【正文】 第五章 圓 167。 圓的性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系 中考數(shù)學(xué) (山東專用 ) A組 2022— 2022年山東中考題組 考點一 圓的有關(guān)概念與性質(zhì) 五年中考 1.(2022濟(jì)寧 ,4,3分 )如圖 ,點 B、 C、 D在☉ O上 ,若 ∠ BCD=130176。,則 ∠ BOD的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D 如圖所示 .在優(yōu)弧 ? 上任取一點 A(不與點 B、 D重合 ),連接 AB、 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,所以 ∠ A+∠ BCD=180176。.因為 ∠ BCD=130176。,所以 ∠ A=50176。,所以 ∠ BOD=2∠ A=250176。=100176。. ? BD︵2.(2022煙臺 ,10,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,點 I是△ ABC的內(nèi)心 ,∠ AIC=124176。,點 E在 AD 的延長線上 ,則 ∠ CDE 的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C 由 ∠ AIC=124176。,知 ∠ IAC+∠ ICA=180176。∠ AIC=180176。124176。=56176。, 又點 I是△ ABC的內(nèi)心 ,∴ 點 I是△ ABC三個內(nèi)角的平分線的交點 , ∴∠ BAC+∠ BCA =56176。2=112176。, ∴∠ B=180176。(∠ BAC+∠ BCA)=180176。112176。=68176。. ∵ 四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∴∠ B+∠ ADC=180176。, 又 ∠ ADC+∠ CDE=180176。,∴∠ CDE=∠ B=68176。. 3.(2022菏澤 ,6,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,OC⊥ AB,∠ ADC=32176。,則 ∠ OBA的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D 由垂徑定理 ,得 ?=?, 又 ∠ ADC=32176。, ∴∠ BOC=2∠ ADC=64176。,∴∠ OBA=90176。64176。=26176。. AC︵BC︵4.(2022青島 ,5,3分 )如圖 ,點 A、 B、 C、 D在☉ O上 ,∠ AOC=140176。,點 B是 ? 的中點 ,則 ∠ D的度數(shù) 是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 AC︵答案 D 如圖 ,連接 OB.∵ 點 B是 ? 的中點 ,∴ ? =?, ∴∠ AOB=? ∠ AOC=? 140176。=70176。,∴∠ D=? ∠ AOB=? 70176。=35176。. ? AC︵ AB︵BC︵12 12 12 12方法總結(jié) 在圓中 ,見到弧的中點時 ,就要想到等弧 ,相等的圓心角、圓周角以及相等的弦 . 5.(2022青島 ,6,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點 C,D,E在☉ O上 ,若 ∠ AED=20176。,則 ∠ BCD的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B 連接 AC.∵∠ AED=20176。,∴∠ ACD=∠ AED=20176。.∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。, ∴∠ BCD=∠ ACD+∠ ACB=20176。+90176。=110176。.故選 B. 思路分析 連接 AC,先根據(jù)在同圓或等圓中 ,同弧所對的圓周角相等 ,求得 ∠ ACD的度數(shù) ,再根 據(jù)直徑所對的圓周角是直角求得 ∠ ACB的度數(shù) .最后由 ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD得 ∠ BCD的度 數(shù) . 方法規(guī)律 解決與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計算問題時 ,一般先判斷角是圓周角還是圓心角 ,再轉(zhuǎn) 化成同弧所對的圓周角或圓心角 ,利用同弧所對的圓周角相等 ,同弧所對的圓周角是圓心角的 一半等關(guān)系求解 .特別地 ,當(dāng)已知圓的直徑時 ,往往要用到“直徑所對的圓周角是直角”的性 質(zhì) . 6.(2022泰安 ,12,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,若 ∠ A=α,則 ∠ OBC等于 ? ( ) ? 