【正文】 AC, ∴∠ OCA=∠ DAC,? (3分 ) ∴ OC∥ AD, ∴∠ D=∠ OCE=90176。, ∴ AD⊥ ED.? (4分 ) 證法二 :連接 OC,? (1分 ) ∵ ED切☉ O于點 C, ∴ OC⊥ DE, ∴∠ OCD=90176。, ∵ OA=OC, ∴∠ OAC=∠ OCA, ∵ AC平分 ∠ BAD, ∴∠ OAC=∠ DAC, ∴∠ OCA=∠ DAC,? (3分 ) ∵∠ OCA+∠ ACD=90176。, ∴∠ DAC+∠ ACD=90176。, ∴∠ D=90176。, ∴ AD⊥ ED.? (4分 ) ? (2)解法一 :設(shè)線段 OC與 BF的交點為 H. ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ AFB=∠ HFD=90176。,? (5分 ) ∵∠ OCD=∠ D=90176。, ∴ 四邊形 HFDC是矩形 , ∴∠ CHF=90176。,即 OC⊥ BF,FH=DC=4,? (6分 ) ∴ FB=2FH=8.? (7分 ) 在 Rt△ BFA中 ,∠ AFB=90176。,AF=2, 由勾股定理可得 AB=? =? =2? , ∴ ☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) 解法二 :過點 O作 ON⊥ AF于點 N.? (5分 ) ∵ OC⊥ DE,AD⊥ ED, ∴∠ OND=∠ D=∠ OCD=90176。, ∴ 四邊形 ONDC是矩形 ,? (6分 ) 22AF BF?2228?1717∴ ON=CD=4, ∵ ON⊥ AF,AF=2, ∴ AN=? AF=1.? (7分 ) 在 Rt△ OAN中 ,∠ ONA=90176。,由勾股定理可得 OA=? =? =? , ∴ ☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) ? 12 22ON AN?2241?1717思路分析 (1)連接 OC,則 OC⊥ DE,由 AC平分 ∠ BAD及 OA=OC,得 ∠ OAC=∠ DAC=∠ OCA,從 而得 OC∥ AD或 ∠ CAD+∠ ACD=90176。,進而證得 AD⊥ ED。(2)設(shè)線段 OC與 BF的交點為 H,則四邊 形 HFDC是矩形 ,從而得到 FB=8,進而利用勾股定理求解即可 ,或過 O作 ON⊥ AF于點 N,則 AN=1, 在矩形 ONDC中 ,ON=CD=4,由勾股定理求解即可 . 解題關(guān)鍵 本題考查了圓的切線的性質(zhì) ,勾股定理 ,矩形的性質(zhì) .第 (2)問中解法二的關(guān)鍵是過 O 作 ON⊥ AF,構(gòu)造矩形和直角三角形 . 12.(2022湖北宜昌 ,21,8分 )已知 ,四邊形 ABCD中 ,E是對角線 AC上一點 ,DE=EC,以 AE為直徑的 ☉ O與邊 CD相切于點 D,B點在☉ O上 ,連接 OB. ? (1)求證 :DE=OE。 (2)若 CD∥ AB,求證 :四邊形 ABCD是菱形 . 證明 (1)連接 OD, ∵ CD是☉ O的切線 ,∴ OD⊥ CD. ∴∠ 2+∠ 3=∠ 1+∠ COD=90176。. 又 ∵ DE=EC,∴∠ 2=∠ 1, ∴∠ 3=∠ COD,∴ DE=OE. ? (2)∵ OD=OE, ∴ OD=DE=OE, ∴∠ 3=∠ COD=∠ DEO=60176。, ∴∠ 2=∠ 1=30176。, ∵ OA=OB=OE,而 OE=DE=EC, ∴ OA=OB=DE=EC, 又 ∵ AB∥ CD, ∴∠ 4=∠ 1, ∴∠ 2=∠ 1=∠ 4=∠ OBA=30176。, ∴ △ ABO≌ △ CDE, ∴ AB=CD. ∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 . ∴∠ DAE=? ∠ DOE=30176。, ∴∠ 1=∠ DAE, ∴ CD=AD, ∴ 四邊形 ABCD是菱形 . 12C組 教師專用題組 考點一 圓的有關(guān)概念與性質(zhì) 1.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,AB=AC,∠ BCA=65176。,作 CD∥ AB,并與☉ O 相交于點 D,連接 BD,則 ∠ DBC的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A ∵ AB=AC,∠ BCA=65176。,∴∠ BCA=∠ ABC=65176。,∴∠ BAC=50176。