21. Rt△ EMC中 ,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦 CE的長為 ? . BE︵EC︵30思路分析 對于 (2),連接 OE交 BC于點(diǎn) M,再連接 OC,由 ∠ BAE=∠ CAE可得 ? =?, 可推出 OE ⊥ BC,最后利用勾股定理求出 CE. BE︵EC︵11.(2022河南 ,19,9分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,DO⊥ AB于點(diǎn) O,連接 DA交☉ O于點(diǎn) C,過點(diǎn) C作☉ O 的切線交 DO于點(diǎn) E,連接 BC交 DO于點(diǎn) F. (1)求證 :CE=EF。 (2)連接 AF并延長 ,交☉ O于點(diǎn) : ①當(dāng) ∠ D的度數(shù)為 時(shí) ,四邊形 ECFG為菱形 。 ②當(dāng) ∠ D的度數(shù)為 時(shí) ,四邊形 ECOG為正方形 . ? 解析 (1)證明 :連接 OC. ∵ CE是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CE. ∴∠ FCO+∠ ECF=90176。. ∵ DO⊥ AB,∴∠ B+∠ BFO=90176。. ∵∠ CFE=∠ BFO,∴∠ B+∠ CFE=90176。.? (3分 ) ∵ OC=OB,∴∠ FCO=∠ B. ∴∠ ECF=∠ CFE.∴ CE=EF.? (5分 ) (2)① 30176。.(注 :若填為 30,不扣分 )(7分 ) ② 176。.(注 :若填為 ,不扣分 )(9分 ) 12.(2022福建 ,24,12分 )已知四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,AC是☉ O的直徑 ,DE⊥ AB,垂足 為 E. (1)延長 DE交☉ O于點(diǎn) F,延長 DC,FB交于點(diǎn) P,如圖 :PC=PB。 (2)過點(diǎn) B作 BG⊥ AD,垂足為 G,BG交 DE于點(diǎn) H,且點(diǎn) O和點(diǎn) A都在 DE的左側(cè) ,如圖 AB=? ,DH =1,∠ OHD=80176。,求 ∠ BDE的大小 . ? 圖 1 圖 2 3解析 (1)證明 :∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ABC=90176。. 又 ∵ DE⊥ AB,∴∠ DEA=90176。. ∴∠ DEA=∠ ABC,∴ BC∥ DF, ∴∠ F=∠ PBC. ∵ 四邊形 BCDF是圓內(nèi)接四邊形 , ∴∠ F+∠ DCB=180176。, 又 ∵∠ PCB+∠ DCB=180176。, ∴∠ F=∠ PCB,∴∠ PBC=∠ PCB, ∴ PC=PB. (2)連接 OD,∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ADC=90176。, ? 又 ∵ BG⊥ AD,∴∠ AGB=90176。,∴∠ ADC=∠ AGB,∴ BG∥ DC. 又由 (1)知 BC∥ DE,∴ 四邊形 DHBC為平行四邊形 ,∴ BC=DH=1. 在 Rt△ ABC中 ,AB=? ,tan∠ ACB=? =? , ∴∠ ACB=60176。,∠ CAB=30176。. 從而 BC=? AC=OD,∴ DH=OD. 在等腰三角形 DOH中 ,∠ DOH=∠ OHD=80176。, ∴∠ ODH=20176。. 設(shè) DE交 AC于 N.∵ BC∥ DE,∴∠ ONH=∠ ACB=60176。, ∴∠ NOH=180176。(∠ ONH+∠ OHD)=40176。, ∴∠ DOC=∠ DOH∠ NOH=40176。, ∴∠ CBD=∠ OAD=20176。. ∵ BC∥ DE,∴∠ BDE=∠ CBD=20176。. 3AB312一題多解 (1)證明 :易證 DF∥ BC,從而 CD=BF,且 ? =? =1,∴ PB=PC. (2)連接 OD,設(shè) ∠ BDE=x,則 ∠ EBD=90176。x, 易證四邊形 BCDH為平行四邊形 , ∴ BC=DH=1,∵ AB=? ,∴∠ CAB=30176。,AC=2, ∴∠ ADB=∠ ACB=60176。, ∵ OD=OA=1=DH, ∴∠ ODH=180176。2∠ OHD=180176。280176。=20176。, ∴∠ OAD=∠ ODA=∠ ADB(∠ ODH+x) =60176。(20176。+x)=40176。x. 又 ∵∠ AOD=2∠ ABD, ∴ 180176。2(40176。x)=2(90176。x),解得 x=20176。,即 ∠ BDE=20176。. CDBF3解后反思 本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平 行四邊形的