176。2α 176。+α 176。α 答案 D 連接 OC,則 ∠ BOC=2∠ A=2α,因為 OB=OC,所以 ∠ OBC=∠ OCB=? (180176。2α)=90176。α. 1思路分析 首先連接 OC,然后利用同弧所對的圓心角與圓周角之間的關(guān)系確定 ∠ BOC的大 小 ,最后利用等腰三角形的性質(zhì)計算出 ∠ OBC的度數(shù) . 7.(2022聊城 ,9,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,F是 ? 上一點 ,且 ? =?, 連接 CF并延長交 AD的延長線于點 E,連接 ∠ ABC=105176。,∠ BAC=25176。,則 ∠ E的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 CD︵ DF︵BC︵答案 B ∵ ? =?, ∴∠ DCF=∠ BAC=25176。. 又 ∵ 四邊形 ABCD是圓內(nèi)接四邊形 , ∴∠ ADC=180176?！?ABC=180176。105176。=75176。, ∴∠ E=∠ ADC∠ DCF=75176。25176。=50176。.故選 B. DF︵BC︵思路分析 利用圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)求出 ∠ ADC的度數(shù) ,利用在同圓或等圓中 ,同 弧所對的圓周角相等求出 ∠ DCF的度數(shù) ,最后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個 內(nèi)角的和求出 ∠ E的度數(shù) . 8.(2022東營 ,14,3分 )如圖 ,AB是半圓的直徑 ,半徑 OC⊥ AB于點 O,D為半圓上一點 ,AC∥ OD,AD 與 OC交于點 E,連接 CD、 BD,給出以下三個結(jié)論 :① OD平分 ∠ COB。② BD=CD。③ CD2=CECO. 其中正確結(jié)論的序號是 . ? 答案 ①②③ 解析 AB是半圓的直徑 ,OC⊥ AB,∴ OA=OB=OC,∠ AOC=∠ COB=90176。, ∴∠ OAC=45176。,∵ AC∥ OD,∴∠ DOB=∠ OAC=45176。, ∴∠ COD=∠ COB∠ DOB=90176。45176。=45176。, ∴ OD平分 ∠ COB,BD=CD,故①②正確 。 ∵∠ CDE=? ∠ COA=? 90176。=45176。, ∴∠ CDE=∠ COD. 在△ CDE和△ COD中 , ? ∴ △ CDE∽ △ COD, ∴ ? =? . 即 CD2=CECO,故③正確 . 12 12,CDE CODDCE OCD? ????? ???思路分析 利用 AO=CO,CO⊥ AB,得到△ AOC為等腰直角三角形 ,即 ∠ CAO=45176。,由 AC∥ OD得 到 ∠ DOB=∠ CAO=45176。,進(jìn)而得到 ∠ DOC=45176。,∴ OD平分 ∠ COB。利用同圓 (或同弧 )中相等的圓 心角所對的弦長相等即可得到 BD=CD。利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半 ,即可得到 ∠ CDE=? ∠ COA=? 90176。=45176。,即 ∠ CDE=∠ COD,又 ∠ DCE=∠ OCD,∴ △ CDE∽ △ COD,∴ ? = ? ,即 CD2=CECO. 12 12 CDCO9.(2022棗莊 ,15,4分 )如圖 ,在半徑為 3的☉ O中 ,直徑 AB與弦 CD相交于點 E,連接 AC,BD,若 AC=2, 則 tan∠ D= . ? 答案 2? 2解析 連接 BC,∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。, 又 ∵ AB=2r=6,∴ BC=? =? =4? ,根據(jù)在同圓或等圓中 ,同弧所對的圓周角相等 知 ∠ D=∠ A, ∴ tan∠ D=tan∠ A=? =? =2? ,故答案為 2? . 22AB AC?2262?2AC4222 2思路分析 連接 BC,由直徑所對的圓周角為直角 ,得到△ ABC為直角三角形 ,解 Rt△ ABC,然后 利用在同圓或等圓中 ,同弧所對的圓周角相等 ,即可求得 tan∠ D的值 . 10.(2022濟(jì)南 ,23,7分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,∠ ACD=25176。,求 ∠ BAD的度數(shù) . ? 解析 ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ADB=90176。. ∵∠ ACD=25176。, ∴∠ B=∠ ACD=25176。, ∴∠ BAD=90176?！?B=90176。25176。=65176。. 思路分析 首先由 AB是☉ O的直徑 ,推得 ∠ ADB=90176。然后由同圓或等圓中 ,同弧或等弧所對的 圓周角相等 ,得 ∠ B=∠ ACD=25176。