,∵ CD∥ AB,∴∠ BAC= ∠ ACD=50176。,根據(jù)圓周角定理的推論得 ∠ ABD=∠ ACD=50176。,所以 ∠ DBC=∠ ABC∠ ABD=65176。5 0176。=15176。,故選 A. 2.(2022遼寧錦州 ,7,2分 )如圖 ,四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,AD與 BC的延長線交于點 E,BA 與 CD的延長線交于點 F,∠ DCE=80176。,∠ F=25176。,則 ∠ E的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∠ B=∠ DCE∠ F=80176。25176。=55176。, ∵ 四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 , ∴∠ EDC=∠ B=55176。, ∴∠ E=180176?！?DCE∠ EDC=45176。. 3.(2022四川德陽 ,10,3分 )如圖 ,點 D、 E分別是☉ O的內(nèi)接正三角形的 AB、 AC邊上的中點 .若☉ O的半徑為 2,則 DE的長等于 ? ( ) ? A.? B.? D.? 3232答案 A 連接 OB,過點 O作 OM⊥ BC于 M,如圖 , ? 在 Rt△ BOM中 ,∠ OBM=30176。,OB=2,∴ BM=2cos 30176。=? ,∴ BC=2BM=2? ,∴ DE=? BC=? .故選 A. 3 312 34.(2022福建 ,8,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上位于 AB異側(cè)的兩點 .下列四個角中 ,一定 與 ∠ ACD互余的角是 ? ( ) ? A.∠ ADC B.∠ ABD C.∠ BAC D.∠ BAD 答案 D ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。,∴∠ BAD+∠ B=90176。, 易知 ∠ ACD=∠ B,∴∠ BAD+∠ ACD=90176。,故選 D. 5.(2022四川阿壩州 ,7,4分 )如圖 ,將半徑為 2 cm的圓形紙片折疊后 ,圓弧恰好經(jīng)過圓心 O,則折痕 AB的長為 ? ( ) ? cm B.? cm ? cm ? cm 3 5 3答案 D 如圖 ,過點 O作 OD⊥ AB,交 AB于點 D,連接 OA, ∵ OA=2OD=2 cm, ∴ AD=? =? =? (cm), ∵ OD⊥ AB,∴ AB=2AD=2? cm. ? 22OA OD?2221?336.(2022江蘇南京 ,6,2分 )過三點 A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圓的圓心坐標為 ? ( ) A.? B.(4,3) C.? D.(5,3) 174,6??????5,6答案 A 過 C作 CE⊥ AB于 E,設(shè)所求圓的圓心為 D,半徑為 r,連接 AD,如圖所示 : ? ∵ A(2,2),B(6,2), ∴ 圓心 D在直線 x=4上 ,∴ D的橫坐標為 4. ∵ C(4,5),∴ CE=3.∵ CD=r,∴ DE=3r. 在 Rt△ DAE中 ,AE2+DE2=AD2,即 22+(3r)2=r2,解得 r=? , ∴ D的縱坐標為 5? =? ,∴ D? .故選 A. 136136176174,6??????思路分析 本題求過三點的圓的圓心坐標時 ,首先根據(jù)圓的對稱性確定圓心的橫坐標 ,然后根 據(jù)勾股定理求出半徑 ,最后求出圓心的坐標 . 7.(2022浙江金華 ,7,4分 )如圖 ,在半徑為 13 cm的圓形鐵片上切下一塊高為 8 cm的弓形鐵片 ,則 弦 AB的長為 ? ( ) ? cm cm cm cm 答案 C 如圖 ,作 OC⊥ AB交 AB于 D,交圓于 C, ? ∵ OC=13 cm,CD=8 cm, ∴ OD=5 cm, ∴ 在 Rt△ BOD中 , BD=? =? =12(cm), ∴ AB=2BD=24 cm. 22OB OD?13 5?思路分析 作 OC⊥ AB交 AB于 D,交圓于點 C,根據(jù)垂徑定理和勾股定理求 AB的長 . 8.(2022廣西南寧 ,9,3分 )如圖 ,點 A,B,C,P在☉ O上 ,CD⊥ OA,CE⊥ OB,垂足分別為 D,E,∠ DCE=40176。, 則 ∠ P的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵∠ DCE=40176。,CD⊥ OA,CE⊥ OB, ∴∠ DOE=180176。40176。=140176。, ∴∠ P=? ∠ AOB=70176。,故選 B. 129.(2022浙江麗水 ,10,3分 )如圖 ,已知☉ O是等腰 Rt△ ABC的外接圓 ,點 D是 ? 上一點 ,BD交 AC于 點 E,若 BC=4,AD=? ,則 AE的長是 ? ( ) ? ︵45答案 C 因為 AC=BC=4,∠ C=90176。,所以由勾股定理得 AB=4? ,所以 BD=? =? ,易證 △ CBE∽ △ DAE,所以 AE∶ BE=DE∶ CE=AD∶ CB=? ∶ 4=? ,因為 AC,BD是☉ O的兩條相交弦 , 所以 BEDE=AE AE=3,則 BE=15? ,故錯誤 。若 AE=2,則 BE=10? ,故錯誤 。若 AE=1,則 BE =5,DE=? ,CE=41=3,此時滿足 BEDE=AECE,故 AE=1時正確 。若 AE=,則 BE=6? ,故錯誤 ,故 選擇 C. 2 22AB AD?2854515285 535 510.(2022四川雅安 ,15,3分 )☉ O的直徑為 10,弦 AB長為 6,點 P是弦 AB上一點 ,則 OP的取值范圍是 . 答案 4≤ OP≤ 5 解析 如圖 ,連接 OA,作 OM⊥ AB與 M, ∵ ☉ O的直徑為 10, ∴ OA=5, ∴ OP的最大值為 5, ∵ OM⊥ AB與 M, ∴ AM=BM, ∵ AB=6, ∴ AM=3, ? 在 Rt△ AOM中 ,OM=? =4, OM的長即為 OP的最小值 , ∴ 4≤ OP≤ 5. 22OA AM?11.(2022四川自貢 ,17,4分 )如圖 ,等腰△ ABC內(nèi)接于☉ O,已知 AB=AC,∠ ABC=30176。,BD是☉ O的直 徑 ,如果 CD=? ,則 AD= . ? 433答案 4 解析 根據(jù)題意知 ,AB=AC,∴ ? =?, ∴∠ ADC=∠ ADB=∠ ABC=30176。,∴∠ BDC=60176。,∵ BD是 ☉ O的直徑 ,∴∠ BCD=∠ BAD=90176。,∴ cos∠ BDC=? ,∴ BD=? ,∵ cos∠ BDA=? ,∴ AD= ? cos 30176。=4. ︵ ︵ CD83383312.(2022四川廣元 ,14,3分 )已知☉ O的半徑為 10,弦 AB∥ CD,AB=12,CD=16,則 AB和 CD的距離為 . 答案 14或 2 解析 分兩種情況 : ①當 AB、 CD在圓心 O的兩側(cè)時 ,如圖 1, 過 O作 OE⊥ CD于 E,延長 EO將 AB于 F,連接 OD、 OB, ∵ AB∥ CD, ∴ EF⊥ AB, ∴ ED=? CD,BF=? AB, ∵ AB=12,CD=16, ∴ ED=? 16=8,BF=? 12=6, 由勾股定理得 :OE=? =? =6, OF=? =? =8, ∴ EF=OE+OF=6+8=14。 ②當 AB、 CD在圓心 O的同側(cè)時 ,如圖 2, 12 1212 1 22OD ED?2210 8?B BF10 6?? 同理得 :EF=OFOE=86=2, 綜上所述 ,AB和 CD的距離為 14或 2. 13.(2022重慶 A卷 ,15,4分 )如圖 ,OA,OB是☉ O的半徑 ,點 C在☉ O上 ,連接 AC, ∠ AOB=120176。, 則 ∠ ACB= 度 . ? 答案 60 解析 根據(jù)圓周角定理 ,知 ∠ ACB=? ∠ AOB=? 120176。=60176。. 12 1214.(2022青海西寧 ,18,2分 )☉ O的半徑為 1,弦 AB=? ,弦 AC=? ,則 ∠ BAC度數(shù)為 . 23答案 15176?；?75176。 解析 如圖 1,若兩條弦在 AD的同側(cè) ,連接 BD、 CD, 則 ∠ B=∠ C=90176。,∵ AB=? ,AC=? , ∴ cos∠ BAD=? ,cos∠ CAD=? , ∴∠ BAD=45176。,∠ CAD=30176。,∴∠ BAC=45176。30176。=15176。 如圖 2,若兩條弦在 AD的兩側(cè) ,連接 BD、 CD, 則 ∠ B=∠ C=90176。,∵ AB=? ,AC=? , ∴ cos∠ BAD=? ,cos∠ CAD=? , ∴∠ BAD=45176。,∠ CAD=30176。,∴∠ BAC=45176。+30176。=75176。. 綜上 ,∠ BAC=15176。或 75176。. 2322 322322 3215.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,