最后由直角三角形的兩銳角互余 ,得 ∠ BAD=90176?！?B=90176。25176。 =65176。. 方法規(guī)律 求與圓有關(guān)的角時 ,要想到 :(1)同弧或等弧所對的圓周角相等 。(2)同弧所對的圓周 角等于它所對的圓心角的一半 。(3)圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ) 。(4)同圓和等圓的半徑相等等 . 11.(2022濰坊 ,21,8分 )正方形 ABCD內(nèi)接于☉ O,如圖所示 ,在劣弧 ? 上取一點 E,連接 DE、 BE, 過點 D作 DF∥ BE交☉ O于點 F,連接 BF、 AF,且 AF與 DE相交于點 G. 求證 :(1)四邊形 EBFD是矩形 。 (2)DG=BE. ? AB︵證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ BAD=∠ BCD=90176。, ∴∠ BED=∠ BAD=90176。,∠ BFD=∠ BCD=90176。, 又 ∵ DF∥ BE,∴∠ EDF+∠ BED=180176。, ∴∠ EDF=90176。,∴ 四邊形 EBFD是矩形 . (2)∵ 正方形 ABCD內(nèi)接于☉ O, ∴ ? 的度數(shù)是 90176。, ∴∠ AFD=45176。, 又 ∵∠ GDF=90176。, ∴∠ DGF=∠ DFG=45176。, ∴ DG=DF, 又 ∵ 在矩形 EBFD中 ,BE=DF, ∴ DG=BE. AD︵思路分析 (1)要證明四邊形 EBFD是矩形 ,需證明四邊形 EBFD的三個角是直角 ,先根據(jù)在同圓 或等圓中 ,同弧所對的圓周角相等及正方形的性質(zhì) ,得到 ∠ BED=∠ BFD=90176。,再根據(jù)兩直線平 行 ,同旁內(nèi)角互補(bǔ)求得第三個角是直角即可 .(2)根據(jù)圓周角與它所對弧的關(guān)系求得 ∠ AFD=45 176。,則△ DFG為等腰直角三角形 ,則 DF=DG,再根據(jù)矩形的對邊相等得到 DF=BE,從而 BE=DG. 考點二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1.(2022泰安 ,9,3分 )如圖 ,BM與☉ O相切于點 B,若 ∠ MBA=140176。,則 ∠ ACB的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A 如圖 ,連接 OA,OB,則 OB⊥ BM, ∴∠ BAO=∠ ABO=∠ MBA∠ OBM=140176。90176。=50176。, ∴∠ AOB=180176。50176。2=80176。,∴∠ ACB=? ∠ AOB=40176。. ? 122.(2022棗莊 10,3分 )如圖 ,在網(wǎng)格 (每個小正方形的邊長均為 1)中選取 9個格點 (格線的交點稱為 格點 ),如果以 A為圓心 ,r為半徑畫圓 ,選取的格點中除點 A外恰好有 3個在圓內(nèi) ,則 r的取值范圍 為 ? ( ) ? ? r? B.? r3? C.? r5 r? 217229答案 B 如圖所示 .由勾股定理可得 :AB=? =2? , AC=AD=? =? ,AE=? =3? ,AF=? =? ,AG=AM=AN=? =5, ∴ ? r3? 時 ,以 A為圓心 ,r為半徑畫圓 ,選取的格點中除點 A外恰好有 3個在圓內(nèi) .故選 B. ? 22?22241?1733?2 522943?1723.(2022日照 ,9,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,PA切☉ O于點 A,連接 PO并延長交☉ O于點 C,連接 AC, AB=10,∠ P=30176。,則 AC的長度是 ? ( ) ? ? ? D.? 3252答案 A 過點 O作 OD⊥ AC于點 D, ∵ AB是☉ O的直徑 ,PA切☉ O于點 A, ∴ AB⊥ AP,∴∠ BAP=90176。, ∵∠ P=30176。,∴∠ AOP=60176。,∴∠ AOC=120176。, ∵ OA=OC,∴∠ OAD=30176。, ∵ AB=10,∴ OA=5,∴ OD=? AO=? , ∴ AD=? =? , ∴ AC=2AD=5? ,故選 A. ? 1252 22AO OD?53234.(2022萊蕪 ,6,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,直線 DA與☉ O相切于點 A,DO交☉ O于點 C,連接 BC, 若 ∠ ABC=21176。,則 ∠ ADC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵ 直線 DA與☉ O相切 ,∴∠ OAD=90176。. ∵ OB=OC,∴∠ B=∠ OCB=21176。,∴∠ AOD=∠ B+∠ OCB=42176。,∴∠ ADC=90176。∠ AOD=90176。42176。=48176。. 思路分析 ①根據(jù)切線